高考数学解三角形：正余弦定理专题(五)

A (0, ) 2
cos A 0 tan A 0
A
(
,
)
2
cos A 0
tan A 0
已知 sin A
没有能力判断锐钝角
方法二：大边对大角。
已知 sin A ，自身没有能力判断锐钝角，判断其锐钝角的方法：大边对大角。
大边对大角的内容：在三角形中，边越大，对角越大。
已知三角形的两条边 a 和 b ，判断 a 的对角 A 的锐钝角方法： （Ⅰ） a b A B A 不是最大角 A 是锐角； （Ⅱ） a b A B A 是较大的角 A 是锐角或者钝角，需要分类讨论。
1350
1500
第五步：计算 sin A 和 sin B ， tan A 和 tan B 的值。 （Ⅰ）计算 sin A 和 tan A 的值。 根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 A cos2 A 1 sin 2 A 1 cos2 A ， sin A 0
sin A
1 cos2 A 。 tan A sin A
方法三：钝角占位法。
2
（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；
（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。
题型使用知识点七：三角形面积公式。
S ① ABC
1 2
ab sin C
S ② ABC
1 2
ac sin
B
S ③ ABC
1 bc sin 2
A
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
600
1200
1350
1500
cos C
3
2
2 2
1 2
1 2
2
3
2
2
C
2
3
5
6
4
3
3
4
6
cos C
3
2
2 2
1 2
1 2
2
3
2
2
②已知 sin C 的值，计算 cos C 的值。 根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 C cos2 C 1 cos2 C 1 sin 2 C 。
3
1 2
2 3
2
2
4
A 角的大小：单位： 0
2
3
5
3
4
6
3
4
6
A 角的大小：单位： rad
600
450
300
1200
1350
1500
（Ⅱ）计算 B 角的大小：
cos B 的值
1 2
2 2
3 2
1 2
2 3
2
2
B 角的大小：单位： 0
2
3
5
3
4
6
3
4
6
B 角的大小：单位： rad
600
450
300
1200
cos 2
1；②
tan
sin cos
。
题型使用知识点五：三角形内角三角函数正负。
A
锐角
钝角
sin A
正
正
cos A
正
负
tan A
正
负
题型使用知识点六：三角形内角的锐钝角判断方法。
方法一：自身判断。
已知条件
锐角
钝角
已知 A
A (00 ,900 )
A (900 ,1800 )
已知 cos A 已知 tan A
通过 sin C 的值不可以判断 C 的锐钝角情况，本题目没有第二个已知的角，不能用钝角占位法判 断 C 角的锐钝角，本题目没有已知 c 边的大小，不可以用大边对大角判断 C 角的锐钝角。既然 没有任何办法 C 角的锐钝角情况，只能分类讨论。
第一种情况：当 C 为锐角时： cos C 0 cos C 1 sin 2 C 。
3
2
2 2
1 2
2
2 2
tan A
3
1
3
3
3
1
（Ⅱ）单位： rad 的特殊角三角函数值。
A
2
3
6
4
3
3
4
sin A
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
1500 1 2
3 2
3 3
5 6 1 2
1
cos A
3
2
2 2
1 2
1 2
2
3
2
2
tan A
3
1
3
3
3
1
3
3
题型使用知识点四：三角函数同角之间的基本关系。
① sin 2
sin C tan C cos C tan C
1
。
tan 2 C 1
第二种情况： tan C 0 C 是钝角 cos C 0 cos C
1
。
tan 2 C 1
sin C tan C cos C tan C ( 1 ) 。 tan 2 C 1
第二步：计算 c 边的长度。
根据余弦定理得到： c2 a2 b2 2ab cos C ，题目已知 a 和 b ，第一步计算得到 cos C 。
① cos A b2 c2 a2 ； 2bc
② cos B a2 c2 b2 ； 2ac
③ cos C a2 b2 c2 。 2ab
题型使用知识点三：特殊角三角函数值。 （Ⅰ）单位： 0 的特殊角三角函数值。
A
300
450
600
1200
1350
sin A
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
cos A
sin 2 C cos2 C 1 (tan C cos C)2 cos2 C 1 tan 2 C cos2 C cos2 C 1
(tan 2
C
1) cos2
C
1
cos 2
C
1 tan 2 C
1
。
第一种情况： tan C 0 C 是锐角 cos C 0 cos C
1
。
tan 2 C 1
第三步：计算 cos A 和 cos B 的值。
根据余弦定理推导式得到： cos A b2 c2 a2 ； cos B a2 c2 b2 ；
2bc
2ac
题目已知 a 和 b ，第二步计算得到 c 。
第四步：计算 A 和 B 的值。
（Ⅰ）计算 A 角的大小：
cos A 的值
1 2
2 2
3 2
第二种情况：当 C 为钝角时： cos C 0 cos C 1 sin 2 C 。 ③已知 cos C 的值，直接进入第二步。 ④已知 tan C 的值，计算 cos C 的值。
根据三角函数同角之间的基本关系得到： tan C sin C sin C tan C cos C ， cos C
（Ⅰ）已知： a 边和 b 边的长度。
（Ⅱ）已知： C 角。 C 角的已知方法有四种：
①已知 C 角的大小；
②已知 sin C 的值；
③已知 cos C 的值；
④已知 tan C 的值。
解法设计：第一步：计算 cos C 的值。
①已知 C 角的大小，计算 cos C 的值。如下表所示：
C
300
450
高考数学解三角形：正余弦定理专题（五）
题型：已知两边和两边的夹角。
第一部分：题型使用知识点讲解
题型使用知识点一：余弦定理。
① a b2 c2 2bc cos A ； ② b2 a2 c2 2ac cos B ； ③ c2 a2 b2 2ab cos C 。
题型使用知识点二：余弦定理推导式。