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高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
孟津一高2015——2016学年上期期末考试
高三数学（文）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合2{|log ,1}A y y x x ==>，1
{|(),1}2
x
B y y x ==>，则A
B =（ ）
()A 1{|0}2y y << ()B {|01}
y y << ()C 1
{|1}2
y y << ()D φ 2.设O 为原点，向量,OA OB 对应的复数为23i -,32i -+,那么向量BA 对应的复数是（ ）
()A 55i -+ ()B 55i -- ()C 55i + ()D 55i -
3.从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
()
A 12 ()
B 13 ()
C 14 ()
D 1
6
4.已知命题p ：∀x ∈R,2x
＜3x
；命题q ：∃x ∈R ，x 3
＝1－x 2
，则下列命题中为真命题的是( )．
()A p ∧q ()B p q ⌝∧ ()C p q ∧⌝ ()D p q ⌝∧⌝
5.若12,e e 是夹角为3
π
的两个单位向量，则12122;32a e e b e e =+=-+的夹角为（ ）
()A 6π ()B 3π ()C 23π ()D 56
π
6.已知函数 321
()2
f x ax x =+ 在1x =-处取得极大值 ，
记1
()()
g x f x =
'.在如图所示的程序框图中，若输出的结果 2016
2017
S =
，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是（ ）
()
A 2016?n ≤ ()
B 2017?n ≤ ()
C 2016?n > ()
D 2017?n >
7. 若三角形ABC 为钝角三角形，三边为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）
()A (1,5) ()B (1,5)(13,5
) ()C (5,13) ()D (13,5) 8. 已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2
:8C y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点.若||2||FA FB =,则k 等于（ ）
()
A 13 ()
B 23 ()
C 23 ()
D 22
3
9. 设定义在(1,1)-上的函数()f x 的导函数()5cos f x x '=+ ,且(0)0f = ,则不等式
2(1)(1)0f x f x
-+-< 的解集为( )
()A {|12}x x << ()B {|1x x >或1}x <- ()C {|11}x x -<< ()D {|01}x x <<
10.若数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=- ，则{}n a 的前40项和为( )
()A 760 ()B 780 ()C 800 ()D 820
11.一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）
()A 23+ ()B 13+ ()C 43+ ()D 223+
12.函数3
()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-，总有()0f x ≥成立，则a 的取值集合为（ ） ()A (,0]-∞ ()B [2,4] ()C {4} ()D [4,)+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13.已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则|24|z x y =+- 的最大值为 .
14.已知双曲线22
:1916x y C -=左右焦点分别为12,F F ,P 为C 右支上的一点，且212||||PF F F =，则三角形12PF F 的面积等于 .
15.数列{}n a 的首项11=a ,{}n b 为等比数列且n
n n a a b 1
+=,若1
5050512016b b =,则101a = .
16.四面体有一条棱长为x ,其余棱长为4.当四面体体积最大时,其外接球的表面积为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且sin 3cos c A a C = .
(1)求角C ；
(2)若14c =，且sin 3sin 2sin()C A A B =+-,求△ABC 的面积 。

18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点。

(1)证明：1BC ∥平面1A CD ;
(2)设12,22AA AC CB AB ====,求三棱锥
1C A DE - 的体积 .
19. （本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）， 以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，
[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布
直方图如右图．
（1）求直方图中x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？
20. （本小题满分12分）
已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>经过点(0,3)，离心率为1
2
，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c - .
(1)求椭圆的方程； (2)若直线1
:2
l y x m =-
+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53
||4
AB CD =
，求直线l 的方程。

21. （本小题满分12分）
已知函数22
()2ln 2f x x x x ax a =-+-+,其中0a >. (1)设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
(2)证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB 是
O 直径，AC 是
O 切线，BC 交
O 于点E .
（1）若D 为AC 中点，求证：DE 是O 切线；
（2）若3OA CE =
，求ACB ∠的大小.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C cos ,
:(sin ,
x t t y t αα=⎧⎨
=⎩为参数，0)t ≠，其中0απ≤<.在以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=.
(1) 求2C 与3C 交点的直角坐标；
(2) 若1C 与2C 相交于A ，1C 与3C 相交于B ，求AB 的最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()|||2|f x x a x =++-
(1)当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
(2)若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.
孟津一高2015——2016学年上期期末考试
高三数学（文）答案
一、选择题.1-5ADBBC 6-10ABDAD 11-12CC 二、填空题（13）21 （14）48 （15） 2016 （16）80
3
π 17.解：（1）
sin 3cos c A a C =，由正弦定理得sin sin 3sin cos C A A C =……2分
sin 0A ≠ tan 3C ∴=, 0C π<< 3
C π∴=
……4分
(2) sin()sin()3sin2A B A B A π----= 2cos sin 6sin cos A B A A ∴= 当cos 0A ≠时，sin 3sin B A = 3b a ∴= ……6分
2,32a b ∴== 133sin 22
S ab C =
= ……9分 当cos 0A =时，2
A π=
，42tan
6
3b c π
==
173
23
S bc ∴== ……12分 18.（1）证明：连接1AC 交1A C 与点F,则F 为1AC 的中点。

……2分 又D 是AB 的中点，连接DF ，则1BC ∥DF.
∵DF ⊂平面1A CD ,1BC ⊄ 平面1ACD ∴1BC ∥平面1A CD ……5分 (2)∵ 111ABC A B C -是直三棱柱，∴1AA ⊥CD 由已知AC=CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB. 又1
AA AB=A ，于是CD ⊥平面11ABB A . ……8分
由1AA =AC=CB=2，AB=22 得∠ACB=90°，CD=2，116,3,3A D DE A E ===
故222
11A D DE A E += ，即DE ⊥1A D
111
632132
C A DE V -∴=⨯⨯⨯⨯= ……12分
19.（1）依题意，20(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)1x ⨯++++++=
解得x=0.0075. ……4分 (2)由图可知，最高矩形的数据组为[220，240) , 所以众数为
220240
2302
+= 。

[160,220)的频率之和为(0.0020.00950.011)200.45++⨯= ， ∴ 依题意，设中位数为y
∴0.45+（y-220）⨯ 0.0125=0.5 , 解得y=224，
∴ 中位数为224. ……8分 （3） 月平均用电量在[220，240)的用户在四组用户中所占比例为
0.01255
0.01250.00750.0050.002511
=+++
∴ 月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取5
1111
⨯=5（户） ……12分
20（1）由题设知312
b c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，又222
b a
c =- ，
2,3,1a b c ∴=== ∴ 椭圆的方程为2
2143y
x += ……4分
（2）由（1）知，以12F F 为直径的圆的方程为22
1x y += ，
所以圆心到直线的距离为2||
5
m d =
，由1d < 得5||2m < （* ）
22242
||21215455CD d m m ∴=-=-=- ……6分
设1122(,),(,)A x y B x y 由2
21214
3y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22
30x mx m -+-= 由根与系数的关系可得2
1212,3x x m x x m +==-
2222115
||[1()][4(3)]422AB m m m ∴=+---=- ……10分
由||53
||4
AB CD =得22
4154m m -=- ，解得33m =± ，满足（* ） ∴直线l 的方程为1323y x =-
+或13
23
y x =-- ……12分 21. (1)由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()()2(1ln )g x f x x x a '==---， 22(1)
()2x g x x x
-'∴=-
= ……2分 当(0,1)x ∈时，()0,g x '<()g x 单调递减；
当(1,)x ∈+∞时，()0,g x '>()g x 单调递增. ……5分
（2）由()2(1ln )0f x x x a '=---=，解得1ln a x x =--.
令22
()2ln 2(1ln )(1ln )x x x x x x x x x ϕ=-+---+--
2(1ln )2ln x x x =+- ……7分
则(1)10,()2(2)0e e ϕϕ=>=-< 于是，存在0(1,)x e ∈使得0()0x ϕ=.
令00001ln ()a x x u x =--=，其中()1ln (1)u x x x x =--≥. 由1
()10u x x
'=-
≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增， 故000(1)()()21u a u x u e e =<=<=-<，即0(0,1)a ∈.
当0a a =时，有000()0,()()0f x f x x ϕ'=== ……9分 再由（1）知，()f x '在区间(1,)+∞上单调递增， 当0(1,)x x ∈时，()0,f x '<从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>从而0()()0f x f x >=；
又当(0,1)x ∈时，2
0()()2ln 0f x x a x x =--> .
故(0,)x ∈+∞时()0f x ≥
综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解. ……12分
22.(1)如图,连接AE,由已知得，A E ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE ， 连接OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°， 所以∠DEC+∠OEB=90°,
故∠OED=90°，DE 是⊙O 的切线 ……5分
（2）设CE=1.AE=x ，由已知得AB=23 ，BE=2
12x - ，
由射影定理可得，2
AE CE BE = ，所以22
12x x =- ，即4
2
120x x +-=
可得3x = ，所以∠ACB=60°。

……10分
23.（1）曲线2C 的直角坐标方程为22
20x y y +-= ，曲线3C 的直角坐标方程为
22
230x y x +-=，联立2
2
22
20230
x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或3
232
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以2C 与3C 与交点的直角坐标为(0,0)和33
(
,)22。

……5分 （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0),R θαρρ=∈≠其中0απ≤< ， 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23cos ,)αα ， 所以|||2sin 23cos |4|sin()|3
AB π
ααα=-=-
当56
π
α=
时，||AB 取最大值，最大值为4 ……10分 24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2<x <3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；
所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． ……5分 (2) f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． ……10分。