高等数学 习题课1-2 极限与连续

n
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k

2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k

2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实
数a(0 a 1), 必有实数x0 (0 x0 1)使得f ( x0 ) f ( x0 a )。
例 4 求极限
2x 3 (1) lim x 2 x 1
x 1
(2) lim x 1 2 x
x 0
2 ( x 1) 2 x 1
解
2 x 1 2 2 1 (1)原式 lim x 2x 1
k k
对k Z得 f ( x ) 0 即 tan x x 有无穷多个实根。
例11 设f ( x ) C[ a ,b ] , 且a c d b, 证明 : (a , b)使 lf (c ) nf (d ) ( l n) f ( ), l、n N。
又 xn 1 2
2 xn 2, ( n 0,1,) { xn }有界。
1, ( n 0,1,)
xn1 xn与xn xn1同号
故当x1 x0时,{ xn }单调增;
{ xn }单调有界, 必收敛。
当x1 x0时,{ xn }单调减，也必然收敛。
又 lim f ( x ) lim
x 0 x 0
x x
sin x

1

, lim f ( x ) sin( 1)
x 0
x 0,1, 1, 2,为f ( x )的间断点。
x 1 为振荡间断点 2 ( y 1)3 ( y 1) x= -1 令x y 1, lim f ( x ) lim x 1 y 0 sin y x 1为可去间断点， -2 ,-3,…….为无穷间断点。 x=
n
1
2
1
lim 3 3 n 3,
n
由夹逼准则, 原式 3
例3 设x0 0, xn1
2(1 xn ) 2 xn
, n 0,1, 2,，
试证{ xn }收敛，并求 lim xn n
证
x0 0, xn 1 1
2
xn
2 xn 2( xn xn1 ) 2 2 xn1 xn (2 ) (2 ) 2 xn 2 xn 1 (2 xn )(2 xn1 )
(1) y x tan x
(1 x ) 2 1 , x0 x (4) y 0, x0 ln(1 x ) , 1 x 0， 1 x
(2) y ln tan
x 2
(3) y
1 1 e
x x 1
1 2 n 2 2 3.求极限 (1) lim n 2 2 2 n ( n 1) ( n 2) ( n n) 2 [ x] (2) lim x x 4. (1)设x0 6, xn1 6 2 xn , 试证{ xn }收敛, 并求 lim xn。
x
sin(mx ) sin(nx )
(m .n N )
(4) lim
x e
ln x 1
(5) lim tan x
x
tan(2 x )

(6) lim
x 0
1 tan x 1 sin x x3
4
(7) lim
x 0
e x e x x (8) lim
x 0
n
1 n n
6

22
6
解
n
1 n6 n 2

n 2n n n 1 1 n6 kn n6 n
6
n

n2
2
)

k 1
k2 n6 n 2
lim
n

k 1
k2 n6 kn

k 1
n
k2 n6 n
n
lim
n k 1
n
k
6
e sin x e x x sin x
x2 1 6. (1)若 lim ax b 5, 求a , b。 x x 1 2 x ax b (2)若 lim 2 2, 求a , b。 x2 x x 2
7. 试证 : 方程 x 2 x 1至少有一个小于 1 的正根。
证. f ( x ) C[ c ,d ] , M max f ( x ), m min f ( x )
x[ c ,d ] x[ c ,d ]
m
lf (c ) nf (d ) ln
M
[c, d ] (a , b)，使得 f ( )
lf (c ) nf (d ) ln
a 9
原式 lim (3 x 9 x 2 bx 1) x bx 1 lim x 3 x 9 x 2 bx 1 1 b b x lim 2 b 12 x 6 b 1 3 9 2 x x
例8 讨论f ( x ) lim
2 2
n( n 1)(2n 1) 6 n n
6 2
n n

1 lim 3

k 1
n
k2 n6 n
由夹逼准则, 原式
1 3
1
例2 设xn (1 2n 3n ) n , ) ( )n 3 3 3 1 1 1 n 2 n n 3 3 1 3 3 n 3 3
f ( x) ( x 1)
3 2
2
当x 1时, f ( x )是x 1的 阶无穷小。 2
3
例7 若 lim (3 x ax bx 1) 2, 求a , b 。
2 x
b 1 3 a 2 x x 解 原式 lim 2 x 1 x 代入原式得
第一章 习题课二
范围：1.6~1.9
内容要点
举例
练习
一 内容要点
1 极限 (1)单调有界准则 (2)夹逼准则 (3)两个重要极限 (4)等价无穷小替换 2 连续 (1)连续的概念 (2)间断点的判别、分类
(3)闭区间上连续函数的性质 (最值定理, 介值定理, 零点定理)
二 例题
例1 求 lim(
。
注 若在[a, b]上用介值定理, 只能得 [a, b]。
三
练习
1.下列说法是否正确?为什么? (1) 设x0是f(x).g(x)的连续点,则x0是f(x)+g(x)的连续点.
(2) 设x0是f(x).g(x)的间断点,则x0是f(x)+g(x)的间断点.
2. 讨论函数的连续性,指出间断点是何种类型.
设 lim xn A
n
xn 1
2(1 xn ) 2 xn
,
A
2 2A 2 A
， 解得A 2
lim xn 2 。
n
注 若从递推公式得到 xn+1 - xn=A (xn - xn-1)，则当 A> 0时,必有{ xn}单调(只要xn+1 - xn与 xn - xn-1 同号); 当A<0时,(或xn+1 - xn与 xn - xn-1 异号)时,往往{x2n}、 {x2n-1}分别单调(一增、一减)。
由初等函数连续性知: f(x)在[0,1)及(1,) 内连续, x=1是f(x)的跳跃间断点。
x3 x , x0 sin x 例9 求f ( x ) 的间断点, 并指出 ln(1 x ) sin 1 , x 0 其类型. 2 x 1 3 x x 解. 当x 0时, f ( x ) ,由sin x 0得x 1, 2, 3, sin x 1 当x 0时, f ( x ) ln(1 x ) sin 2 ,由x 2 1 0得x 1 x 1 3
x
(3) lim
x 0
解
ln( x 2 e 2 x ) 2 x 1 x sin x 1 2 (1)原式 lim 2 x 0 x 2 1 (2)原式 lim x 1 x x
ln(1 e x sin2 x ) ln(1 e
2 x x 0 2
(3) 原式 lim
e
1
(2)原式 lim(1 2 x ) x
x 0
lim 1 ( 2 x )
x 0
1 ( 2) 2 x
e
2
例 5 求极限
(1) lim
x 0
1 x sin x 1 e 1 ln(sin 2 x e x ) x
x2
1
(2) lim x(e x 1)
) x ( k

2
f ( x )
)
x 、x , k
(2) k

2
x
(1) k
x
(2) k
k

2
, 使得
(1) f ( xk ) 0
(2) f ( xk ) 0
(1) (2) xk ( xk , xk ), 使f ( xk ) 0
f ( x ) C[ x(1) , x( 2 ) ]