复变函数总复习资料

性质: (1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2) Ln z1 z2
（3）Lnzn

Lnz1 nLnz
Lnz2 Ln n
, z

1
Lnz
n
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支
处处连续, 处处可导, 且 (ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b
bLna
b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
ez的性质：
1. f (z) ez 0
2. ez ez 处处解析
3. 满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
4. 周期性：周期为 2k i
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2.对数函数：Ln z ln z iArg z ln z i arg z i2k
多值！
主值： ln z ln z i arg z arg z 分支： Ln z ln z 2k i k 1, 2
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2ห้องสมุดไป่ตู้)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的: (zb ) bzb1.
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4. 三角函数
eiz eiz cos z
2
三角函数性质：
sin z eiz eiz 2i
（1） 奇偶性： sin(z) sin z, cos(z) cos z.
（2）周期为2的周期函数： sin(z 2 ) sin z, cos(z 2 ) cos z.
复变函数 w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)
单值函数：z 的一个值对应一个w值。 多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。 反函数：z=g(w)
复变函数的讨论 两个实变函数的讨论
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1、极限
lim f (z) A
z z0
或
z z0，f (z) A
z z0的方式是任意的，即无论从哪个方向趋近； f (z)都要趋于同一个常数A。
(1) 幂函数 zn 在复平面内是单值解析的： (zn ) nzn1.
1
(2) 幂函数 z n 是多值函数, 具有n个分支.
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:
(3) 幂函数 w zb
( bn
与
1

) 也是一个多值函数,
1
zn


1 n
1 1
zn .
n
当 b 为无理数或复数时,是无穷多值的.
y
• 直角坐标：z=x+iy
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应 0
• 向量表示
–模 – 幅角
| z | r x2 y2
q Argz arg z 2k
q0 arg z, q0
z=0时辐角不确定
y
q
O
• 三角表示： z r(cosq i sinq )
10
4、解析 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导,则w f (z)在点z0解析
f
(
z
)在z
不
0
解
析
z
为
0
奇
点
。
在 区 域D内 解 析 ：f (z)在D内 每 一 点 解 析 。
z0点：可导 解析
区域D： 可导 解析
定理五： 如果f (z)，g(z)在z0处解析,则
f (z) g(z), f (z) g(z),
z1 z2

x1 iy1 x2 iy2

x1x2 y1 y2 x22 y22
i
y1x2 x1 y2 x22 y22
,
运算法则:
• z1+z2=z2+z1 • z1z2=z2z1 • z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 • z1(z2z3)=(z1z2)z3 • z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
f (z) g(z)
(g(z) 0),
f [g(z)]
在z0处都解析。
有理多项式 w P(z) a0 a1z an zn 在整个复平面上解析。 有理分式 w P(z)（两个多项式的商）除分母不为0的点外，
Q(z) 处处解析,使分母为零的点是它的奇点。
11
重要定理： 函数解析的条件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

5、
f g
(z) (z)


f (z)g(z) f (z)g(z)
g(z)2
6、 f [g(z)] f (w)g(z) w g(z)
7、f (z) 1 , w f (z)与z (w)是两个互为反函数的单值函数,且(w) 0.
(w)

z1 z2


z1 z2
;
ii) z z;
iii) zz Re(z)2 Im(z)2 ;
iv) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z)
注意： (1) 2个复数不能比较大小; (2) 当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。 1
2、复数的表示
复平面内，下列各式连续：
w zn
多项 式：w= P(z) a0 a1z an zn
有理式：w= P(z) 在Q(z) 0 Q(z)
9
3、导数 导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。
w
f (z)
定义在区域D内，z0

D，如果
lim
z 0
f (z0 z) z
f ( z )在D内 可 导
中 层
f ( z )在z0解 析
f ( z )在z0可 导
低 层
f ( z )在z0连 续
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初等函数
ez , L n z, za , sin z 注意性质：周期性; 多值性; 奇偶性; 解析性
1.指数函数： f (z) exp z ez ex (cos y i sin y)
• 指数表示： z reiq eiq cosq i sinq
z x iy ( x,y )
x
P
z=x+iy x
2
y
辐角主值公式： arc tg y
2
x2
2
1
q0
x
3
4

arc
tg
y x
当 x 0, y 0 (1，4象限） 0

arc
tg
如果f (z)在区域D内处处连续,称f (z)在D内连续。
定
理
三
、f
(
z
)在z
处
0
连
续
的
充
分
必
要
条
件为
：
lim
x x0
u( x,
y)

u( x0
,
y0
)
lim
x x0
v(
x,
y)

v(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
定
理
四
、
如
果f
(
z
)，g(
z)在z
处
0
连
续
，
下
列
函
数
在z0处
都
连
续
。
f (z) f (z) g(z), f (z) g(z), g(z) g(z0 ) 0, f [g(z)]
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi
x, y为实数;i2 1
实部：Re (z) x;虚部为Im (z) y 若Im (z) 0，则z为实数； 若Re (z) 0，则z为纯虚数。
共轭 z x iy
i)
z1 z2 z1 z2 ,
z1z2

z1z2 ,
eq
q
cos
p q
2kπ i sin
p q
2kπ
q 个值: k 0,1, 2, ,(q 1)
(3)除此以外，ab具有 无穷多个值
16
幂函数 w zb ebLnz
当 b n与 1 时, 就分别得到复数的幂及根运算：w zn
及
1
w zn
n
z.
n
幂函数的解析性
18
第三章 复变函数的积分
一、曲线积分计算：
(1) 通过两个二元线积分求：
z2 0
4
乘积： 模相乘；辐角相加。
z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]
于是
: |z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2
z1z2 z1
z ei(q1 q2 ) 2
y x


当 x 0, y （ 0 2象限）
q0

arg
z


arc tg
y x

当 x 0, y （ 0 3象限）



2
当 x 0, y 0（y轴上） 0

当 x 0, y （ 0 x轴上）

0
当 x 0, y （ 0 x轴上） 3
定理一：f (z) u(x, y) iv(x, y) 在一点z x iy可导的充分必要条件为：
（1）u(x, y), v(x, y)在点z(x, y)可微(可导)；
（2）满足柯西-黎曼(C-R)方程：u v , u v x y y x
求导公式: f (z) u i v v i u x x y y
zz0
lim
f
(z)
A,
lim
g(z)

B
有
:
lim zz0

f
(z) g(z)
A B
z z0
z z0


f (z)
lim
z z0

g
(
z)


A B
8
2、连续性
如果 lim zz0
f
(z)

f
(z0 ),
称f (z)在z0处连续。
定理二：f (z) u(x, y) v(x, y)i
在区域D内解析的充分必要条件为：
1）u(x, y), v(x, y)在D内可微(可导)；
2）在D内（C R方程）： u v , u v
x y y x
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连续、可导、解析的关系：
高 f ( z )在D内解析 层
（3 ）在复平面内处处解析：
sin z cos z,cos z sin z
（4）欧拉公式仍然成立： eiz cos z i sin z （5 ）一些三角公式仍然成立：
cos(z1 z2 ),sin(z1 z2 ),sin2 z cos2 z 1, 但 sin z 1& cos z 1不成立
f (z0 )
存在，称 f (z)在z0 可导
f (z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
f (z0 z) z
f (z0 )
1、(c) 0
2、(zn ) nzn1 n正整数
3、 f (z) g(z) f (z) g(z)
4、 f (z) g(z) f (z)g(z) f (z)g(z)
n , (n 1)
n 得到n个不同的根。
值性！
5
区域的概念
区域：平面点集D称为区域, 必须满足下列两个条件： 1）D是一个开集。 2）D是连通的。
单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内 部总属于B，称B为单连通区域。
多连通域：不满足单连通域条件的区域。
单连通域
多连通域
不连通
6
复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定
定理一：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0
lim
z z0
f
(z)

A的充分必要 条件：lim x x0
u ( x,
y)
u0,
lim
x x0
v(x,
y)

v0
y y0
y y0
定理二：
lim f (z) g(z) A B
Arg(z1z2) Arg z1 Arg z2
商： 模相除；辐角相减
z1 z1 ei(q1 q2 ) z2 z2
Arg(
z1 z2
)

Arg
z1

Arg
z2
幂： 根：
z n r neinθ
w
n
z

1
rn
(cos q
2k
i sin q
2k
)
注意根的多
k 0,1, 2,3
bln a
单值
(2) b p (p与q为互质的整数, q 0): q
p[ln a i(arg a2k )]
p ln a i p (arg a2k )
p ln a i p arg a i p 2k
ab eq
eq q
eq q e q

p ln a i p arg a