(整理)数学分析大纲 (2)

新疆大学

“数学分析”课程教学大纲

Mathematical Analysis

课程编号：B052717, B052817, B052917课程类型：学科基础必修课程

总学时：288 学分：16

适用对象：2001级起数学学院各专业（民）

先修课程：高中数学

使用教材及参考书：

使用教材：《数学分析讲义》（第三版）刘玉琏、傅沛仁编，高等教育出版社，1992年6月。

参考书： 1.《数学分析》（第二版）陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中编，高等教育出版社，1993年第12次印刷，全国优秀教材国家教委一等奖。

2.《微积分学教程》（中译本）菲赫金戈尔茨著，高等教育出版社；

3.《数学分析习题集》（中译本）吉米多维奇著，高等教育出版社。

一、课程性质、目的和任务

本课程是新疆大学数学与系统科学学院数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的一门重要基础课。本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。

二、教学基本要求

要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。

三、教学内容及要求

依据《2001年新疆大学本科培养计划》，本课程教学在第1、第2和第3学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》和《数学分析Ⅲ》。

《数学分析Ⅰ》

第一章 函数

1.1.函数

一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象，四、数列

1.2. 四类具有特殊性质的函数

一、有界函数，二、单调函数，三、奇函数与偶函数，四、周期函数

1.3.复合函数与反函数

一、复合函数，二、反函数，三、初等函数

重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。 第二章 极限

2.1. 数列极限

一、 极限思想，二、数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-n n )1( 的极限，三、数列极限的概念

2.2. 收敛数列

一、收敛数列的性质，二、收敛数列的四则运算，三、数列的收敛判别法，四、子数列

2.3. 函数的极限 一、当∞→x 时，函数)(x f 的极限，二、当α→x 时，函数)(x f 的极限

2.4. 函数极限的定理，

一、函数极限的性质，二、函数极限与数列极限的关系，三、函数极限存在判别法

2.5. 无穷大与无穷小

一、 无穷小，二、无穷大，三、无穷小的比较

重点掌握：数列极限的定义与性质，收敛判别的单调有界原理，函数极限的定义与性质，两个重要极限，无穷大与无穷小的定义与性质。 第三章 连续函数

3.1. 连续函数

一、 连续函数的概念，二、间断点及其分类 3.2. 连续函数的性质

一、 连续函数的运算及其性质，二、闭区间连续函数的性质，三、反函数的连续性， 四、初等函数的连续性

重点掌握：函数连续的定义，闭区间连续函数的性质。 第四章 实数的连续性

4.1. 实数连续性定理

一、闭区间套定理，二、确界定理，三、有限覆盖定理，四、聚点定理，五、致密性定理，六、柯西收敛准则

4.2. 闭区间上连续函数性质的证明 一、 性质的证明，二、一致连续性

重点掌握：上、下确界的定义，实数连续性的基本定理及其证明，一致连续的概念，闭区间连续函数的性质的证明。 第五章 导数与微分

5.1. 导数，

一、 实例，二、导数概念

5.2. 求导法则与求导公式

一、 导数的四则运算，二、反函数的求导法则，三、复合函数的求导法则 四、初等函数的导数

5.3. 隐函数与参数方程求导法则

一、 隐函数求导法则，二、参数方程求导法则

5.4. 微分

一、微分的概念，二、微分的运算法则和公式，三、微分在近似计算上的应用

5.5. 高阶导数与高阶微分

一、高阶导数，二、莱布尼茨公式，三、高阶微分

重点掌握：导数与微分的定义，运算及应用，高阶导数与高阶微分。 第六章 微分学的基本定理及其应用（18学时）

6.1. 中值定理

一、罗尔定理，二、拉格郎日定理，三、柯西定理

6.2.洛必达法则 一、

00型，二、∞

∞

型，三、其它待定型 6.3. 泰勒公式

一、 泰勒公式，二、常用的几个展开式

6.4. 导数在研究函数上的应用

一、 函数的单调性，二、函数的极值与最值，三、函数的凸凹性，四、曲线的渐近线 五、描绘函数图象

重点掌握：微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析和作图。

《数学分析Ⅱ》

第七章 不定积分

7.1. 不定积分

一、原函数，二、不定积分

7.2. 分部积分法与换元积分法 一、 分部积分法，二、换元积分法

7.3. 有理函数的不定积分

一、 代数的预备知识，二、有理函数的不定积分

7.4. 简单无理函数与三角函数的不定积分

一、 简单无理函数的不定积分，二、三角函数的不定积分

重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。 第八章 定积分

8.1. 定积分的概念

一、实例，二、定积分的概念

8.2. 可积准则

一、小和与大和，二、可积准则，三、三类可积函数

8.3. 定积分的性质

一、定积分的性质，二、定积分中值定理

8.4. 定积分的计算

一、按照定义计算定积分，二、积分上限函数，三、定积分的基本公式，四、定积分的分部积分法，五、定积分的换元积分法

8.5. 定积分的应用