2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛

分析 :为了证明结论中的不等式 , 可以先 由已知条件 , 运用均值不等式证明以下的 3 个不等式 α 1 ≥ a α α α, 1+2a a + b + c

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分别为
( m + 1) x + y - 2 = 0
和 4 m 2 x + ( m + 1) y - 4 = 0 .
). 则 m 的值为 (
二、 填空题 ( 每小题 9 分 , 共 54 分) 7 . 设{ a n } 是递增的正整数数列 1 , 7 , 8 , 49 , 50 , 56 , 57 , …, 它们或者是 7 的幂 , 或者是 若干 个 7 的 不 同 的 幂 之 和 . 则 a1 000 =
2
+
2 y′ 2 a - b b 2 2・ a + b 2
2
= 1.
与 Γ 有何关系 ?
( 20 分) 设 a i ∈R + , i = 1 , 2 , …, 5 . 求 四、 a1 a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 a2 a3 + 3 a4 + 5 a5 + 7 a1
因此 , F 的轨迹为椭圆 , 且与 Γ 相似 . 四、 设原式为 A . 由柯西不等式 , 有
2
1 3 2 ( n + 4) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n = n ・ 5 2 11 ( n + 1) 2 n ( n + 1) ( 2 n + 1) - 3 n ( n + 1) 6 1 ( n 5 + 10 n4 + 35 n 3 + 50 n 2 + 24 n ) = 5 3 11 ( 2 n3 + 3 n2 + n) ( n4 + 2 n3 + n2 ) 2 6
6
∑k3 - 11 ∑k2 - 6 ∑k
k=1 k=1
n
n
n
若{ p1 , p2 , p3 , p4 } = { 1 , 2 , p3 , p4 } , 这是不可能 的. 从而 ,{ p1 , p2 , p3 , p4 } = { 1 , 2 , p3 , 2 p3 } , 即
n = 5 ( 1 + p3 ) .
2 从而 , n = 1 + 0 + p2 3 + p4
k=0
∑k4 = ∑k4
k=1 k=1
n
n
= 0 ( mod 4) , 矛盾 .
∑( k + 3) ( k + 2) ( k + 1) k k=1
n
所以 , 48 n . 因此 ,{ p1 , p2 , p3 , p4 }
= { 1 , 2 , p 3 , p 4 } 或{ 1 , 2 , p 3 , 2 p 3 } .
A・ [ a1 ( a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 ) + a2 ( a3 + 3 a4 +
+
+
5 a5 + 7 a1 ) + …+ a5 ( a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 ) ]
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2004 年全国高中数学联赛吉林赛区初赛
一、 选择题 ( 每小题 6 分 , 共 36 分)
1.
A B C 的三个内角满足 sin A ・ cos B ). - sin B = sin C - sin A ・ cos C. 则 (
( C) 动点 P 的轨迹方程为
x-
( A) ∠A = 90° (B) ∠B = 90° ( C) ∠C = 90° ( D)
2
x 2 + y2 x ・ x1 . y y
⑤f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且对一 切实数 x 1 、 x 2 均有
| f ( x 1) - f ( x 2) | ≤ 2| x 1 - x 2 | . 12 . 非空集合 A 满足
( 1) A Α { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …, 11} ; ( 2) A 中任何 2 个整数不相邻 .
2 2 2 = p2 p2 、 p3 、 p4 是 1 + p 2 + p 3 + p 4 , 其中 p 1 、
即可 得 证 . 则 分 析 过 程 中 常 数 α 的 值 为
.
n 的不同的 4 个最小的正整数因子 .
n
10 . 设 f ( x ) = x 2 - 2 ax - a2 -
3 . 若对 4
沿 CD 将
A CD 折起 , 折成一个直二面角
则
n=1
| z ∑
n
). - z n + 1 | = (
A - CD - B , 此时 , ∠A CB 的余弦值为 ). 的值为 ( ( A) 15° 或 75° ( C) 30° 或 60°
1 . 则 ∠A CD 4
( A) 2 004 ( B ) 1 ( C ) 0 ( D ) 2 004 3 . 已知一个矩形的两边所在直线的方程
同理 , y 1 = 1 - 2 x 2 ・ 2
分别为 A 关于 y 轴 、 原点 、 x 轴的对称点 , E 为Γ 上一点 , 使 A E ⊥A C , C E 与 B D 的交点 为 F.
( 1 ) 求出点 F 的坐标 ( 用 A 的坐标表
t=
2 2 x 1 y - xy 1 a - b = . x 1 y + xy1 + 2 xy a2 + b2 2 2 2 2
). 2 d 2 = 48 , 则 (
所占的个数比 x 的取值范围是
1 1 1 ≥ + + 1. 1 + 2 a 1 + 2b 1 + 2c
.
9. 设 a 、 b、 c ∈R + , 且 abc = 1 . 求证 :
( A) 动点 P 的轨迹为双曲线一支 (B) 动点 P 的轨迹曲线的离心率为 5 2
A B C 不一定是直角三角形
23 2 25 23 2 25
2
+
2
y
2
21
=1
( D) 动点 P 的轨迹方程为
x+
2 . 设{ z n } 是一个复数数列 , 定义
z n = ( 1 + i) 1 +
2 004
+
y2
21
=1
i i …1+ . 2 n
6 . 已知 Rt
A B C 斜边 A B 上的高为 CD ,
.
( A) - 1 ( C) 1 或1 3 1 . 3
8 . 已知某系列化合物的分子式通式为 C m H n ( 其中 m 、 n 为正整数) , 其碳原子所占
m , 给出一系列 m+ n 该 化 合 物 的 分 子 式 : CH4 , C2 H6 , …,
4 . 两个向量 a 、 b 满足 | a - 2 b| = 1 , | 2 a + 3 b| =
( 20 分) 求 六、
k=0
∑k 4 的求和公式 , 并给出
任意的 x ∈[ 0 , 1 ] , 均有 | f ( x ) | ≤1 , 则实数
a 的取值范围是 .
证明 .
参考答案
一、 1. A 2. A 3. B 4. C 5. D 6. A 二、 8. 7 . 47 076 750
k =1
∑
k =
2
1 n ( n + 1) ( 2 n + 1) , 6
k =1
∑k =
1 n( n + 2
1) .
n
0 ( mod 4) .
由式 ① 有
2 2 2 而 n = p2 0 ( mod 4) , 矛盾 . 1 + p 2 + p 3 + p4 ≡
所以 , 2| n . 若 4| n , 则 p1 = 1 , p2 = 2 .
故 p3 = 5 . 所以 , n = 130 . 六、 由 ( n + 3) ( n + 2) ( n + 1 ) n
∑
1 5
ai aj .
k=1
∑[ ( k + 4 ) ( k + 3 ) ( k + 2 ) ( k + 1 )
k -
( k + 3) ( k + 2 ) ( k + 1) k ( k - 1 ) ]
5 从而 , A ≥ . 16
=
1 ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2) ( n + 1) n . 5
10 . 1 ≤ 1 2 x < 9 . 5 3 3
11 . 设函数 f ( x ) 定义域为 R. 若存在与 x
无关的正常数 M , 使| f ( x ) | ≤M | x | 对一切 实数 x 均成立 , 则称 f ( x ) 为有界泛函 . 下列 函数中 , 属于有界泛函的有 ①f ( x ) = e , ②f ( x ) = x 2 , ③f ( x ) = x ( sin x + cos x ) , ④f ( x ) =
0.
+
y2 1 b
2 2
= 1 , 把 y 1 代入式 ① 得
3
( x - x 1 ) [ a x + 2 a2 y2 x - b2 y2 x - ( a2 x 2 + b2 y2 ) x 1 ] =
2 3 2 2 2 2
故 x1 =
a x +2a y x - b y x 2 2 2 2 a x + b y a - b a x 2 + b2 y 2
n n k=1
当 a1 = a2 = a3 = a4 = a5 时 , 式 ①、 ② 中的等号
5 都成立 , 即有 A = . 16 5 . 16 五、 若 n 是奇数 , 则 n 的所有因子都是奇数 , 即
又熟知
n
∑k3 = ( ∑k) 2 =
k=1
1 2( 2 n n + 1) , 4
n
综上所述 , 所求的最小值为
n k=1
i =1
∑a
i
5
5
2
i
- 10
1 ≤i < j ≤ 5
∑
ai aj
=
∑ 5 { ( k + 3) ( k + 2) ( k + 1) k [ ( k + 4)
n
1
-
1 ≤i < j ≤ 5
∑ (a
i =1
- aj ) 2 ≥ 0,
2
②
=
( k - 1) ]}
所以 ; j ≤ 5
36
中 等 数 学
1 ≥ b α α α, 1 +2b a + b +c 1 ≥ c α α α, 1 +2c a + b +c
( 其中 α为常数) . 再将上述 3 个不等式相加
α
α
…+
a5 a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4
的最小值 . ( 20 分 ) 求所有的正整数 n , 使得 n 五、

2005 年第 3 期
37
≥( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) 2 . 于是 , 有 A ≥ 8 因为 4
=
i =1
①
6 n.
① 注意到
n
1 ≤i < j ≤ 5
∑a . ∑ aa
i i j
5
2
k=1
∑( k + 3) ( k + 2) ( k + 1) k
的个数比的计算公式为
( a - 9 b) 的值为 ( ). 则 ( 5 a - 3 b) ・
C n H2 n + 2 , …. 则这一系列分子式中 , 碳原子
80 80 ( D) 9 3 27 5 . 设 P ( x , y ) 到定点 M ( , 0 ) 的距 2 离为 d 1 , 点 P 到 y 轴的距离为 d 2 . 若 5 d 1 + ( A) 0 (B) 10 ( C)
2 2 2
= 1 + 2 y 2 ・ 2
x.
则满足条件的 A 的个数为
2
.
2
a b ( a > b > 0) , A ( x , y ) 为 Γ 上一点 , B 、 C、 D
x y ( 20 分 ) 设 Γ 为 椭 圆 2 + 2 = 1 三、
a - b2 y. 2 2 2 a x + b y x1 + x tx + x 令 F ( t x , - ty) , 有 = .则 - ty + y y 1 + y
x
2 2
x
( 填序号) .
1 ≤ ≤2 a 11 . ③、 ④、 ⑤ 12 . 232 2 4 三、 设 E 为 ( x 1 , y 1 ) , 由 k A C ×k A E = - 1 , 有
y y1 - y ・ = - 1. x x1 - x
①
x + x +1
,
整理得 y 1 = 又
x2 1 a
a - b a - b ( - y) . x, 2 2 2・ 2・ a + b a + b ) 满足 当 A ( x , y ) 沿着 Γ 运动时 , 则 F ( x′ , y′
所以 , F
示) ;
( 2) 当 A 沿Γ 运动时 , F 的轨迹是什么 ?
2 x′ 2 a - b a 2 2・ a + b 2
年全国高中数学联赛吉林赛区初赛一选择题每小题6abc的三个内角满足sinabc不一定是直角三角形已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为已知rtabc斜边abcd折起折成一个直二面角cb的余弦值为0或70二填空题每小题9或者是若干个其碳原子所占的个数比的计算公式为碳原子所占的个数分析
2005 年第 3 期