1998年河南高考文科数学真题及答案

1998年河南高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º
( )
(A)
(B) － (C) (D) － 2121232
3(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是
( )
(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是
( )
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是
( )
(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)
(D) 12121-=B B A A 12
121=A A B
B (5) 函数f (x )=
( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x
1
(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)
x 1x 1
(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )
(A) (
)∪() (B) ()∪() 432π
π，45ππ，24ππ，45π
π，(C) ()∪() (D) ()∪()
432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，4
3(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为
( )
(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是
( )
(A)
I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2
123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么
( )
(A) 2 (B) S 0=
S S S '+=
0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)
S S
S '=
22
(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共
( )
(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是
( )
(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么3
122
2y x +
点M 的纵坐标是
( )
(A) ±
(B) ± (C) ± (D) ± 4323224
3(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小6
1
圆的周长为4π，那么这个球的半径为
( )
(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为
( )
(A)
(B) (C) (D)
251-2252-2
1
5-2252+(15) 等比数列{
a n }的公比为－
，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为
21
∞→n lim 11a 1
1a
( )
(A) (B)±
(C) (D) 3±23
2±2
6±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆
116
92
2=-y x
心到双曲线中心距离是__________
(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)
(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋
)(x ∈R )，有下列命题
3
π
①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －
)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；
6
π
③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)
设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．
21) (本小题满分11分)
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的
3
π
值．以下公式供解题时参考：
， ，
2cos
2sin
2sin sin ϕ
θϕ
θϕθ-+=+2
sin
2cos
2sin sin ϕ
θϕ
θϕθ-+=-， ．
2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2
sin 2sin 2cos cos ϕ
θϕθϕθ-+-=-
(22) (本小题满分12分)
如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△
AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐
17标系，求曲线C 的方程．
(23) (本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2
，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．
3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；
(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．
(24) (本小题满分12分)
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．
(25) (本小题满分12分)
已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋
)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与n
b 1
lg b n +1的大小，并证明你的结论． 2
1
1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．
(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(16)
(17) －5120 3
16
(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：
（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为
(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．
解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．
(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．
解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得
sin A ＋sin C =2sin B ．
由和差化积公式得． B C
A C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋
B ＋
C =π，得 =，
2)sin(C A +2
cos B
又A －C =
，得
cos =sin B ，
3
π
2
3
2B
∴
cos =2sin cos ．
2
3
2B 2B 2B ∵ 0＜
＜， ≠0， 2B 2π2
cos B ∴sin
=， 2B 4
3从而cos
== 2B 2
sin 12B -413∴ sin B =
= ⨯
234138
39
(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．
解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线
为y 轴，点O 为坐标原点．
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．
设曲线段C 的方程为
y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．
所以 M (－
，0)，N (，0)． 2P 2
P
由 |AM |=，|AN |=3得
17(x A ＋
)2
＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②
2
P
由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得
P
4
或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22
A
x p
因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P
⎩⎨⎧==2
2A x p ∴ P =4，x A =1．
由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－
=4． 2
P
综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．
解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．
作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有
x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=
=2，由于△
AMN 为锐角三角形，故2
2DA AM -2有
x N =|AE |+|EN |=4．
=|ME |+
=4
2
2AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．
设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程
y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．
(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．
注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得
A 1D ⊥面ABC ，
∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，
∴ ∠A 1AD=45º为所求．
(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．
∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DE
D
A 13故∠A 1ED=60º为所求．
(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，
∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，
2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 3
6
2=
⋅=
AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．
解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题ab
k
意，即所求的a ，b 值使y 值最小．
根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① a
a
b +-=
230于是 a
a
a k
ab k y +-==
2302
2
64
32+-
+-=
a a k
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+++-=
264234a a k
()2
642234+⋅
+-≥
a a k
18k =
当a ＋2=时取等号，y 达最小值．
2
64
+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．
故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，
2
ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．
即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．
故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．
解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得
b 1=1，
10b 1＋
=100．
d
2)
110(10-解得 b 1=1，
d =2．
∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知
S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋
) 3
11
21
-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，
311
21
-n lg b n ＋1=lg ． 2
1
12+n
因此要比较S n 与
lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与21311
21-n 的大小．
12+n 取n =1有(1＋1)＞，
112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋
)> 31
112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①
311
21
-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：
S n ＞
lgb n ＋1． 2
1
下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．
(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋
)· … ·(1＋)＞， 311
21-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋
)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1
)1(21-+k ＞(1＋
) 12+k 1
21
+k =
(2k ＋2)．
1
21
2++k k ∵ [
(2k ＋2)]2－[]2
1
21
2++k k 32+k =
1
23848422+++++k k k k k =
＞0， 1
21
+k ∴
(2k ＋2) ＞=．
1
21
2++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋
)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 1
21+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．
1
由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．
2。