北师大版-解三角形的实际应用举例

课前探究学习
课堂讲练互动
解 如图所示，易知
∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B＝3122×＋3210×2－22012＝2331，
所以 sin B＝12313.
在△ABC 中，AC＝BCsinsinAB＝31s× in 162301°3＝24(千米)．
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A 得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)． ∴AD＝AB－BD＝15(千米)． ∴故此人在D处距A还有15千米．
想一想：用三角形知识解决高度，角度问题的关键是什么？ 提示 关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过 合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 测量距离问题
【例1】 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有 一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米 的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到 达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少 千米？ [思路探索] 欲求AD，应先求出AB；从△ABC中求AB， 还需求出AC；在△ABC中求AC，只需求出sin B； 在△BCD中，可求出cos B, 进而求出sin B问题即课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：
实际问题
画图形
数学模型
实际问题的解
检验（答）
课前探究学习
解 三 角 形
数学模型的解
课堂讲练互动
【训练2】 地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基 线AB，AB＝200 m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝ 30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得 ∠AOB＝60°，求旗杆的高h.
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 如图所示，设A、B两点在河的两 岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河 岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m， ∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可 以计算出A、B两点的距离为 ( )．
A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m
D.252 2 m
课前探究学习
课堂讲练互动
1．仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水 平视线和目标视线的夹角．目标视 线在水平视线_上__方__时叫仰角，目标 视线在水平视线_下__方__时叫俯角，如 图所示．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图所示)．
3．方位角的其他表示——方向角 指北或指南方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角，叫方 向角，如图
课前探究学习
课堂讲练互动
解析 ∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，
∴∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理：siAnCB＝
siAnBC，
∴AB＝ACsi·nsinB
C＝50× 1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案 A
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 测量高度问题
【例2】 A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得 山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得 ∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD (精确到整数)． [思路探索] 解答本题可先求出∠BDA，然后由正弦定 理求出AD即可．
解 如图，由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD
＝45°，所以 CD＝AD.
因此，只需在△ABD 中求出 AD 即可，
在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°
＝15°，由sinAB15°＝siAn4D5°，
课前探究学习
课堂讲练互动
800× 2
得 AD＝ABsi·nsi1n54°5°＝
6－
2 ＝800( 2
3 解三角形的实际应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
1、正弦定理
a sin
A
b sin
B
c sin C
2R
(其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
3＋1)(m)．
4
∴CD＝AD＝800( 3＋1)≈2 186(m)．
所以山高 CD 约为 2 186(m)．
规律方法 解决测量高度问题的一般步骤是： (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步 求解． 在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意 方程思想的运用．