考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】
A．(ad－bc)2
B．－(ad－bc)2
C．a2d2－b2c2
D．b2c2－a2d2
正确答案：B
解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数
2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】
A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜
B．AB＝BA
C．｜AB｜＝｜BA｜
D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】
A．r＞r1．
B．r＜r1．
C．r＝r1．
D．r与r1的关系依C而定．
正确答案：C
解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数
4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】
A．(A*)*＝｜A｜n-1A
B．(A*)*＝｜A｜n+1A
C．(A*)*＝｜A｜n-2A
D．(A*)*＝｜A｜n+2A
正确答案：C
解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数
5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】
A．AB＝BA．
B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝
B．
C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝
B．
D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝
B．
正确答案：D
解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝
B．于是知D正确．知识模块：线性代数
6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】
A．1
B．
C．－1
D．
正确答案：B
解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数
7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】
A．A-1P1P2
B．P1A-1P2
C．P1P2A-1
D．P2A-1P1
正确答案：C
解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数
8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．
B．a＝b或a＋2b≠0．
C．a≠b且a＋2b＝0．
D．a≠b且a＋2b≠0．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】
A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．
B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．
C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．
D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．
正确答案：D
解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成
B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数
10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．
B．3
C．
D．
正确答案：A
解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数
11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】
A．C＝p-1AP．
B．C＝PAP-1．
C．C＝PTAP．
D．C＝PAPT．
正确答案：B
解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，
只有选项B正确．知识模块：线性代数
填空题
12．(88年)＝_______．
正确答案：－3
解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数
13．(16年)行列式＝_______．
正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4
解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数
14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．
正确答案：
解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数
15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．
正确答案：
解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数
16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．
正确答案：(－1)mnab
解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数
17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．
正确答案：0
解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(87年)设矩阵A、B满足关系式AB＝A＋2B，其中A＝，求矩阵
B．
正确答案：由题设等式得(A－2E)B＝A，其中E是单位矩阵．矩阵A－2E ＝可逆，用(A－2E)-1左乘上式两端，得涉及知识点：线性代数
19．(88年)设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式｜A｜＝，求行列式｜(3A)-1－2A*｜的值．
正确答案：因为(3A)-1＝A-1，A*＝｜A｜A-1＝A-1，所以涉及知识点：线性代数
20．(89年)已知X＝AX＋B，其中求矩阵X．
正确答案：由题设等式X＝AX＋B，得(E－A)X＝B，由于矩阵可逆，故得涉及知识点：线性代数
21．(90年)已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝O，试证明矩阵E－A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．
正确答案：由Ak＝0，有(E－A)(E＋A＋…＋Ak-1)＝E＋A＋…＋Ak-1－A－…－Ak-1－Ak＝E－Ak＝E，由逆矩阵的定义即知E－A可逆，且有(E －A)-1＝E＋A＋…＋Ak-1 涉及知识点：线性代数
22．(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
正确答案：(1)因为AA*＝A*A＝｜A｜I，故(2)由(1)可得｜PQ｜＝｜A｜2(b－αTA-1α) 而｜PQ｜＝｜P｜.｜Q｜，且由P的定义知｜P｜＝｜A｜≠0，故由上式得｜P｜＝｜A｜(b－αTA-1α) 由此可知｜Q｜≠0b－αTA-1α≠0，即矩阵Q可逆αTA-1α≠b．涉及知识点：线性代数
23．(15年)设矩阵A＝，且A3＝O．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若矩阵X 满足X－XA2－AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．
正确答案：(Ⅰ)由A3＝O两端取行列式，得｜A｜3＝0，从而得｜A｜＝0，而｜A｜＝a3，所以a＝0．(Ⅱ)由已知的X－XA2－AX＋AXA2＝E，得X(E－A2)－AX(E－A2)＝E 即(E－A)X(E－A2)＝E 由(Ⅰ)知由于E －A，E－A2均可逆，所以X＝(E－A)-1(E－A2)-1 ＝涉及知识点：线性代数
24．(87年)假设D是矩阵A的r，阶子式，且D≠0，但含D的一切r＋1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r＋1阶子式都等于0．
正确答案：设A＝(aij)m×n满足题设条件，不失一般性，设r＜m≤n，并设A的非零的r阶子式D位于A的左上角，即由题设，A的左上角的r＋1阶子式(它含D) 故Dr+1的行向量组线性相关，而Dr+1，的前r行线性无关，所以Dr+1的第r＋1行可由前r行线性表示．因此，通过把A的前r行的适当倍数加到A的第r＋1行，就可把A化成由行列式的性质知上面化成矩阵的前r＋1行中的一切r＋1阶子式都是A的相应子式．因此前r＋1行中含D的子式都为0，于是有a′r+1，r+1＝…＝a′r+1，n＝0，即经上述初等变换已将A的第r＋1行化成了零行．同理可通过初等行变换将A的第r＋2，…，第m行都化成零行，即经若干次初等行变换可将A化成由于D≠0，故B中非零子式的最高阶数为r，即B的秩为r，故A的秩为r．涉及知识点：线性代数
25．(88年)已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，…，βs-1＝αs-1＋αs，βs＝αs＋α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
正确答案：假设有一组数χ1，χ2，…，χs，使得χ1β1＋χ2β2＋…＋χsβs＝0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得(χs＋χ1)α1＋(χ1＋χ2)α2＋…＋(χs-1＋χs)αs＝0 由于α1，α2，…，αs线性无关，故有此方程组的系数行列式为s阶行列式：因此有(1)若s为奇数，则D＝2≠0，故方程组(*)只有零解，即χ1，χ2，…，χs必全为0．这时，β1，β2，…，βs线性无关；(2)若s为偶数，则D＝0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数χ1，χ2，…，χs，使χ1β1＋χ2β2＋…＋χsβs ＝0．这时，向量组β1，β2…，βs线性相关．涉及知识点：线性代数
26．(89年)设α1＝(1，1，1)，α2＝(1，2，3)，α3＝(1，3，t) (1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关? (2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关? (3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．
正确答案：由于行列式所以，当t≠5时，D≠0，此时向量组α1，α2，α3线性无关；当t一5时，D＝0，此时向量组α1，α2，α3线性相关．当t一5时，对矩阵[α1Tα2Tα3T]作初等行变换：由此即知α3＝－α1＋2α2．涉及知识点：线性代数
27．(91年)试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式其中αiT表示列向量αi的转置，i＝1，2，…，n．
正确答案：记n阶矩阵A[α1 α2 …αn]，则α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是｜A｜≠0．另一方面，由有｜ATA｜＝｜AT｜｜A｜＝｜A｜2＝
D．从而，｜A｜≠0与D≠0等价．由此可见，α1，α2，…，αn线
性无关的充分必要条件是D≠0．涉及知识点：线性代数
28．(95年)已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)＝R(Ⅱ)＝3，R(Ⅲ)＝4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
正确答案：因R(Ⅰ)＝R(Ⅱ)＝3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使得α4＝λ1α1＋λ2α2＋λ3α3 (*) 设有数k1，k2，k3，k4，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4(α5－α4)＝0 将(*)式代入上式并化简，得(k1－λ1k4)α1＋(k2－λ2k4)α2＋(k3－λ3k4)α3＋k4α5＝0，由R(Ⅲ)一4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以得k1＝k2＝k3＝k4＝0，故α1，α2，α3，α5－α4线性无关，即其秩为4．涉及知识点：线性代数
29．(96年)设向量α1，α2，…，αt，是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，向量β不是方程组AX＝0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β＋α1，…，β＋αt，线性无关．
正确答案：设有一组数k0，k1，…，kt．使得k0β＋k1(β＋α1)＋…＋kt(β＋αt)＝0 即(k0＋k1＋…＋kt)β＋k1α1＋…＋ktαt＝0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aαi＝0(i＝1，…，t)，得(k0＋k1＋…＋kt)A β＝0 因为Aβ≠0，所以有k0＋k1＋…＋kt＝0 (**) 代入(*)式，得k1α1＋…＋ktαt＝0 由于向量组α1，…，αt是方程组AX＝0的基础解系，所以k1＝…＝kt＝0 因而由(**)式得k0＝0．因此，向量组声β，β＋α1，…，β＋αt线性无关．涉及知识点：线性代数
30．(06年)设4维向量组α1＝(1＋a，1，1，1)T，α2＝(2，2＋a，2，2)T，α3＝(3，3，3＋a，3)T，α4＝(4，4，4，4＋a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．
正确答案：记A＝(α1，α2，α3，α4)，则于是当a＝0或a＝－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．当a＝0时，α1≠0，且α2，α3，α4均可由α1线性表出，故α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2＝2α1，α3＝3α1，α4＝4α1．当a＝－10时，对A施以初等行变换，有由于β2，β3，β4为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β1＝－β2－β3－β4，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1＝－α2－α3－α4．涉及知识点：线性代数
31．(11年)设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T 不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
正确答案：(Ⅰ)4个3维向量β1，β2，β3，βi线性相关(i＝1，2，3)，若
β1，β2，β3线性无关，则αi可由β1，β2，β3线性表示(i＝1，2，3)，这与题设矛盾，于是β1，β2，β3线性相关，从而0＝｜β1，β2，β3｜＝＝a－5，于是a＝5．此时，α1不能由向量组β1，β2，β3线性表示．(Ⅱ)令矩阵A＝[α1 α2 α3 β1 β2 β3]，对A施行初等行变换从而，β1＝2α1＋4α2－α3，β2＝α2＋2α1，β3＝5α1＋10α2－2α3．涉及知识点：线性代数。