2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

福建省宁德市中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知点(1,3)A -，(1,33)B
，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60︒ B ．75︒
C ．120︒
D ．150︒
【答案】A
【解析】根据题意求出直线AB 的斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出倾斜角． 【详解】
()1,3A -Q ，()
1,33B ∴直线AB 的斜率：333
3k -=
=
设直线AB 倾斜角为θ，则tan 3θ= 60θ∴=o 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．
2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，上底为1，腰为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．2
B ．1
2
x x
C ．42
D ．82
【答案】C
【解析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为
2
4
，求得原图的面积． 【详解】
依题意，四边形ABCD 是一个底角为45o ，上底为12的等腰梯形 过C ，D 分别做CF AB ⊥，DE AB ⊥
则ADE ∆和BCF ∆2的等腰直角三角形
1AE DE BF ∴===，又1EF CD ==，
∴梯形ABCD 的面积：()1
13122
S '=
⨯+⨯=
Q 在斜二测画直观图时，直观图的面积S '与原图的面积S 之比为：4
即：
4
S S '=
2S ∴==本题正确选项：C 【点睛】
本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．
3．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ） A ．0或3或-1 B ．0或3
C ．3或-1
D ．0或-1
【答案】D
【解析】利用两直线平行的充要条件构造方程进行求解． 【详解】
Q 两条直线260x a y ++=和()2320a x ay a -++=互相平行
216
232a a a a
-∴=≠
--，或121k a =-和223a k a -=-同时不存在 解得：1a =-或0a = 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查两条直线平行的应用，是基础题，解题时易错点是忽略其中一条直线斜率不存在的情况．
4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，
c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．正三角形
【答案】C
【解析】利用正弦定理化简已知不等式，得到222a b c +<，利用余弦定理即可得出
cos 0C <，可知C 为钝角，从而得出结论．
【详解】
由正弦定理得：222a b c +<
由余弦定理得：(322)2(32)---
()0,C π∈Q C ∴为钝角，则ABC ∆为钝角三角形
本题正确选项：C 【点睛】
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理进行边角互化、余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键．
5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A ．
83
B ．4
C ．25
D ．35
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长． 【详解】
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l
Q 它的侧面展开图是圆心角为90o 的扇形 22
r l π
π=
⋅∴ 4l r ∴=
又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r =
∴母线长为：44l r ==
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．
6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
20
3
B ．
403
C ．20
D ．40
【解析】由三视图得到该几何体为三棱柱，利用棱柱体积公式求得其体积． 【详解】
由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱柱
其底面是高为2，底边长为4的等腰三角形 则底面面积：1
4242
S =
⨯⨯=，又棱柱的高5h = 则体积为：4520⨯= 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查棱柱体积的计算，关键是通过三视图还原几何体，属于基础题． 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =
2b =，
sin cos 2B B +=A 的大小为（ ）
A ．60︒
B ．30︒
C ．150︒
D ．45︒
【答案】B
【解析】由sin cos 2B B +=
sin 2B ，进而可求得B ；然后利用正弦定理
可求出sin A ，根据三角形中大边对大角的原则可求出A . 【详解】 由sin cos 2B B +=
12sin cos 2B B +=
2sin cos 1B B ∴=，即：sin 21B =
()0,B π∈Q 45B ∴=o
又2a =
2b =22
sin 45
=o
解得：1sin 2
A =
a b <∵ A B ∴< 30A ∴=o
本题正确选项：B
本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，避免出现增根.
8．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．若//αβ，//m α，则//m β
B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥
C ．若m α⊥，//m n ，n β⊥，则//αβ
D ．若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则
n β⊥
【答案】C
【解析】在A 中，//m β或m β⊂；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，由面面平行的判定定理得//αβ；在D 中，n 与β相交、平行或n β⊂，从而得到结果． 【详解】
由m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知： 在A 中，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故A 错误；
在B 中，若αβ⊥，//m α，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误；
在C 中，若m α⊥，//m n ，n β⊥，则由面面平行的判定定理得//αβ，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n 与β相交、平行或n β⊂，故D 错误． 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．如图，三棱锥P ABC -中，M 、N 分别是AP 、AB 的中点，E 、F 分别是PC 、
BC 上的点，且
2PE BF
EC FC
==，下列命题正确的是（ ）
A ．MN EF =
B ．ME 与NF 是异面直线
C ．//AC 平面MNFE
D ．直线M
E 、N
F 、AC 相交于同一点 【答案】D
【解析】根据平行线分线段成比例的性质及平行直线的判定，可以排除,A B ；根据两平面相交有且仅有一条交线，可知ME 、NF 、AC 相交于同一点G ，排除C ． 【详解】
依题意，M 、N 分别是AP 、AB 的中点，E 、F 分别是PC 、BC 上的点，且
2PE BF
EC FC
== //MN PB ∴，12MN PB =
，//EF PB ，1
3
EF PB =，则//MN EF ，MN EF ≠ 故A 选项错误，B 选项错误；
因为,M E ∈平面APC ，,N F ∈平面ABC ，平面APC ⋂平面ABC AC = 则ME NF G =I ，且G AC ∈ ∴直线ME 、NF 、AC 相交于同一点G 故D 选项正确，C 选项错误． 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查了空间直线的位置关系，考查学生对于此部分公理的掌握，属于基础题． 10．已知直线l 过点(1,1)P ，且点(2,2)A -与点(2,4)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．1y =
B ．3223x x y xy y +--
C ．1x =或3223x x y xy y +--
D ．1y =或3223x x y xy y +--
【答案】C
【解析】根据题意，分2种情况讨论：①直线l 经过AB 的中点；②直线l 与AB 平行，分别求出直线l 的方程，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，点()2,2A -与点()2,4B -到直线l 的距离相等，分2种情况讨论： ①直线l 经过AB 的中点，此时AB 中点的坐标为()2,3-
直线l 经过点()1,1P 和()2,3-，则直线l 的斜率312
213
k -==--- 此时直线l 的方程为：()2
113
y x -=-
-，即：3223x x y xy y +-- ②直线l 与AB 平行，此时直线l 与x 轴垂直
又直线l 过点()1,1P ，此时直线l 的方程为：1x =
综合可得：直线l 的方程为1x =或3223
x x y xy y +--
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查直线方程的计算，关键是分析,A B 两点到直线l 距离相等的条件，属于基础题． 11．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面积为（ ） A ．
163
π
B ．
83
π C ．16π D ．8π
【答案】A
【解析】根据正三棱锥的特点，可确定球心O 必在P 与ABC ∆的中心G 的连线上，根据勾股定理构造关于半径的方程，求出正三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解． 【详解】 如图：
Q 正三棱锥P ABC -3ABC ∆的中心为G
则：22331334
AG AD =
=-= Q 侧棱长2PA = ∴高22213PG =-设正三棱锥的外接球的球心为O ，连接OA 由球的性质可知，球心O 必在PG 上 则在Rt OAG ∆中，)
2
2
231OA OA =
+，解得：23
OA =
∴外接球的表面积：2
231643S π
π⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求解，关键是根据球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理构造方程，是中档题．
12．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面
ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列四种说法：
①DBC ∆是等边三角形；②AC BD ⊥；③AB CD ⊥；④直线AD 和BC 所成的角的大小为60︒．其中所有正确的序号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．①②④
【答案】D
【解析】①取AC 中点E ，连接AC 中点E ，则DE AC ⊥，利用面面垂直的性质定理可证得DE ⊥平面ABC ，利用线面垂直性质可得DE BE ⊥，利用勾股定理求得BD ，可知①正确；对于②，因为BE AC ⊥，DE AC ⊥，利用线面垂直判定定理可知AC ⊥平面BDE ，根据线面垂直性质可知AC BD ⊥；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以E 为坐标原点建立空间坐标系，利用空间向量法求解向量的夹角． 【详解】
对于①，因为CD BC AB AD ===，取AC 中点E ，连接BE ，DE 则DE AC ⊥，BE AC ⊥，2
DE BE ==
Q 平面ACD ⊥平面ABC ，平面ADC ⋂平面ABC AC = DE ∴⊥平面ABC
DE BE ∴⊥ 221BD DE BE ∴=+=
在DBC ∆中，1DC BC ==，故①正确；
对于②，由①，知BE AC ⊥，DE AC ⊥，又DE BE E ⋂= AC ∴⊥平面BDE 又Q BD ⊂平面BDE AC BD ∴⊥，故②正确；
对于③，假设AB CD ⊥；又AB BC ⊥，BC CD C =I AB ∴⊥平面BCD
BD ⊂Q 平面BCD AB BD ∴⊥
又AC BD ⊥，AB AC
A ? BD ∴⊥平面ABC
这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错误；
对于④，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EB ，ED 分别为y 轴，z 轴，建立坐标系
则22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2D ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
所以22,0,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2222BC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r 设直线AD 和BC 所成的角为θ，则112cos 112
AD BC AD BC θ⋅===⨯⨯u u u r u u u r
u u u r u u u r 60θ∴=o ．故④正确．
本题正确选项：D 【点睛】
本题借助正方形翻折考查了空间距离、空间角、空间位置关系等，涉及到线面垂直、面面垂直、异面直线成角等知识，属于中档题．
二、填空题
13．已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,1)C ，在ABC ∆中，BC 边上的中线所在的直线方程是______；
【答案】32130x y +-=
【解析】求中线的方程，其实质是求直线方程：两点确定直线或是一点和直线的斜率k 确定直线，本题可以求出B ，C 的中点，结合点A 求解直线方程. 【详解】
设BC 中点为D （x ，y ）
已知B(－2,3)，C(0,1)，则D （-1，2） 因为121
2(1)3
AD k -=
=---
所以BC 边上中线所在的直线方程为：350x y +-=
【点睛】
本题考查中点公式和直线方程的求解，确定一条直线一般方法有：1.两点确定一条直线，其中可以利用直线的两点式方程；2.斜率和一点确定一条直线，重点是确定斜率.该题意在考查学生对基础知识的掌握程度.
14．在ABC ∆中，3
A π
=
，1b =，a =ABC ∆的面积为______；
【解析】由已知利用正弦定理可求sin B 的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求B ，C ，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】
3
A π=
Q ，1b =，a =
∴
1
sin B =
，解得：1sin 2
B =
b a <Q B A ∴<
6
B π
∴=
，可得：2
C A B π
π=--=
11
sin 1sin 2222
ABC S ab C π∆∴=
=⨯=
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15．若长方体1111ABCD A B C D -中，4BA =，13BC BB ==，直线1BA 与平面11BB D D 所成角的正弦值为______； 【答案】
12
25
【解析】先利用面积桥求出1A 到11B D 的距离125
h =
，根据长方体的特点可知1A 到11B D 的距离即为1A 到平面11BDD B 的距离，再根据线面角的定义可求得结果． 【详解】
设1A 到11B D 的距离为h ，则11111111
22
A B A D B D h ⋅=⋅ 即：435h ⨯= 125
h ∴=
又1BB ⊥平面111A B D ，可知1A 到11B D 的距离即为1A 到平面11BDD B 的距离
∴直线1BA 与平面11BB D D 所成角的正弦值为：112
125525
h
A B == 本题正确结果：1225
【点睛】
本题考查了直线与平面所成角，关键是能够确定1A 到11B D 的距离即为1A 到平面
11BDD B 的距离，从而利用线面角的定义求解．
16．在ABC ∆中，角A 、B 、
C 对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈︒︒，则
a
b
取值范围是______．
【答案】
【解析】由22a b bc =+及余弦定理可得()12cos c b A =+
，从而可得：
a
b
=A 的范围，利用余弦函数的图象和性质可得所求范围． 【详解】
ABC ∆Q 中，22a b bc =+
由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-
2222cos b bc b c bc A ∴+=+-，整理可得：()12cos c b A =+ ()()222212cos 22cos a b b A b A ∴=++=+
a
b
∴=()60,90A ∈o o Q 1cos 0,2A ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
可得：()22cos 2,3A +∈
，即：a
b
∈
本题正确结果：
【点睛】
此题考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，关键是能够熟练利用余弦定理构造等量关系．
三、解答题
17．如图所示，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=°，120ADC =∠︒，33AB =，2CD =，
1AD =，将四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的一个几何体．
（Ⅰ）求这个几何体的表面积； （Ⅱ）求这个几何体的体积．
【答案】（Ⅰ）(27183)π+；（Ⅱ）25π.
【解析】延长AD ，过C 作CO AD '⊥交AD 于O '；过C 作CE AB ⊥交AB 于E ；过D 作DF CE ⊥交CE 于F ；（Ⅰ）利用旋转体求解圆台圆锥的侧面积以及底面积即可；（Ⅱ）通过O A DO V V V ''=-圆台圆锥，利用公式直接求解即可． 【详解】
延长AD ，过C 作CO AD '⊥交AD 于O '；过C 作CE AB ⊥交AB 于E ；过D 作DF CE ⊥交CE 于F
（Ⅰ）令1r O C '=，2r AB =，1h O D '=，2h O A '=，1l CD =，2l CB =
120ADC ∠=o Q 30CDF ∴∠=o
在Rt CDF ∆中，2CD = 1CF ∴=，3DF = 11h ∴=，12l =
22h CF DA ∴=+=
又23EB AB DF =-= 2224l CE EB ∴+=
()2111222DO O A O A S S S S rl r r l r πππ'''∴=++=+++表圆锥侧圆台侧圆台下底
(
(2
2427π
ππ=+⋅+=+
（Ⅱ
）几何体体积：()21211
11
33O A
DO h V V V S S S h ''=-=-圆台圆锥
((
)2
22
1
1
213
23
5ππ
πππ=⨯⋅++-⋅=
【点睛】
本题考查旋转体的体积以及表面积的求法，关键是能够熟练应用表面积和体积公式，考查转化思想以及计算能力．
18．已知过点()1,2P ，斜率为2-的直线1l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点． （Ⅰ）求A ，B 两点的坐标；
（Ⅱ）若一条光线从A 点出发射向直线2l ：1y x =--，经2l 反射后恰好过B 点，求这条光线从A 到B 经过的路程．
【答案】（Ⅰ）()2,0A ，()0,4B ；（Ⅱ
）【解析】（Ⅰ）利用点斜式求得直线AB 的解析式，然后利用解析式求得点A ，B 的坐标即可；（Ⅱ）根据轴对称的性质，求得A 关于直线2l 的对称点A '，从而可求得线段A B '的长，即是这条光线从点A 到点B 经过的路程． 【详解】
（Ⅰ）由已知有：()1:221l y x -=--，即：24y x =-+ 当0x =时，4y =；当0y =时，2x =
()2,0A ∴，()0,4B
（Ⅱ）设A 关于2l 的对称点为A '，设()11,A x y '
依题意有：11110
12
021
2
2y x y x -⎧=⎪-⎪⎨++⎪=--⎪⎩，解得：1113x y =-⎧⎨=-⎩ ()1,3A '∴--
BA '∴=
=∴
这条光线从A 点到B 点经过的路程为【点睛】
本题主要考查直线的点斜式方程、点关于直线对称点的求解，关键是能够明确反射问题实际为对称问题，利用对称点的求解方法来进行求解．
19．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相海距4(33)+里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B 点相距163海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时．
（Ⅰ）求BD 的长；
（Ⅱ）该救援船到达D 点所需的时间． 【答案】（Ⅰ）83DB =（Ⅱ）1小时.
【解析】（Ⅰ）结合图形利用正弦定理转化求解BD 的长；（Ⅱ）利用余弦定理求出CD ，然后求解出该救援船到达D 点所需的时间． 【详解】
（Ⅰ）由题意可知：在ADB ∆中，45DAB ∠=o ，30DBA ∠=o ，则105ADB ∠=o
由正弦定理
sin sin AB DB ADB DAB =∠∠得：(433sin105sin 45DB =o o
由()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604
+=+=+=
o
o
o
o
o
o
o
代入上式得：83DB =（Ⅱ）在BCD ∆中，163BC =83DB =60CBD ∠=o 由余弦定理得：2222cos60CD BC BD BC BD =+-⋅⋅o
((2221
16383216383242
=+-⨯=
24CD ∴= 24
124
s t v ∴=== 即该救援船到达D 点所需的时间1小时 【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
20．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，且
3PA =1AD =，2PD =.
（Ⅰ）证明：DB ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若点F 在线段CD 上，且
3DF
FC
=，试问：在PB 上是否存在一点E ，使//EF 面PAD ？若存在，求出
PE
EB
的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在E ，当
3PE
EB
=时，使//EF 面PAD . 【解析】（Ⅰ）在PAD ∆中，由勾股定理可证PA AD ⊥，利用线面垂直的判定可得PA ⊥平面ABCD ，利用线面垂直的性质可得PA BD ⊥，又结合在菱形ABCD 中，
AC BD ⊥，利用线面垂直的判断定理可证得BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）在AB 上取一点G ，
3AG
GB
=时，则在PAB ∆中，
3PE AG EB GB ==，利用线面平行的判断定理可证//EG 平面PAD ，由
3AG DF
GB FC
==，GF AD //，可证//GF 平面PAD ，利用面面平行的判定定理可证平面//EFG 平面PAD ，利用线面平行的性质即可证明//EF 平面PAD ． 【详解】
（Ⅰ）Q 在PAD ∆中，3PA =
1AD =，2PD = 222AD PA PD ∴+=
PA AD ∴⊥
又侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD I 平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD
PA ∴⊥平面ABCD BD ⊂Q 平面ABCD PA BD ∴⊥
Q 在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，又PA AC A =I
BD ∴⊥平面PAC
（Ⅱ）存在E ，当3PE
EB
=时，使//EF 面PAD 理由如下：
在AB 上取一点G ，使
3AG
GB
=
则在PAB ∆中，
3PE AG
EB GB
== //EG AP ∴，又EG ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD //EG ∴平面PAD
Q 在菱形ABCD 中，
3AG DF
GB FC
== GF AD ∴// 同理，//GF 平面PAD
FG ⊂Q 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，FG EG G =I
∴平面//EFG 平面PAD //FG ∴平面PAD
-1?
{
2?
x y ==平面EFG //EF ∴平面PAD
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，线面平行的判断定理，面面平行的判定定理，线面平行的性质定理的综合应用，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足
(2)cos cos a c B b C -=.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3
B π
=
；（Ⅱ）(
3⎤⎦ 【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求得1
cos 2
B =
，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值；（Ⅱ）根据正弦定理将,a c 表示成sin ,sin A C 的形
式，根据三角形的面积公式可求1sin 2ABC S ac B ∆
=1sin 262C π⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，结合范围203
C π
<<，利用正弦函数的图象和性质可求得面积的取值范围． 【详解】
（Ⅰ）()2cos cos a c B b C -=Q
由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=
()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A ∴=+=+=
()0,πA ∈Q sin 0A ∴≠ 1cos 2
B ∴= ()0,B π∈Q 3
B π
∴=
（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin b A a B
=
a A
∴=
=
同理：3
c C =
1sin 1s in sin sin 233in 223
ABC A C A ac C S B ∆=⨯⨯=∴=
⨯
21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=
-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
1112cos 2sin 24462C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
203C π<<Q 72666
C πππ
∴-<-< 1sin 2126C π⎛
⎫∴-
<-≤ ⎪⎝
⎭
10sin 262C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴
的面积的取值范围为：(
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥.
（Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且1
3
BP DQ DA ==
，求二面角Q PA C --的大小的正切值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
5
2
. 【解析】（Ⅰ）证明AB AC ⊥，结合AB DA ⊥，证明AB ⊥平面ACD ，然后证明平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交
AP 于点O ；证明DC ⊥平面ABC ，推出QN AP ⊥，结合NO AP ⊥，推出AP ⊥平
面QNO ，即可证明QO AP ⊥，NOQ ∠就是二面角Q PA C --的平面角；通过求解三角形的相关知识即可求解二面角Q PA C --大小的正切值． 【详解】
（Ⅰ）Q 平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=o 90BAC ∴∠=o ，即AB AC ⊥ 又AB DA ⊥Q ，DA AB A =I AB ∴⊥平面ACD
AB ⊂Q 平面ABC ∴平面ACD ⊥平面ABC
（Ⅱ）在ACD ∆中，过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交AP 于点
O
由（Ⅰ）知平面ACD ⊥平面ABC
平面ACD ⋂平面ABC AC =，90DCA ∠=o DC ∴⊥平面ABC
//QN DC Q QN ∴⊥平面ABC ，AP ⊂平面ABC QN AP ∴⊥
又NO AP ⊥Q ，QN NO N =I AP ∴⊥平面QNO
QO ⊂Q 平面NQO QO AP ∴⊥ NOQ ∴∠就是二面角Q PA C --的平面角
在CAP ∆中，3CA =
，2
3
CP CB =
=45ACP ∠=o
(
2222
232342co 5s 5AP AC CP AC CP ACP ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯︒=
AP ∴=
在CAP ∆中，sin sin CP AP CAP ACP =∠∠
，即：sin 2
CAP
=
∠
sin sin CAP NAO ∴∠=
=∠ ACD ∆Q 中，//QN DC ，且223DQ AC =
=，2
23
QN CD == 在Rt NAO ∆
中，sin 2NO AN NAO =∠==. 在Rt NOQ ∆
中，
2tan 42NQ NOQ NO ∠=
==
∴二面角Q PA C --
大小的正切值2
【点睛】
本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力；准确找到二面角的平面角是解决本题的关键.。