2019年山东省威海中考数学试卷(含答案与解析)

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）
绝密★启用前
山东省威海市2019年初中学业水平考试
数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只
有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1.3-的相反数是
（ ） A.3-
B.3
C.13
D.13
-
2.据央视网报道，2019年1～4月份我国社会物流总额为88.9万亿元人民币，“88.9万亿”用科学记数法表示为
（ ）
A.138.8910⨯
B.128.8910⨯
C.1288.910⨯
D.118.8910⨯
3.如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20︒，山高2BC =千米.用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是 （ ） A. B. C. D.
4.如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是
（ ）
第4题图 A B C D 5.下列运算正确的是
（ ）
A.
23
5a a =（）
B.2333a a a +=
C.523
0a a a a ÷=≠（）
D.211a a a +=+（
） 6.为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理，欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是
（ ）
A.条形统计图
B.频数直方图
C.折线统计图
D.扇形统计图
7.如图，E 是ABCD Y 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F.添
加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是
（ ）
A.ABD DCE ∠=∠
B.DF CF =
C.AEB BCD ∠=∠
D.AEC CBD ∠=∠
8.计算1
3(123)27-⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭
的结果是 （ ） A.8133
+
B.123+
C.3
D.143+ 9.解不等式组3422133x x x -≥⎧⎪
⎨+-⎪⎩
①＞②时，
不等式①②解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A.
B.
C.
D.
10.已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是
（ ）
A.2 023
B.2 021
C.2 020
D.2 019
11.甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路.在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务.下表是根据施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是 （ ）
A.甲队每天修路20米
B.乙队第一天修路15米
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
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C.乙队技术改进后每天修路35米
D.前七天甲，乙两队修路长度相等
12.如图，P e 与x 轴交于点(5,0)A -，(1,0)B ，与y 轴的正半轴交于点C .若60ACB ∠=︒，则点C 的纵坐标为
（ ）
A.133+
B.223+
C.42
D.222+
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果） 13.把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）.若123∠=︒，则2∠=__________︒.
13题图
15题图
17题图
14.分解因式：
21
222x x -+
=
__________.
15.如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，过点C 作CE BC ⊥，交AD 于点E ，连接BE ，
BEC DEC ∠=∠，若6AB =，则CD =__________.
16.一元二次方程2
342x x =-的解是__________.
17.如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD .若90ACB ∠=︒，AC BC =，
AB BD =，则ADC ∠=__________︒.
18.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数
(0)k
y k x =≠的图象上运动，且始终保持线段42AB =的
长度不变.M 为线段AB 的中点，连接OM .则线段OM 长度的最小值是__________（用含k 的代数式表示）. 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19.（7分）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200
米，3 000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度.
20.（8分）在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球，标号分别为1，2，3.每次随机取出一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内.小明现已取球三次，得分分别为1分，3分，2分，小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2.2分，请用画树状图或列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率.
21.（8分）（1）阅读理解
如图，点A ，B 在反比例函数1
y x
=
的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C .分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数1
y x
=的图象
于点D .点E ，F ，G 的横坐标分别为1n -，n ，11n n +（＞）.
小红通过观察反比例函数1
y x
=的图象，并运用几何知识得出结论：
2AE BG CF +=，CF DF ＞，由此得出一个关于
11n -，1
1n +，2n ，之间数量关系的命题：若1n ＞，则__________. （2）证明命题：
小东认为：可以通过“若0a b -≥，则a b ≥”的思路证明上述命题.
小晴认为：可以通过“若0a ＞，0b ＞，且1a b ÷≥，则a b ≥”的思路证明上述命题. 请你选择一种方法证明（1）中的命题.
22.（9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度2BG =米，货厢底面距地面的高度0.6BH =米，坡面与地面的夹角BAH α∠=，木箱的长（FC ）为2米，高（EF ）和宽都是1.6米.通过计算判断：
当3
sin 5
α=，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰
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到汽车货厢顶部.
23.（10分）在画二次函数2
0y ax bx c a =++≠（）的图象时，甲写错了一次项的系数，列
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的表达式；
（2）对于二次函数()2
0y ax bx c a =++≠，当x __________时，y 的值随x 的值增大
而增大；
（3）若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范
围.
24.（12分）如图，在正方形ABCD 中，10 cm AB =，E 为对角线BD 上一动点，连接
AE ，CE ，过E 点作EF AE ⊥，交直线BC 于点F .E 点从B 点出发，沿着BD 方
向以每秒2 cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止.设BEF △的面积为
2 cm y ，E 点的运动时间为x 秒.
（1）求证：CE EF =；
（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）求BEF △面积的最大值. 25.（12分）（1）方法选择
如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==.求证：
BD AD CD =+.
小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM …
小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =… 请你选择一种方法证明.
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O e 的直径，
AB AC =.试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系并证明你的结论.
【探究2】
如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O e 的直径，
30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是__________.
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O e 的直径，
::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是__________.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------效---
-------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
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山东省威海市2019年初中学业水平考试
数学答案解析
1．【答案】B
【解答】解：3-的相反数是3． 故选：B ． 2．【答案】A
【解答】解：法一：88.9万亿4
8
12
88.9101088.910=⨯⨯=⨯ 用科学记数法表示：121388.9108.8910⨯=⨯
法二：科学记数法表示为：88.9万亿13889 000 000 000 08.8910==⨯ 故选：A ． 3．【答案】A
【解答】解：在ABC △中，sin sin 20BC
A AB
︒==， ∴2
sin 20sin 20BC AB ︒︒
=
=
， ∴按键顺序为：2sin20÷=
故选：A ． 4．【答案】C
【解答】解：从上面看，得到的视图是：
，
故选：C ． 5．【答案】C
【解答】解：A 、
23
6
a a =（），故本选项错误； B 、23a a +，不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C 、523
0a a a a ÷=≠（），正确；
D 、21a a a a +=+（
），故本选项错误． 故选：C ．
6．【答案】D
【解答】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：D ． 7．【答案】C
【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥， ∴DE BC ∥，ABD CDB ∠=∠，
Q ABD DCE ∠=∠， ∴DCE CDB ∠=∠， ∴BD CE ∥，
∴BCED 为平行四边形，故A 正确； Q DE BC ∥，∴DEF CBF ∠=∠，
在DEF △与CBF △中，DEF CBF DFE CFB DF CF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴DEF CBF AAS △≌△（）， ∴EF BF =， Q DF CF =，
∴四边形BCED 为平行四边形，故B 正确； Q AE BC ∥，
∴AEB CBF ∠=∠， Q AEB BCD ∠=∠， ∴CBF BCD ∠=∠， ∴CF BF =，
同理，EF DF =，
∴不能判定四边形BCED 为平行四边形；故C 错误； Q AEC CBD ∠=∠，
∴180DEC BCE EDB DBC ∠+∠=∠+∠=︒， Q AEC CBD ∠=∠，∴BDE BCE ∠=∠，
∴四边形BCED 为平行四边形，故D 正确，
数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）
故选：C ．
8．【答案】D
【解答】解：原式11=++． 故选：D ． 9．【答案】D
【解答】解：解不等式①得：1x ≤-， 解不等式②得：5x ＜，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D ． 10．【答案】A
【解答】解：a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根， ∴23b b =-，1a b +=-，3ab -，
∴2
2
2
2
2 019
3 2 0192 2 01616 2 016 2 023a b a b a b ab -+=-++=+-+=++=（）；
故选：A ． 11．【答案】D
【解答】解：由题意可得，
甲队每天修路：16014020-=（米），故选项A 正确； 乙队第一天修路：352015-=（米），故选项B 正确；
乙队技术改进后每天修路：2151602035--=（米），故选项C 正确；
前7天，甲队修路：207140⨯=米，乙队修路：270140130-=米，故选项D 错误； 故选：D ． 12．【答案】B
【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD AB ⊥于D ，PE BC ⊥于E ，
Q 60ACB ∠=︒，
∴120APB ∠=︒，Q PA PB =， ∴30PAB PBA ∠=∠=︒， Q (5,0)A -，(1,0)B ，
∴6AB =，∴3AD BD ==，
Q PD =
PA PB PC === Q PD AB ⊥，PE BC ⊥，90AOC ∠=︒， ∴四边形PEOD 是矩形，
∴OE PD ==，2PE OD ==，
∴CE ===
∴OC CE OE =+= ∴点C
的纵坐标为，
故选：B ．
13．【答案】68
【解答】解：Q ABC △是含有45︒角的直角三角板， ∴45A C ∠=∠=︒， Q 123∠=︒，
∴168AGB C ∠=∠+∠=︒， Q EF BD ∥， ∴268AGB ∠=∠=︒；
故答案为：68．
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14．【答案】2
122x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【解答】解：原式2
124x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
2
122x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
故答案为：2
122x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭．
15．【答案】3
【解答】解：如图，延长BC 、AD 相交于点F ，
Q CE BC ⊥，
∴90BCE FCE ∠=∠=︒， Q BEC DEC ∠=∠，CE CE =，
∴EBC EFC ASA △≌△（）， ∴BC CF =，Q AB DC ∥， ∴AD DF =， Q 11
6322
DC AB =
=⨯=． 故答案为：3． 16．
【答案】1x =
，2x = 【解答】解：2342x x =-
23240x x +-=，
则244434520b ac -=-⨯⨯-=（）＞，
故x =
，
解得：1x =
，2x =．
故答案为：1x
，2x ． 17．【答案】105︒
【解答】解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示： 则DE CF =，
Q CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =， ∴1
2
CF AF BF AB ===
， Q AB BD =，∴11
22
DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒， ∴75BAD BDA ∠=∠=︒，
Q AB CD ∥，
∴180ADC BAD ∠+∠=︒， ∴105ADC ∠=︒；
故答案为：105︒．
18．【答案】解：如图，当OM AB ⊥时，线段OM 长度的最小， Q M 为线段AB 的中点，
∴OA OB =，
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Q 点A ，B 在反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象上， ∴点A 与点B 关于直线y x =对称，
Q AB =， ∴可以假设,
k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4,4k B m m ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
，
∴
44
k k
m m =
+-， 解得24k m m =+，
∴(,4)A m m +，(4,)B m m +， ∴(2,2)M m m ++，
∴
OM ===
∴OM
．
19．【答案】解：设小明的速度是x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x 米/分钟，根据
题意可得：
12003000
43x x
-=
， 解得：50x =，
经检验得：50x =是原方程的根，故3150x =，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 20．【答案】解：树状图如下：
共有9种等可能的结果数，
由于五次得分的平均数不小于2.2分， ∴五次的总得分不小于11分， ∴后2次的得分不小于5分，
而在这9种结果中，得出不小于5分的有3种结果， ∴发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率为
3193
=． 21．【答案】解：（1）Q 2AE BG CF +=，CF DF ＞，
11AE n =
-，11BG n =+，1
DF n
=，
∴
112
11n n n
+-+＞． 故答案为：
11211n n n
+-+＞． （2）方法一：Q 22211222211(1)(1)(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n ++--++-==-+-+-+， Q 1n ＞，
()()110n n n ∴-+＞，∴
112
011n n n
+--+＞， ∴
11211n n n
+-+＞． 方法二：Q
2211
11121n n n n n
+
-+=-＞， ∴
11211n n n
+-+＞． 22．【答案】解：Q 0.6BH =米，
3
sin
5
α=
，
数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）
∴0.6
13sin 5
BH AB α=
==米， ∴0.8AH =米， Q 2AF FC ==米， ∴1BF =米，
作FJ BG ⊥于点J ，作EK FJ ⊥于点K ，
Q 1EF FB AB ===米，90EKF FJB AHB ∠=∠=∠=︒，EFK FBJ ABH ∠=∠=∠， ∴EFK FBJ ABH △≌△≌△， ∴EK FJ AH ==，BJ BH =， ∴0.60.8 1.42BJ EK +=+=＜，
∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部．
23．【答案】解：（1）由甲同学的错误可知3c =， 由乙同学提供的数据选1x =-，2y =-；1x =，2y =，
有2323a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，∴3
2a b =-⎧⎨=⎩
，
∴2323y x x =-++；
（2）2323y x x =-++的对称轴为直线1
3
x =， ∴抛物线开口向下，
∴当1
3
x ≤时，y 的值随x 的值增大而增大；
故答案为13
x ≤
； （3）方程20ax bx c k a ++=≠（）有两个不相等的实数根，
即23230x x k -++-=有两个不相等的实数根，
∴()41230k ∆=+-＞， ∴103
k ＜
； 24．【答案】（1）证明：过E 作MN AB ∥，交AD 于M ，交BC 于N ， Q 四边形ABCD 是正方形， ∴AD BC ∥，AB AD ⊥， ∴MN AD ⊥，MN BC ⊥，
∴90AME FNE NFE FEN ∠=∠=︒=∠+∠， Q AE EF ⊥，∴90AEF AEM FEN ∠=∠+∠=︒，
∴AEM NFE ∠=∠，Q 45DBC ∠=︒，90BNE ∠=︒， ∴BN EN AM ==， ∴AEM EFN AAS △≌△（）， ∴AE EF =，
Q 四边形ABCD 是正方形，
∴AD CD =，ADE CDE ∠=∠，
Q DE DE =，
∴ADE CDE SAS △≌△（）， ∴AE CE EF ==；
（2）解：在Rt BCD △
中，由勾股定理得：BD =
∴0x ≤≤
由题意得：2BE x =，
∴BN EN ==，
由（1）知：AEM EFN △≌△， ∴ME FN =，Q 10AB MN ==，
∴10ME FN ==，
Q 1010BF FN BN =-==-，
∴211
(10)2(022
y BF EN x x =
⋅=-=-+≤≤；
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（3
）解：2
2
252244y x x ⎛=-+=--+ ⎝⎭
，Q 20-＜， ∴
当x =时，y 有最大值是254；即BEF △面积的最大值是254
．
25．【答案】解：（1）方法选择：Q AB BC AC ==， ∴60ACB ABC ∠=∠=︒，
如图①，在BD 上截取DEM AD ，连接AM ，
Q 60ADB ACB ∠=∠=︒， ∴ADM △是等边三角形，
∴AM AD =，Q ABM ACD ∠=∠， Q 120AMB ADC ∠=∠=︒， ∴ABM ACD AAS △≌△（）
， ∴BM CD =，∴BD BM DM CD AD =+=+；
（2）类比探究：如图②，
Q BC 是O e 的直径，
∴90BAC ∠=︒，
Q AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，
过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， Q 45ADB ACB ∠=∠=︒， ∴ADM △是等腰直角三角形， ∴AM AD =，45AMD ∠=︒，
∴DM =，
∴135AMB ADC ∠=∠=︒，
Q ABM ACD ∠=∠，
∴ABM ACD AAS △≌△（）
， ∴BM CD =，
∴BD BM DM CD =+=；
【探究2】如图③，Q 若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，
∴90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，
过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，
Q 60ADB ACB ∠=∠=︒，∴30AMD ∠=︒， ∴2MD AD =，
Q ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒， ∴ABM ACD △∽△，
∴
BM AB
CD AC
==，
∴BM =，
∴2BD BM DM AD =+=+；
故答案为：2BD AD =+；
（3）拓展猜想：C a
BD BM DM CD AD b b
=+=
+；
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理由：如图④，Q 若BC 是O e 的直径，
∴90BAC ∠=︒，
过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∴90MAD ∠=︒，∴BAM DAC ∠=∠， ∴ABM ACD △∽△，
BM AB c CD AC b ∴
==，Q c
BM CD b
=， Q ADB ACB ∠=∠，90BAC NAD ∠=∠=︒， ∴ADM ACB △∽△， ∴
AD AC b
DM BC a
==， ∴a
DM AD b
=
， ∴C a
BD BM DM CD AD b b
=+=
+． 故答案为：c a
BD CD AD b
b
=+
．。