积分变换第1讲----傅里叶(Fourier)级数展开

方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
5
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内
的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函
数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可 以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷
(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
cn
=
1 8
sinc( wn )
(n
=
0,1,2,)
wn
=
nw
=
n 2p
16
=
np
8
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
32
一般地, 对于周期T
cn
=
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
= 1 1 e- jwnt dt
T -1
1
= 1 e- jwnt
= 1 e jwn - e- jwn
mwt cos nwt d t
=
m=1
2
= an
T
2 cos2 nwt d t
-T 2
=
an
T 2
即
an
=
2 T
T 2 -T 2
fT (t) cos nwt d t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T 2 -T 2
fT (t) sin nwt d t =
T 2
T
2 -T
fT (t)e- jnwt d t
2
21
而
c-n
=
an
jbn 2
= cn
=1 T
T
2 -T
fT (t)e jnwt dt
2
因此可以合写成一个式子
cn
=
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
(n = 0,1,2,)
fT (t) = cne jwnt n=-
= 1 T
c0
=
a0 2
=1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当n
1时cn
=
an
2
jbn
=1 T
T
2 -T
fT (t) cos nwt d t -
2
- j 1 T
T
2 -T
fT (t) sin
nwt d t
2
= 1 T
T
2 -T
fT (t)[cos nwt -
j sin
nwt]d t
2
= 1 T
最后可得:
fT
(t)
=
a0 2
n=1
(an
cos mwt
bn
sin
nwt)
(1.1)
其中
a0
=
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
an
=
2 T
T 2 -T 2
fT (t) cos nwt d t (n = 1,2,)
bn
=
2 T
T 2 -T 2
fT (t) sin nwt d t
(n = 1,2,)
积分变换
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
- Tjwn
-1 Tjwn
= 2 sin wn T wn
=
2 T
sinc( wn )
(n = 0,1,2,)
33
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间
隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总
是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f(t)看
作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由 无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮
T
2 f 2 (t) d t -T 2
T
2 g 2 (t) d t -T 2
cos = [ f , g] 是f , g间的夹角余弦,
f g
则如果[ f , g] = 0称为f与g正交.
10
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
3
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
4
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
即
a0
=2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
15
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T 2 -T 2
fT (t) cos nwt d t =
T 2
a0
cos nwt d t
2 -T 2
T
am
2 cos mwt cos nwt d t
-T
m=1
2
n
T
bm
指数形式可将级数表示为:
由cosj
=
e jj
e- jj
, sin
j
=
-
e jj j
- e- jj
得:
2
2
fT
(t)
=
a0 2
an
n=1
e jnwt
e- jnwt 2
-
jbn
e jnwt
- e- jnwt 2
=
a0 2
n=1
an
- jbn 2
e jnwt
an
jbn 2
-1 4 jwn
=
1 sin wn 2 wn
=
1 2
sinc(
w
n
)
(n
= 0,1,2,)
25
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sinc( x) = sin x x
严格讲函数在x = 0处是无定义的,但是因为
lim sin x = 1 x0 x 所以定义sinc( 0) = 1,用不严格的形式就写作
w
=
2p
T
=
2p
4
=
p
2
,
wn
= nw
=
np
2
f4(t)
-1 1 3
t
T=4
24
则
cn
=
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
= 1
4
2 -2
f4 (t)e- jwnt dt
=
1 4
1 e- jwnt dt
-1
1
=
1
e- jwnt
= 1 e jwn - e- jwn
- 4 jwn
fT
(t )
=
a0 2
(an
n =1
cos nwt
bn
sin
nwt )
(1.1)
为求出a0 , 计算[ fT ,1],即
T 2 -T 2
fT (t) d t =
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n =1
T
2 -T
cos
nwt
d
t
bn
2
T
2 sin nwt d t) =
-T 2
a0 T 2
12
由此不难验证
T
2 cos nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3,),
T
2 sin nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3,),
T
2 sin nwt cos mwt d t = 0 -T 2
(n, m = 1,2,3,),
T
2 sin nwt sin mwt d t = 0 -T 2
= 1 e jwn - e- jwn
- 8 jwn
-1 8 jwn
=
1 sin wn 4 wn
=
1 4
sinc(
w
n
)
(n = 0,1,2,)
30
则在T=8时,
cn
=
1 4
sinc( wn )
(n
=
0,1,2,)
wn
= nw
= n 2p
8
=
np
4
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
31
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
(n, m = 1,2,3,, n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3,, n m), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 d t = T -T 2
廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份 上的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.
34
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期 函数fT(t)便可转化为f(t), 即有
所对应的点便均匀分
n
布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为
w n
cos nwt =
T
2 cos2 nwt d t =
-T 2
T 2
1 cos 2nwt
dt
=
T
-T 2
2
2
sin nwt =
T
2 sin 2 nwt d t =
-T 2
T 2
1- cos 2nwt
dt
=
T
-T 2
2
2
14
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示
为三角级数的形式如下:
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在
此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即
函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个
数.
6
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
7
不满足狄氏条件的例:
f (t) = tgt
存在第二类间断点
f (t) =sin(1t)
在靠近 0处存在着无限多个极值点 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变
化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
a0
sin
nwt d t
2 -T 2
T
am
2 cos mwt sin
-T
nwt d t
m=1
2
n
T
bm
2 sin
-T
mwt sin
nwt d t
=
m=1
2
= bn
T
2 sin 2 nwt d t
-T 2
= bn
T 2
即
bn
=
2 T
T 2 -T 2
fT (t) sin nwt d t
17
n=-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d e jwnt
22
例 定义方波函数为
1 | t | 1 f (t) = 0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
-1 o
1
t
23
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f4 (t) = f (t 4n), n = -
T
T
2p
11
这是因为
p e j(n-m) d =
1
p
e j(n-m)
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m)p - e- j(n-m)p ]
j(n - m)
=
1
e- j(n-m)p [e j2(n-m)p -1] = 0
j(n - m)
e2ikp = cos2kp i sin 2kp = 1
lim
T
fT (t) =
f (t)
35
f(t)
O
t
fT1(t)
O
t
fT2(t)
36
由公式
fT (t) =
1 T
n=-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
nt
可知
f (t) = lim 1 T T
n=-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
nt
当n取一切整数时,w
f8 (t) = f (t 8n), n = -
w
=
2p
T
= 2p
8
=
p
4
,
wn
= nw
=
np
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
29
则
1
cn = T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
= 1
8
4 -4
f8 (t)e- jwnt dt
=
1 8
1 e- jwnt dt
-1
1
=
1
e- jwnt
函数f和g的内积定义为:
T
[ f , g] = 2 f (t)g(t) d t -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
T
|| f ||= [ f , f ] = 2 f 2 (t) d t -T 2
而许瓦兹不等式成立 :
[ f ,g] f g
T
即 2 f (t)g(t) d t -T 2
这样可令
sin x
= 1,则函数在整个实轴连续
x x=0
26
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
27
前面计算出
cn
=
1 2
sinc( wn )
(n
=
0,1,2,)
wn
= nw
= n 2p