广东省真光中学等“六校协作体”高三第二次联考试题(数学文).pdf

广东真光中学等“六校协作体”2012届高三第二次联考数学文科试卷
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设（为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3． 右图给出了红豆生长时间（月）与枝数（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ （ ）
A．指数函数：
B．对数函数：
C．幂函数：
D．二次函数：
4．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则
A. B. C. D.
5．已知实数，满足约束条件’则的取值范围是（ ）
A． [01]B．[12]C．[13]D．[02]
6．如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为A． B． C． D．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ ）
A．B．C．D．
为定义在上的可导函数，且对于恒成立且e为自然对数的底，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9．等比数列中， 则=
10．的展开式中，的系数是___________
11．命题“，”的否定是 ．
12．已知||=||=||=2，则||的值为
13．在实数的原有运算法则中，定义新运算，则的解集为 （为参数），
曲线（为参数）.若曲线、有公共点，
则实数的取值范围____________．
15．（几何证明选讲）.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数在[-，]上的最大值与最小值之和为，求实数的值.
17．（本题满分13分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：
偏瘦正常肥胖女生（人）100173男生（人）177已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15。

（1）求的值；
（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？
（3）已知，，肥胖学生中男生不少于女生的概率。

18．（本题满分13分）如图 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点 （Ⅰ）求证
：AC⊥BC1；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．
，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。

（1）求实数的值及的解析式；
（2）若是正数，设，求的最小值；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
20. （本题满分1分）中，.
（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；
（2）设， 求的最大值。

21．（本题满分1分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，，
（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由
2012届高三第二次六校联考参考答案
数学（理科）试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
题号12345678答案DCABDCBA二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．
9．10．11． 12．13．14． ） 15．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解：（1）∵
……………………4分
∴函数的最小正周期………………………6分
(2)∵，∴
∴当，即时，……8分
当，即时， ……10分
由题意，有
∴……12分
17．解：（1）由题意可知，，∴＝150（人）； ……………4分
（2）由题意可知，肥胖学生人数为（人）。

设应在肥胖学生中抽取人，则
，∴（人）
答：应在肥胖学生中抽20名。

………………………………8分
（3）由题意可知， ，且，，满足条件的（，）有（193，207），（194，206），…，（207，193），共有15组。

设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即，满足条件的（，）有
（193，207），（194，206），…，（200，200），共有8组，所以
。

答：肥胖学生中女生少于男生的概率为。

…………………………13分
18． （）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
AC⊥BC， …………………2分
又 AC，且
∴ AC⊥平面BCC1 ，平面BCC1……………………………………4分
AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分
（）解法一：取中点，过作于，连接 …………6分
是中点，
，又平面平面，平面平面
∴ 又且
∴平面平面………8分
又
∴是二面角的平面角……………………………………10分
AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
中，，，
…………………………………………12分
二面角的正切值为…………………………………………13分
解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………分
AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
， ，，，
，
平面的法向量， …………………分
设平面的法向量，
则，的夹角补角的大小就是二面角的大小…………9分
则由，则，
∴ ………………11分 ，则 ……………1分
二面角二面角的正切值为 ………………………… 13分
；
故实数 ……………4分
（2）
，
的定义域为；……………5分
……………6分
……………8分
增函数减函数
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
对一切恒成立
…………13分
故实数的取值范围.…………14分
20. 解：（1）∵
∴ ……………2分
当时，，
∴ ，
∴ …………………5分
当时，也满足上式，…………6分
∴数列的通项公式为…………7分
（2）
…………………10分
令，则， 当恒成立
∴ 在上是增函数，故当时，…13分
即当时， ……………14分
另解：
∴ 数列是单调递减数列，∴
21．，则，
得 ……………2分
设，则，，
两式相减得，由抛物线定义可知，
则或（舍去）
所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分
另解：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线， 作轴于，则由抛物线的定义得，
所以
，
得，所以c＝1，
所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分
…………8分
…………10分
…………12分
…………14分
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第15题图
O
B
C
A。