第20讲义章惯性力

M z(F Iin ) 0
M IzM z(F Iit) m ir i r i ( m ir i2 ) J z 14
第二十章 惯性力
综上所述,惯性力系向转轴上一点O简化的主矩为
M IOM IxiM IyjM Izk
如果刚体有质量对称平面,切该平面与转轴z垂直,简化中 心O取为 此平面与转轴的交点，则有
F IR P gaCP g(aAaC t )A F Ie F Ir
式中
FIeP gaA，FIrP gaC t A
惯性力系向质心简化得主矩为
M IC
J C
1 12
P l 2
g
1P
12
g
la A
方向如图所示。
B
F Ie C
O
F
t Ir
M IC
q
A aA
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第二十章 惯性力
再向O点简化， 主矢不变
P F IR g a C
M I O r i ( m i a i ) (m i r i ) a C m r C a C
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： MIC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
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第二十章 惯性力
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
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第二十章 惯性力
由前面所得，即有
F Ix mC a x0, F Iy mC a y0
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIt
ml
2
F Inmna 0,M IAJA m 3 2l
根据动静法，有
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第二十章 惯性力
Ft 0, FAt mcgos0FIt 0
(1)
Fn0, FAnmsgin0FIn0
(2)
MA(F)0, mcgos0l/2MIA0 (3)
由上述5个方程解得轴承的全约束反力为
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第二十章 惯性力
FAx
1 AB
(M y
Frx
OB) (M Iy
FIx
OB )
0
1
FAy AB (M x Fry OB) (M Ix FIy OB) 0
1
FBx AB (M y Frx OA) (M Iy FIx OA) 0
第二十章 惯性力 讨论：
① 刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
FIRme2
② 转轴过质点C，但 0，惯性力偶
MI JC （与反向）
③ 刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 F IR0, M I0
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第二十章 惯性力
3、刚体作平面运动（平行于质量对称平面）
工程中的刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面运动，则 刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对称平面内 的平面运动。如图，以质心C为简化中心，惯性力系可简化为
主矢： FIRmaC
主矩： MICJC
结论：有质量对称平面的刚体，平行于此 平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此 平面内的一个力和一个力偶。这个力通过 质心，其大小等于刚体的质量与质心加速 度的乘积，其方向与质心加速度的方向相 反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂 直于质量对称面的轴的转动惯量与角角速 度的乘积，转向与角加速度相反。
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F i(i) 0 , M O (F i(i)) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO(Fi(e)) MO(FIi)0
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第二十章 惯性力
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
如图，以O为简化中心，所有主动力 和惯性力系向该点简化，形成一空间任意 “平衡力系”，列平衡方程
Fx 0 FAxFBxFrx FIx 0 Fy 0 FAyFByFry FIy 0 Fz 0 FAz FBz Frz FIz 0 Mx 0 FByOBFAyOAMz MIx 0 My 0 FAxOAFBxOBMy MIy 0
aCaAaC n AaC t A
上式中 aC n A2 l20， aC t A2 l 方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB aAaBt AaB aA aBt A
aBt AaA
ll
aC aAaCt A
B
a
t BA
aB
a A
a
t CA
C
aA
q
A aA
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第二十章 惯性力
因此得此杆惯性力系的主矢为
直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f ,
试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最 大值。
O 25
第二十章 惯性力
解： 取轮为研究对象 虚加惯性力系：
FIC maC mR
MIC JCm2
由动静法，得：
O
Fx 0, FSF1FIC0
Fy 0, FNPF2 0
MC(F)0, MFSRMIC 0
另外很显然有
F Ii m ia i M a C d d t( m iv i) d d p t
MO(FIi) MO(miai)
r i
(miai)
ri
d dt
(mivi
)
d dt
(ri
mivi)
d dt
MO(mivi
)dLO dt
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第二十章 惯性力
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系： 对于空间任意力系：
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第二十章 惯性力
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
Fx FIx 0 Fy FIy 0 M C (F ) M IC 0
实质上即是刚体平面运动微分方程：
M d 2 x C
dt2
Fx
M
d 2 yC dt2
Fy
d 2
JC dt2
M C (F )
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第二十章 惯性力
Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 MO(Fi(e)) MO(FIi) 0
Fix(e) FIix0 , Mx(Fi(e)) Mx(FIi)0 Fiy(e) FIiy0 , My(Fi(e)) My(FIi)0 Fiz(e) FIiz0 , Mz(Fi(e)) Mz(FIi)0
由动静法, 有
q q F x 0 m sg i F n Ico 0 s
解得
agtanq
q 角随着加速度 a的变化而变化，当 a不变时， q 角也 不变。只要测出q 角，就能知道列车的加速度 a。这就是摆
式加速度计的原理。
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第二十章 惯性力
二、 质点系的达朗贝尔原理 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
F Ie F Ir
B
F Ie C
O
F
t Ir
M IC
q
主矩为
M IO M IC MO (FIe) MO (FIr )
1P
1P
4
g
laA
12
g
laA
B
1 6
P g
laA
( 转向如图)
Ft C
Ir M IO
q
F Ie O
A aA
A aA
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第二十章 惯性力
[例3] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
平衡力系，这只不过是处理动力学问题的一种方法，质点并未
处于平衡状态。
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第二十章 惯性力 [例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度q ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a。
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第二十章 惯性力
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
F I m a(F Im)a
[例2] 均质细杆支承如图所示。已知杆长为l，重为P，斜
面倾角60。 若杆与水平面交角 q30瞬时，A端的加速度
为 a A ，杆的角速度为零。试求此瞬时杆上惯性力系向点O简
化的结果。
B
C
q
A aA
O
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第二十章 惯性力
解: 杆AB作平面运动，可将惯性力系向质心C简化，故需求
得质心C的加速度a C ，以杆端点A为基点，则
第20章惯性力
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2
第二十章 惯性力
本章介绍动力学的一个重要原理—— 达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动 力学问题从形式上转化为静力学问题，并 利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。 这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
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第二十章 惯性力
§20-1 达朗贝尔原理
一、 质点的达朗贝尔原理
联立求解得
2
2
2
M F S R R (F S F 1 ) F S (R R ) F 1R
FN= P +F2
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第二十章 惯性力
要保证车轮不滑动，
必须 FS<f FN = f (P+F2)
即
2
2
Mf(PF2)(RR)F 1R O
Mmax的值为上式右端的值。
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第二十章 惯性力
§20-3 刚体绕定轴转动时轴承的附加动反力
FBy
1 AB
(M x
Fry OA) (M Ix
FIy
OA)
0
FBz Frz
这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的轴承约束 力称为动约束力，要使之为零，必须有
F Ix F Iy 0 M Ix M Iy 0 即要使轴承动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零， 惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零。
J y z m iy i z i 0 ,J x z m i x i z i 0
则惯性力系简化的主矩为
M IOM IzJz
结论:当刚体有质量对称平面且绕垂直与此对称平面的轴作定 轴转动时,惯性力系向转轴简化为此对称平面内的一个力和一 个力偶,这个力等于刚体质量与质心的加速度的乘积,方向与 加速度方向相反,作用线通过转轴;这个力偶的矩等于刚体对 转轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反. 15
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在 形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分 必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
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第二十章 惯性力
F i(e) F i(i) F Ii0 M O (F i(e)) M O (F i(i)) M O (F Ii)0
由(2)得 : FAn mg sin0 ;
由(3)得 :
3g 2l
cos0
;
代入(1)得 :
FAt
mg 4
c
os0
。
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第二十章 惯性力 [例4] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线 轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的 两个力 F1、F2 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂
sinqi
yi ri
MIi mixizi 2 miyizi
令 J y zm i y i z i J x zm i x i z i
分别称为对z 轴的惯性积，则惯性力系对x 轴的矩为
MIx Jxz Jy z 2
同理惯性力系对y轴的矩为
MIy Jyz Jx z 2
惯性力系对z轴的矩为 M I zM z ( F I t i) M z ( F I n i)
以FIR表示惯性力系的主矢，则
F IR m ia i m a C
该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平移 、定轴转动与平面运动的刚体。主矢的大小和方向与简化中心 的位置无关。
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第二十章 惯性力
1、刚体作平移 作平移时，刚体任一点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，如 图，以O为简化中心，有
F iF N iF Ii0(i1,2,n ,)......
该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯 性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 把作用于I质点的所有力分为外力的合力Fi(e)，内力的合力Fi(i)，则
F i(e)F i(i)F Ii0(i1,2,n ,)......
切向惯性力
FI it
mi
a
t i
mi ri
法向惯性力
FIin
m
i
a
n i
mi ri 2
则惯性力系对x轴的矩为：
M Ix M x(F Ii) M x(F Iti) M x(F In i)
m iricq oiz si q m iri 2siin zi
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第二十章 惯性力
c
oqsi
xi ri
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
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第二十章 惯性力
§20-2 刚体惯性力系的简化
对质点系，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一 个力系，利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和 主矩，给解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定轴转动和平 面运动时惯性力系的简化。
人用手推车时，车在加速运动过程中 ，人会感到受到力的作用，这个力是由 于车具有惯性，力图保持原来的运动状 态对人产生的反抗力，称为惯性力。
如图质点m 的运动，由牛顿第二定律：
maFFN 令FI ma,作移项,处 有理
FFNFI0
FI 为惯性力，上式为质点的达朗贝尔原理。
从形式上看作用在质点上的主动力、约束力和虚加惯性力组成