河北省香河县第三中学2013届高三第二次质量检测数学(附答案)

廊坊市香河县第三中学高三第二次质量检测
高三数学
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =-，{0,2,4}B =，那么U A B =ð
（A ）{2,1,4}- （B ） {2,1,3}-
（C ）{0,2}
（D ）{2,1,3,4}-
2．复数
1i
i
-+= （A ）1i + （B ）1i -+
（C ）1i --
（D ）1i -
3．执行如图所示的程序框图．若输出y = 角=θ （A ）
π6 （B ）π
6-
（C ）π3
（D ）π
3
-
4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是
（A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2
- （C ）1
(,1)(,)2
-∞-+∞
（D ）1(,)
(1,)2
-∞-+∞
5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主） 视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是
（A
）6 （B
）12（C
）12+（D
）24+
6．设实数x ，y 满足条件 10,10,20,x x y x y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
则4y x -的最大值是
（A ）4- （B ）12
-
（C ）4 （D ）7
7．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，
E 是棱11B C 的 中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则 点P 运动形成的图形是 （A ）线段 （B ）圆弧
（C ）椭圆的一部分
（D ）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量(1,0)=i ，(0,1)=j ．若向量+λi j 与+λi j 垂直，则实数=λ______．
10．已知函数2log ,0,()2,
0,x x x f x x >⎧=⎨<⎩ 则1
()(2)4f f +-=______．
11．抛物线22y x =的准线方程是______；该抛物线的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且
5
2
MF =
，则0x =______． 12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件
的长度数据 (单位：m m )全部介于93至105之间．
将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，， [9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，， [103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长
度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直 方图，估计这批产品的合格率是_____．
13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，且
cos 3
cos 4
A b
B a ==．若10c =，则△AB
C 的面积是______．
14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,
231, ,
n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，
则1a =______；3n S =______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π
4
． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）设2
2
()[()]2sin g x f x x =-，求()g x 的单调递增区间．
16．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AC =，
22AB BC ==，AC FB ⊥．
（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ； （Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；
（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？ 证明你的结论．
17．（本小题满分13分）
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元， 超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为12
5，求甲 停车付费恰为6元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
18．（本小题满分13分）
已知函数()e x
f x ax =+，()ln
g x ax x =-，其中0a ≤． （Ⅰ）求)(x f 的极值；
（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中
点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点． （Ⅰ）若点G 的横坐标为1
4
-
，求直线AB 的斜率； （Ⅱ）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S = 20．（本小题满分13分）
已知集合*12{|(,,,),,1,2,
,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．
对于12(,,
,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；
1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1
(,)||n
i i i d A B a b ==-∑．
（Ⅰ）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ；
（Ⅱ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （Ⅲ）记20(1,1,,1)I S =∈．若A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==
，求(,)d A B 的最大值．
北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．A ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．0； 10．74
-
； 11．1
2x =-，2；
12．80%； 13．24； 14．5，722n +． 注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得3π
(
)04
f =， ………………1分
即 3π3πsin
cos 04422
a +=-=， ………………3分 解得 1a =． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =+． ………………6分
22()[()]2sin g x f x x =-
22(sin cos )2sin x x x =+-
sin 2cos 2x x =+ ………………8分
π
)4
x =+． ………………10分
由 πππ
2π22π242k x k -≤+≤+，
得 3ππ
ππ88
k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分 所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ
[π,π]88
k k -+，k ∈Z ． ………………13分 16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，
因为 AC =2AB =，1BC =，
所以 BC AC ⊥． ………………2分
又因为 AC FB ⊥，
所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………6分 在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ． 所以△BCD 的面积为 4
3
=
S ． ………………7分
所以四面体FBCD 的体积为：1312
F BCD V S FC -=
⋅=
………………9分 （Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下：
………………10分
连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．
因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ………………11分 所以 EA //MN ． ………………12分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………………13分 所以 EA //平面FDM ．
所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立． ………………14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………………1分 则 4
1
)12531(1)(=+
-=A P ． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是
4
1
． ………………4分 （Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． ………………6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ………………10分
其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ………………12分 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41
164
P =
=． ………………13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 ()e x f x a '=+． ………………2分
① 当0a =时，()e x f x =，故()f x 在R 上单调递增．
从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………4分
② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-．
()f x 和()f x '的情况如下：
故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞．
从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值． ………………6分 （Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x
-'=-
=． ………………8分 ③ 当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．
………………9分 ④ 当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．
当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分
当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．
综上，a 的取值范围是(,1)-∞-． ………………13分 19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ………………1分
将其代入22
143
x y +=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=． ………………3分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2
122843k x x k -+=+． ………………4分
故点G 的横坐标为2
1224243
x x k k +-=+． 依题意，得22
41
434
k k -=-+， ………………6分 解得 1
2
k =±
． ………………7分 （Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．
由（Ⅰ）可得 22
243(,)4343
k k
G k k -++． ………………8分 因为 DG AB ⊥，
所以
22
2
3431443
D
k k k k x k +⨯=---+， 解得 22
43D k x k -=+， 即 2
2
(,0)43
k D k -+． ………………10分 因为 △GFD ∽△OED ，
所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………………11分
所以
2
243
k k -=+， ………………12分
整理得 2
890k +=． ………………13分 因为此方程无解，
所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ………………14分 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当5n =时，由5
1
(,)||i
i
i d A B a b ==
-∑，
得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，
所以 (,)7d A B =． ………………3分
（Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．
因为 0∃>λ，使AB BC λ=， 所以 0∃>λ，使得 11221122(,,
)((,,
)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，
所以 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．
所以 i i b a -与(1,2,
,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数． ………………6分
所以 11
(,)(,)||||n
n
i
i
i
i
i i d A B d B C a b b c ==+=
-+-∑∑
1(||||)n
i i i i i b a c b ==-+-∑
1
||(,)n
i i i c a d A C ==-=∑． ………………8分
（Ⅲ）解法一：20
1
(,)||i
i
i d A B b a ==
-∑．
设(1,2,
,20)i i b a i -=中有(20)
m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,
,i m =时0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++时，0i i b a -<．
所以 20
1
(,)||i
i
i d A B b a ==-∑
121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=++
+-+++++++-+++
因为 (,)(,)13d I A d I B ==， 所以
20201
1
(1)(1)i
i
i i a b ==-=-∑∑， 整理得 2020
1
1
i
i
i i a b ===∑∑．
所以 20
1
2
121
(,)||2[()]i
i
m m i d A B b a b b
b a a a ==-=++
+-+++∑．……………10分
因为 1212201220()()m m m b b b b b b b b b ++++
+=+++-+++
(1320)(20)113m m ≤+--⨯=+； 又 121m a a a m m ++
+≥⨯=，
所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =++
+-++
+
2[(13)]26m m ≤+-=．
即 (,)26d A B ≤． ……………12分
对于 (1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．
综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分 解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+．
证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，
所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，
即 ||||||x y x y +≤+．
所以 2020
11(,)|||(1)(1)|i i i i
i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑ 20
1
(|1||1|)i i i b a =≤-+-∑
2020
11|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分
上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤． ……………12分 对于 (1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．
综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分。