辽宁省2020年八年级下学期第一次月考数学试卷

辽宁省八年级下学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，不能与合并的是（）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（）
A．4B．C．2=D．3
4．若x＜2，化简+|4﹣x|的正确结果是（）
A． 2 B．﹣2 C． 6 D．6﹣2x
5．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80
6．在△ABC中，给出下列各组条件：①∠A：∠B：∠C=3：4：5；②a：b：c=3：4：5；
③a=16，b=63，c=65；④a=130，b=128，c=17．其中能判定△ABC是直角三角形的有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
7．如图，正方形OABC的边长为2，OA在数轴上，以原点为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点D，则点D表示的实数是（）
A． 2.5 B．2C．D．
8．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB=6cm，BC=18cm，则Rt△ABE的面积为（）
A．27cm2B．24cm2C．22cm2D．20cm2
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
10．若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是．
11．若=3﹣m，则m的取值范围是．
12．计算：（+×）×=．
13．现有两根铁棒，它们的长分别为15cm和20cm，若想焊接一个直角三角形的铁架，则第三根铁棒的长度为．
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．
15．在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则S△ABC=．
16．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=．
三、解答下列各题（每小题15分，共15分）
17．÷
（2）（+）﹣（﹣）
（3）（+）（﹣）﹣（+3）2．
四、（每小题6分，共12分）
18．有一道练习题是：对于式子先化简，后求值．其中．
小明的解法如下：
==2a﹣（a﹣2）=a+2=．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．
19．先化简，再求值：（）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
五、（每小题7分，共14分）
20．观察下表
列举猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
……
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？
21．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
六、
22．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
七、
23．大家知道，因式分解是数学中的一种重要的恒等变形，运用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简：
====﹣1；
====﹣．（1）化简：；
（2）从以上化简结构中找出规律，写出用n（n≥1，且n为你整数）表示上面规律的式子；（3）根据以上规律计算：
（+++…+）（+）．
八、
24．如图，在公路的同侧有A、B两个送奶站，C为公路上一个供奶站，CA和CB为供奶站路线，现已测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠1=30°，若有一人从C处出发，沿公路边行走，速度为2.5km/h，问多长时间后这人距离B送奶站最近？
八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
考点：最简二次根式．
专题：计算题．
分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
解答：解：A、=3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、=2，不是最简二次根式，故C错误；
D、=，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．下列二次根式中，不能与合并的是（）
A．B．C．D．
考点：同类二次根式．
专题：常规题型．
分析：根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
解答：解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
点评：本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
3．下列计算正确的是（）
A．4B．C．2=D．3
考点：二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
分析：根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
解答：解：A、4﹣3=，原式计算错误，故本选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2=，计算正确，故本选项正确；
D、3+2≠5，原式计算错误，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
4．若x＜2，化简+|4﹣x|的正确结果是（）
A． 2 B．﹣2 C． 6 D．6﹣2x
考点：二次根式的性质与化简．
分析：由x＜2，判断x﹣2，4﹣x的符号，根据二次根式的性质解答．
解答：解：∵x＜2，
∴x﹣2＜0，4﹣x＞2﹣x＞0
∴原式=+|4﹣x|
=|x﹣2|+|4﹣x|
=2﹣x+4﹣x
=6﹣2x．
故选D．
点评：解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，=0，当a小于0时，二次根式无意义；
2、性质：=|a|．
5．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80
考点：勾股定理；正方形的性质．
分析：由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方﹣S△ABE求面积．
形ABCD
解答：解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，
=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
故选：C．
点评：本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
6．在△ABC中，给出下列各组条件：①∠A：∠B：∠C=3：4：5；②a：b：c=3：4：5；
③a=16，b=63，c=65；④a=130，b=128，c=17．其中能判定△ABC是直角三角形的有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
分析：由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解答：解：①∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°=75°，故不是直角三角形；
②设a=3k，则b=4k，c=5k，∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，故是直角三角形；
③∵162+632=652，∴能判定△ABC是直角三角形；
④∵1282+172≠1302，∴不能判定△ABC是直角三角形．
故选B．
点评：本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．如图，正方形OABC的边长为2，OA在数轴上，以原点为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点D，则点D表示的实数是（）
A． 2.5 B．2C．D．
考点：实数与数轴；勾股定理．
分析：根据勾股定理，可得OB的长，根据同圆的半径相等，可得OA=OB．
解答：解：由勾股定理，得
OB==2，
由同圆的半径相等，得
OA=OB=2，
故选：B．
点评：本题考查了实数与数轴，利用同圆的半径相等确定无理数是解题关键．
8．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB=6cm，BC=18cm，则Rt△ABE的面积为（）
A．27cm2B．24cm2C．22cm2D．20cm2
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：设AE=xcm，根据折叠的性质得出ED=BE=（18﹣x）cm，在Rt△ABE中根据勾股定理可得62+x2=（18﹣x）2，解方程求出AE的长，从而不难求得△ABE的面积．
解答：解：设AE=xcm，由折叠可知：ED=BE=（18﹣x）cm，
∵在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，
∴x=8，
∴S△ABE=AE•AB=×8×6=24（cm2）．
故选B．
点评：此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和三角形的面积，求出AE的长是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤2且x≠0．
考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答：解：由题意得，2﹣x≥0且x≠0，
解得x≤2且x≠0．
故答案为：x≤2且x≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．10．若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是﹣1．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
分析：根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答：解：由题意得，m﹣1=0，n+2=0，
解得m=1，n=﹣2，
所以m+n=1+（﹣2）=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．11．若=3﹣m，则m的取值范围是m≤3．
考点：二次根式的性质与化简．
分析：根据二次根式的性质，可得答案．
解答：解：由=3﹣m，得
3﹣m≥0．
解得m≤3，
故答案为：m≤3．
点评：本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质：=a （a≥0）．12．计算：（+×）×=18．
考点：二次根式的混合运算．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的乘法法则运算得到原式=+，然后化简后合并即可．
解答：解：原式=+
=3+15
=18．
故答案为18．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
13．现有两根铁棒，它们的长分别为15cm和20cm，若想焊接一个直角三角形的铁架，则第三根铁棒的长度为25cm或5cm．
考点：勾股定理的逆定理．
分析：此题要分两种情况进行计算：①当直角边长为15cm和20cm，②当20cm为斜边长，一条直角边长为15cm．
解答：解：①当直角边长为15cm和20cm时，斜边长为=25（cm），
②当20cm为斜边长，一条直角边长为15cm，则另一直角边长为：=5（cm），
故答案为：25cm或5cm．
点评：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握要分情况进行讨论，不要漏解．
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是10．
考点：勾股定理．
分析：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
解答：解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
点评：本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
15．在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则S△ABC=48cm2．
考点：勾股定理；等腰三角形的性质．
分析：根据题意画出图形，利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然
后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答：解：如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===8（cm），
∴S△ABC=BC•AD=×12×8=48（cm2）．
故答案是：48cm2．
点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=5．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：首先过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，易证得四边形BDCE是矩形，然后由勾股定理求得答案．
解答：解：过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，∠D=90°，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴平行四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°，
∴AE=AC+CE=1+2=3，
∴在Rt△ABE中，AB==5．
故答案为：5．
点评：此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答下列各题（每小题15分，共15分）
17．÷
（2）（+）﹣（﹣）
（3）（+）（﹣）﹣（+3）2．
考点：二次根式的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）根据二次根式的除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算．
解答：解：（1）原式=
=3；
（2）原式=2+﹣+
=3+；
（3）原式=7﹣5﹣（3+6+18）
=2﹣21﹣6
=﹣19﹣6．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
四、（每小题6分，共12分）
18．有一道练习题是：对于式子先化简，后求值．其中．
小明的解法如下：
==2a﹣（a﹣2）=a+2=．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．
考点：二次根式的化简求值．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质得到原式==2a﹣|a﹣2|，由于a=，即a
﹣2＜0，则原式=2a+a﹣2=3a﹣2，然后把a的值代入计算．
解答：解：小明的解法不对．改正如下：
==2a﹣|a﹣2|，
∵a=，
∴a﹣2＜0，
∴原式=2a+a﹣2=3a﹣2，
把a=代入得原式=3﹣2．
点评：本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和已知条件把所求的式子进行化简，然后把满足条件的字母的值代入计算．
19．先化简，再求值：（）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
考点：分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
解答：解：原式=[﹣]•=•=，
∵+|b﹣|=0，
∴，
解得：a=﹣1，b=，
则原式=﹣．
点评：此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五、（每小题7分，共14分）
20．观察下表
列举猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
……
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？
考点：勾股数．
专题：规律型．
分析：根据图表，找出规律，即第一个数的平方等于两相邻数的和，故b，c的值可求．再根据勾股定理逆定理可得13，b，c是勾股数．
解答：解：根据图表，由图可得规律：，解得．
所以b=84；c=85．
∵132+842=7225，852=7225，
∴13，84，85是勾股数．
点评：此题主要考查了勾股数，通过审题把题目中表格及相关知识转化成规律，是解题的关键．
21．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
考点：勾股定理的证明．
分析：通过把梯形的面积分解为三个三角形的面积之和得出=×2+，即可
证明a2+b2=c2
解答：定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE，
=×2+，
又∵S四边形ABCD==，
∴=×2+，
∴（a+b）2=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
六、
22．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
考点：全等三角形的应用；勾股定理的应用．
专题：几何图形问题．
分析：（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
解答：（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：
∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
点评：此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
七、
23．大家知道，因式分解是数学中的一种重要的恒等变形，运用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简：
====﹣1；
====﹣．（1）化简：；
（2）从以上化简结构中找出规律，写出用n（n≥1，且n为你整数）表示上面规律的式子；（3）根据以上规律计算：
（+++…+）（+）．
考点：分母有理化．
专题：阅读型；规律型．
分析：（1）根据平方差公式，可分母有理化；
（2）根据观察，可发现规律：=﹣（n≥1，且n为整数）；
（3）根据规律，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
解答：解：（1）原式===﹣；
（2）=﹣（n≥1，且n为整数）；
（3）原式=（﹣+﹣+…+﹣）（+）=（+）（
﹣）=2015﹣2=2013．
点评：本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．
八、
24．如图，在公路的同侧有A、B两个送奶站，C为公路上一个供奶站，CA和CB为供奶站路线，现已测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠1=30°，若有一人从C处出发，沿公路边行走，速度为2.5km/h，问多长时间后这人距离B送奶站最近？
考点：勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形．
专题：应用题．
分析：首先根据勾股定理逆定可证明△ABC是直角三角形，然后计算出∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质算出DC的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离B送奶站最近．
解答：解：∵82+152=172，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵∠1=30°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣30°=60°，
在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BC==7.5（km），
∵7.5÷2.5=3（h），
∴3小时后这人距离B送奶站最近．
点评：此题主要考查了勾股定理逆定理以及直角三角形的性质，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．。