3-5第五节函数的极值与最大值最小值

教
5 9 2 9 22
3
3
案
5
55
2
34
f( ) 3
5
5 25
为极小值
武 由于x=0是不可导点,它的二阶导数不存在,只好用第一判别法.
汉
科 技
f (x) 3 x 2 2 (x 1) 1 5x 2 0,; x 0, f (x) 0;
学 院
3 3x
3 3x
数
理
系
高
等 数
例5 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上剪去同样
学 电
大小的小正方形,然后按虚线把四边折起来,组成无盖的
子 教
盒子.问要去多大的小方块使盒子的容积最大?
案
解： :设剪去小方块
武 汉
的边长为x.
a
科
技
学 院
x
数
理
x
系
高
等 数
V x(a 2x)2 , x (0, x / 2)
学
案
定理2 (第一充分条件) 设函数f(x)在点x0连续,且在x0的某
一空心邻域U0(x0,δ)内可导,x ∈U0
武 汉 科
(1)若x<x0时,f’(x)>0;x>x0时,f’(x)<0,则f(x0)为极大值.
技 学 院
(2)若x<x0时,f’(x) < 0;x>x0时,f’(x) > 0,则f(x0)为极小值.
为0.
武 汉
定理1(必要条件) 若函数f(x)在点x0可导且取得极值f(x0),
科
技 学
则f’(x0)=0,
院
数
理
系
高 等
证明: 设f(x0)为极大值,当正数h很小时,有
数 学
f (x0 h) f (x0 ) 0, f (x0 h) f (x0 ) 0
电 子
f (x0 h) f (x0 ) 0, f (x0 h) f (x0 ) 0,
电 Vx (a 2x)2 4x(a 2x) a 2 4ax 4x 2 4ax 8x 2 子
教 案
a 2 8ax 12 x 2 0 x 8a
64a 2 48a 2 8a 4a
24
24
x1

a 6 .Vmax

a 6
(a

a)2 3
数
理 系
(3)若不论x<x0或x>x0, f’(x) 都不变号,则f(x0)不是极值.
高
等 数
证明: 我们只证明(1),同理可证明(2),(3).
学 电
由(1)的假设和定理1知f(x)在(x0-δ, x0]的邻域内递增,
子 教
在[x0,, x0+δ)的邻域内递减,所以在(x0-δ,x0+δ)都有
案
武 汉
不是最值.最值是函数在区间内的最大或最小的函数值.它
科
技 学
可能在区间内取到(此时它是极值),也可能在边界上得到
院
数
理 系
(此时它不一定是极值).
高 等
在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值.---闭
数 学
区间的性质.
电
子 求函数在闭区间内的最值的步骤是
教
案 (1) 计算f’(x),求出(a,b)内的所有驻点和不可导点.即找到全
高
等 第五节 函数的极值与最大值最小值
数
学
电 定义 设函数f(x)在点x0之某
y
子 教 邻域内有定义,若对于该邻域
案
内的一切x(x0除外),恒有
x
f(x0)>f(x) (或f(x0)<f(x) )则称f(x)在点x0处取得极大值(或极
武 汉
小值),把x0点称为f(x)的极大值点(或极小值点)
科
技 学
部 可能极值点.
武 (2) 计算上述各点的函数值.
汉
科 技
(3) 比较上述函数值的大小,其中最大的是最大值,最小的
学
院
数 理
(4) 是最小值
系
高
等 数 例4 取函数 f (x) x3 x 1 在[0,2]上的最大值和最小值
学
电 子 教
解:
f (x) 3 x 1 x
1
4x 3 ;
函数的极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小
院
数
理 系
值点统称为极值点
.
高
等
由函数极值之定义可知,其概念是一个局部性的概念.
数
学 函数在某区间内某一点取得极大值(或极小值),在已给区
电
子 间内,函数可能取得多个极大值和极小值. 在图中我们可
教
案 看到极值处的导数是水平的,即可导函数在极值点的导数
f(x0) > f(x) 证明他是极大值.
武
汉
科
技 学
x0
院
数
理
系
x0
x0
高 等
例2 求函数f(x)=x2e-x的极值.
数 学
解： f’(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,
电 子
令f’(x)=0, 得到 x=0, x=2
教 案
x=0 当x<0时,f’(x)<0 当0<x<2时f’(x)>0
0
学
院
数 理 系
因为f’(x0)=0
高
等
存在δ>0,当0<|x-x0|< δ时,有f’(x)/(x-x0)<0,
数 学
当x∈(x0-δ,x0)时f’(x)>0,当x∈(x0,x0+ δ)时f’(x)<0,由定理
电 子 2可知f(x0)是极大值.
教
案
二阶导数表示
切线的变化率
x0
x0
武
汉 科
这里的记忆方法同曲线的凹凸性一样,上凸的必定是极大值.

2a 3 27
武
汉
科 技 学 院
x2

a 2
.Vmin

a (a 2
a)2

0
数
理
系
3 3 (x 1)2 33 (x 1)2
案
f (x) 0 x 3 , 及不可导的点x=1,区间的端点0,2
4
f (0) 0, f ( 3) 33 2 , f (1) 0, f (2) 2
武
4
8
汉
科
技 学 院 数
33 2 ymax 2, ymin 8
理
0 x 2 / 5, f (x) 0, f (0) 0是极大值
系
高 等
二 函数之最大值,最小值
数
学 电
函数的极值是局部性的,
y f(x1)
f(x3) y=f(x)
子 教
它是在某一个邻域内的函
案 数的最大(小)值
f(x4) f(x2)
x
例如极值f(x1)在区间上它
x1 x2 x3 x4
技
学
院 数
例3 求函数 f (x) (x 1)3 x2 的极值
理
系
高 等
解:
数
学
电
f (x) 3 x 2 2 (x 1) 1 5x 2 0,
3 3x
3 3x
x

2,
f
( x)

1
(5
x
2 3
1
2x 3 )

5
2
1
x3

2
1
4
x3
5
3
33
33
子
f ( 2 ) 10 1 2 1 0
教
h
h
案
由于f(x)在点x0可导,有它左右极限相等,有
f (x0 )

lim
h0
f
(x0
h) h
f
(x0 )

0,
f (x0 )

lim
h0
f
(x0
h) h
f
(x0 )

0
武
汉 科
(x0 h ~ x0 x x h) f (x0 ) f(x0 ) f(x0 ) 0
技
学 院 数
使f’(x0)=0的点x0称为函数f(x)的驻点,
理
系
高 等
定理1 说明如果函数可微,只能在驻点处取得极值, 取得极值
数 学
的点称为极值点.还有是不可导的点.其他的点都不必考虑
电 .但驻点不一定是极值点,例如y=x3,y’(0)=0,x=0不是极值点. 子
教 为了研究极值点我们研究定理2
电
子
(1)若f”(x0)<0,则f(x0)是极大值.
教
案
(2)若f”(x0)>0,则f(x0)是极小值.
证明: 我们只证明(1),同理可以证明(2),因为
武 汉 科 技
f
( x0
)

lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim
x x0
x x0
f (x) x x0
所以是极小值f(0)=0,
x=2 当0<x<2时, f’(x)>0 ,当x>2时, f’(x)<0 ,
Hale Waihona Puke 武 汉f(2)=4/e2是极大值
科
技
学 院
为了使我们容易判别极大值和极小值，现在研究定理3
数
理
系
高 等
定理3 （第二充分条件） 设函数f(x)在x0的某邻域内可
数 学
导,且f’(x0) =0,f”(x0)≠0.