概率论与统计原理复习资料

一、填空题
1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。

参考答案：
B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C
B+B
A+C
A，AB C+AC B+A BC，A+C
AB
B
A+C
BC
考核知识点：事件的关系及运算
2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。

参考答案：，，
考核知识点：古典型概率
3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。

参考答案：1/8，3/8
考核知识点：古典型概率
4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。

参考答案：
考核知识点：古典型概率
5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。

参考答案：，
考核知识点：概率的性质
6、设袋中有6个球，其中4白2黑。

用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率
为。

参考答案：，7/15，14/15
考核知识点：古典型概率和概率的性质
7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= ，P（B）= ，则P（A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B
A）= 。

参考答案：，，，
考核知识点：概率的性质
8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。

参考答案：（1）；（2）
考核知识点：事件的独立性
9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。

参考答案：5)
-
-
1p
1(
考核知识点：事件的独立性
10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。

参考答案：，，0
考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质
11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=，D X=，则n = ，p = 。

参考答案：3，
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
12、设随机变量X服从参数为（100，）的二项分布，则E X= ，
D X= 。

参考答案：20，16
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
13、设随机变量X服从正态分布N（，），则E X2= ，D（2X-3）= 。

参考答案：，1
考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质
14、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。

参考答案：5，（，）
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计
15、设由来自正态总体)10,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =15，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间长度为 。

参考答案：15，
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计
16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm ，标准差为0.017cm 。

假设零件的长度服从正态分布，则零件长度均值的点估计值为 ；零件长度标准差的点估计值为 ；零件长度标准差的置信区间为 。

参考答案：，，（，）
考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计
17、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，从X 中随机抽取一个容量为36的样本，设X 为样本均值，S 2为样本方差。

当总体方差σ2已知时，
检验假设H 0：μ=μ0的统计量为 ，当总体方差σ2未知时，检验假设H 0：μ=μ0的统计量为 。

参考答案：
36
/0
σμ-X ，36/0S X μ- 考核知识点：正态总体均值的假设检验
18、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，从X 中随机抽取一个容量为n 的样本，设S 2为样本方差，则检验假设H 0：202σσ=的统计量为 。

参考答案：20
2
2
)1(σχS n -=
考核知识点：正态总体方差的假设检验
19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都将 。

参考答案：减少
考核知识点：假设检验的两类错误
20、设随机变量X 在区间[1，3] 上服从均匀分布，则X 的概率密度
函数为 ；事件 {＜X ＜}的概率为
参考答案：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,
03
1,2
1
x ， 考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率
21、设随机变量X ～B （3，），则E X = ，D X = 。

参考答案：，
考核知识点：二项分布的数字特征
22、总体X 服从正态分布N （μ，σ2），从X 中随机抽取一个容量为n 的样本，X 为样本均值，S 2为样本方差。

当总体方差σ2已知时，
假设H 0：μ=μ0的检验统计量为 ，当总体方差σ2未知时，假设H 0：μ=μ0的检验统计量为 。

参考答案：
n
X /0
σμ-，
n
S X /0μ-
考核知识点：假设检验
23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为 ；事件“使用寿命超过600小时”可表示为 。

参考答案：（0，+∞）；（600，+∞） 考核知识点：随机试验的样本空间
24、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤=其他 ,020
,cos )(πx x A x f ，则常数
A = ，P （6
π<X ）= ，X 的分布函数F （x ）
= 。

参考答案：
1，，⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≥<≤<=212sin 00)(ππx x x A x x F ,0 ,
, 考核知识点：连续型随机变量的分布函数
25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本空间可表示为 ；事件“报警次数小于5次”可表示为 。

参考答案：{0，1，2，…}；{0，1，2，3，4} 考核知识点：随机试验的样本空间
26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面都向上的概率为 ，至少有1枚正面向上的概率为 。

参考答案：3/8，7/8 考核知识点：古典概率
27、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X 为两个数之和，则P{X ≤3}＝ 。

参考答案：
考核知识点：古典概率
28、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为 。

参考答案：3
1p -
考核知识点：古典概率
29、在假设检验中，一般情况下会犯 错误。

参考答案：第一类错误和第二类错误 考核知识点：假设检验
30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率为 。

参考答案：
考核知识点：古典概率
31、设随机变量X 在区间[2，7] 上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数为 ；随机变量X 的分布函数为 ；P{＜X ＜}= 。

参考答案：⎩⎨
⎧≤≤=其他,
07
2,
2.0)(x x f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥<≤-<=7
,
172,522,0)(x x x x x F ， 考核知识点：连续型随机变量的性质
32、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。

参考答案：40，24
考核知识点：二项分布的数字特征 33、设由来自正态总体)10,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间长度为 。

参考答案：5，
考核知识点：正态分布的估计值和置信区间
34、在假设检验中，第一类错误是指 。

参考答案：原假设本来正确，却被错误地拒绝了 考核知识点：假设检验
35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取4次，一次取一个球，则第二次取到红球的概率为 。

参考答案：
考核知识点：古典概率
36、设随机变量X 在区间[2，6] 上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数为 ；随机变量X 的分布函数为 ；P{＜X ＜}= 。

参考答案： ⎩⎨
⎧≤≤=其他,
062,25.0)(x x f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥<≤-<=6
,
162,4
2
2,0)(x x x x x F ， 考核知识点：连续型随机变量的概率
37、设随机变量X 服从参数为（10，）的二项分布，则E X = ， D X = 。

参考答案： 6，
考核知识点：二项分布的数字特征
38、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。

参考答案： 5，（，）
考核知识点：正态分布的估计值和置信区间
二、单项选择题
1、下列数字中不可能是随机事件概率的是（ ）。

A ．- 1/3 B ．0 Ｃ． Ｄ．1 参考答案：A
考核知识点：概率的公理化定义
2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。

用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为（ ）。

A ．
107 B ．10
3
C ．92
D ．151
参考答案：B
考核知识点：古典型概率
3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A 1为“产品是由甲车间生产的”， A 2为“产品是由乙车间生产的”， A 3为“产品是由丙车间生产的”， B 为“产品是次品”。

今从即将出厂的该种产品中任取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为（ ）。

A ．P (C A 1) B ．P (C 2A ) C ．P (B A 2) D ．P (A 1B )
参考答案：D
考核知识点：概率的表示与条件概率
4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A 1为“产品是由甲车间生产的”， A 2为“产品是由乙车间生产的”， A 3为“产品是由丙车间生产的”， B 为“产品是次品”。

今从次品中任取一件，则它是由甲车间生产的的概率为（ ）。

A ．P (C A 1)
B ．P (
C 2A ) C ．P (B A 2)
D ．P (B A 1)
参考答案：D
考核知识点：概率的表示与条件概率
5、任何连续型随机变量的概率密度f (x ) 一定满足（ ）。

A ．1)(0≤≤x f
B ．在定义域内单调不减
C ．在定义域内右连续
D ．⎰∞
+∞-=1)(dx x f 参考答案：D
考核知识点：概率密度的性质
6、设随机变量X ~N （2，1002），且P{0<X <4}=，则P{X <0}=（ ）。

A ．
B ．0.35
C ．
D ． 参考答案：B
考核知识点：正态分布
7、设X 是随机变量，x 0为任意实数，E X 是X 的数学期望，则（ ）。

A ．220)E E()E(X X x X -=- B ．220)E E()E(X X x X -≥- C ．220)E E()E(X X x X -≤- D ．0)E(20=-x X 参考答案：B
考核知识点：方差的性质
8、设假设总体X 服从参数为p （0<p <1）的0-1分布，p 未知。

（X 1，
X 2，…，X 5）是来自X 的简单随机样本，则下面的（ ）是统计量。

A ．X 1+pX 3
B ．X 5+2p （X 5 -X 2）
C ．min （X 1，X 2，…，X 5）
D ．X 2-
E X 4
参考答案：C
考核知识点：统计量的定义
9、设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而
n X X X ,,,21Λ为该总体的一个样本，∑==n
i i X n X 1
1，则总体均值
μ的矩
估计量为（ ）．
A ．∑==n
i i X n X 1
1
B ．∑=-n
i i X X n 1
2)(1
C ．∑=-n
i i X n 1
2)(1μ
D ．∑=-n
i i X X n 1
)(1
参考答案：A
考核知识点：参数的矩估计
10、设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而
n X X X ,,,21Λ为该总体的一个样本，∑==n
i i X n X 1
1，则总体方差2σ的矩估
计量为（ ）。

A ．∑=n
i i X n 1
21
B ．∑=-n
i i X X n 1
2)(1
C ．∑=-n
i i X n 1
2)(1μ
D ．∑=-n
i i X X n 1
)(1
参考答案：B
考核知识点：参数的矩估计
11、从估计量的有效性是指（ ）。

A ．估计量的抽样方差比较小
B ．估计量的抽样方差比较大
C ．估计量的置信区间比较宽
D ．估计量的置信区间比较窄 参考答案：A
考核知识点：评价估计量的标准
12、在一次假设检验中，当显著性水平为时原假设被拒绝。

当显著性水平为时，则（ ）。

A ．可能会被拒绝
B ．就不会被拒绝
C ．也一定会被拒绝
D ．需要重新检验 参考答案：C
考核知识点：假设检验的显著性水平
13、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）。

A ．一个增大，一个减少 B ．都增大 C ．都不变 D ．都减少
参考答案：D
考核知识点：假设检验的两类错误
14、假设检验中，一般情况下，（ ）错误。

A ．只犯第一类
B ．只犯第二类
C ．既可能犯第一类也可能犯第二类
D ．既不犯第一类也不犯第二类
参考答案：C
考核知识点：假设检验的两类错误
15、要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（ ）。

A. 1.0:0≥p H
B.1.0:0=p H
C. 1.0:0≤p H
D.1.0:0<p H
参考答案：A
考核知识点：单边假设检验
16、设随机变量X~N （2，102），且P{0<X<4}=，则P{X<0}=（ ）。

参考答案：D 考核知识点：正态分布的性质
17、某产品共有10件，其中4件为二等品，其余为一等品。

用不放
回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是二等品的概率为（ ）。

A ．53
B ．52
C ．31
D ．15
2 参考答案：B
考核知识点：古典概率
18、设随机变量X ~N （2，16），则P{X ＜2}为（ ）。

A ．0 B ．0. 25 C ．0. 5 D ． 参考答案：C
考核知识点：正态分布的性质
19、在一次假设检验中，当显著性水平为时原假设被拒绝。

当显著性
水平为时，则（ ）。

A ．需要重新检验
B ．就不会被拒绝
C ．可能会被拒绝
D ．也一定会被拒绝 参考答案：D
考核知识点：假设检验
20、下列数字中能是随机事件概率的是（ ）。

A ．-1 B ．-0.4 C ． D ． 参考答案：C
考核知识点：随机事件概率
21、总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中参数μ已知，2σ未知。

n X X X ,,,21Λ为来自X 的随机样本，X 和2S 分别为样本均值与样本
方差，则下面的（ ）是统计量。

A ．∑=-n i i X n 12
)(1μ B ．n X σμ- C ．22)1(σS n - D ．2
1∑=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n
i i X σμ 参考答案：A
考核知识点：正态分布的统计量
三、计算题
1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点。

（1）E 1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；A ={掷出偶数点}。

（2）E 2：记录一段时间内某城市110报警次数；B ={报警次数小于5
次}。

（3）E 3：在一批灯泡中任意抽取一只，观察其使用寿命（单位：小
时）；C ={使用寿命超过500小时}。

（4）E 4：向半径为10的平面区域D ={（x ，y ）：x 2 +y 2≤100}内随机投掷一点（假设点必落在D 内），观察落点的坐标；C={落点在半径为5的同心圆内}。

参考答案：
（1）Ω1 = {1，2，…，6}；A = {2，4，6} （2）Ω2 ={0，1，2，…}；B ={0，1，2，3，4} （3）Ω3 =（0，∞ ）；C =（500，∞）
（4）Ω4 = {100:),(22≤+y x y x }，D ={25:),(22≤+y x y x } 考核知识点：用集合表示随机试验的样本空间和随机事件
2、已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=1/4，P （AC ）=P （AB ）=1/16，P （BC ）= 0，求事件“A ，B ，C 至少有一个发生”和事件“A ，B ，C 都发生”的概率。

参考答案： 8
5，0 考核知识点：概率的性质
3、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。

用不放回方法从中任取两次，一次一件。

求（1）第一次取到的是次品的概率；（2）两次取到的都是次品的概率；（3）若已知第一次取到的是次品，第二次再取次品的概率。

参考答案：（1）103)(=
A P ；（2）15
1
92103)(=⨯=AB P ；
（3）92)()()(==A P AB P A B P 考核知识点：条件概率
4、设1，2，3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。

已知三台车床加工的零件分别占全部的35%，40%和25%，三台车床的次品率依次为4%，3%和2%。

现在从全部零件中任取一件，（1）求它是次品的概率；（2）若已知取出的零件是次品，求它是由第2台车床加工的概率。

参考答案：（1）；（2）12/31
考核知识点：全概率公式、贝叶斯公式
5、已知事件A ，B ，C 相互独立，且P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，P （C ）=1/4，求事件“A ，B ，C 至少有一个发生”和事件“A ，B ，C 都发生”的概率。

参考答案：4
3
，
24
1 考核知识点：概率的性质以及事件的独立性
6、袋中有100个大小相同的球，其中30个球上标有数字0，60个球上标有数字1，10个球上标有数字2。

现在从中任取1球，用X 表示取出球上的数字，即X = 0表示取出的球上标有数字0，X =1表示取出
的球上标有数字1，X = 2表示取出的球上标有数字2。

（1）写出X 的概率分布列；（2）求X 的分布函数；（3）求P{0≤X ≤}，P{0＜X ≤}；P{1＜X ＜}。

参考答案： （1）
（2）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2
,121 ,9.010 ,3.00
,0)(x x x x x F
（3），，0
考核知识点：离散型随机变量的分布列、分布函数以及相应事件的概
率
7、设离散型随机变量X 的概率分布如下：
（1）求X 的分布函数F （x ）；
（2）求P{0≤X ≤}， P{1≤X ＜}， P{1＜X ＜}
参考答案：（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2
1,21 0.7,10 ,1.00
,0)(x x x x x F ；（2），，0
考核知识点：离散型随机变量的分布函数及其性质
8、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≥<≤<=212sin 00)(ππx x x A x x F ,0 ,
,，求（1）常数A ；（2）P （6
π
<X ）；（3）X 的概率密度f （x ）。

参考答案：（1）1 ，（2），（3）⎪⎩⎪⎨⎧
≤
≤其他
,020 ,cos πx x
考核知识点：连续型随机变量的分布函数的性质，利用分布函数求事件的概率，以及用分布函数求概率密度
9、设随机变量X 的概率密度为 x A x f -=e )(（-∞＜x ＜+∞），求（1）系数A ；（2）P{0＜X ＜1}；（3）X 的分布函数。

参考答案：（1），（2）)e 1(5.01
--；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0
,e 5.010
,e 5.0)(x
x
x x x F 考核知识点：连续型随机变量的概率密度的性质，利用概率密度求事件的概率，以及用概率密度求分布函数
10、设随机变量X 在区间[1，5] 上服从均匀分布，求（1）X 的概率密度函数；（2）X 的分布函数；（3）P{＜X ＜}。

参考答案：（1）⎩⎨
⎧≤≤=其他,
05
1,
25.0)(x x f ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥<≤-<=5
,
151,411,0)(x x x x x F ；（3）
考核知识点：均匀分布的概率密度、分布函数
11、设某地区年总降水量X ~N （600，1502），求（1）明年的降水量在400~700之间的概率；（2）明年的降水量至少为300的概率；（3）明年的降水量小于何值的概率为？ 参考答案：（1）；（2）；（3）408 考核知识点：正态分布
12、设随机变量X ~ N （μ，σ2 ），求Y =aX +b （a ，b 为常数， a ≠0）的概率密度。

参考答案：2
2
)(2)]([21)(σμπ
σa b a y Y e
a y f +--
=
考核知识点：连续型随机变量函数的分布
13、设随机变量X 的分布列为
求（1）X 的数学期望E X 和方差D X ；（2）Y = X 2的分布列。

参考答案：（1）E X = 0 ；D X = （2）
差
14、设随机变量X 在区间[1，3] 上服从均匀分布，求X 的数学期望E X 和方差D X 。

参考答案：E X =2， D X =1/3
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
15、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布（λ>0），求X 的数学期望E X 和方差D X 。

参考答案：E X =λ，D X=λ。

考核知识点：随机变量的数学期望和方差
16、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布（λ>0），求X 的数学期望E X 和方差D X 。

参考答案：E X =λ
1，D X=
2
1
λ。

考核知识点：随机变量的数学期望和方差
17、设随机变量X 服从参数为（μ，σ2）的正态分布，求X 的数学期望E X 和方差D X 。

参考答案：E X ＝μ，D X ＝σ2 。

考核知识点：随机变量的数学期望和方差 18、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布（λ>0未知）。

（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求λ的极大似然估计量和矩估计量。

参考答案：θ的极大似然估计量和矩估计量都为
X
1
考核知识点：总体参数的极大似然估计法和矩估计法
19、设总体X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-0,00
,1)(x x e x f x
θ
θ
其中θ>0未知。

（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求θ的极大似然估计量。

参考答案：θ的极大似然估计量为X
考核知识点：总体参数的极大似然估计法 20、设总体X 服从参数为p 的0-1分布，求参数p 的极大似然估计量。

参考答案：p 的极大似然估计为i n
i X n X p
∑===1
1ˆ 考核知识点：总体参数的极大似然估计法
21、设随机变量X 服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。

（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求μ和σ2的极大似然估计量。

考核知识点：总体参数的极大似然估计法
22、设随机变量X 服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2
为未知参数。

（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求μ和σ的极大似然估计量。

考核知识点：总体参数的极大似然估计法
23、某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在欧姆。

改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为欧姆，标准差为欧姆，在显著性水平下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响？
参考答案：新工艺对该电阻元件的生产有显著影响 考核知识点：总体均值的假设检验
24、某厂生产了一批产品，按规定如果次品率超过了就不能出厂。

现从该批产品中随机抽取50件进行检查，发现其中4件是次品，问在显著性水平下，该批产品能否出厂？
参考答案：在显著性水平下认为该产品能出厂 考核知识点：单边假设检验
25、关于y 与x ，有如下12对数据：
试求（1）y 关于x 的线性回归方程；（2）当x 0=时，估计y 的值。

参考答案：（1）x y 3083.18492.2ˆ+=；（2） 考核知识点：一元线性回归。