第二章误差分布与精度指标

因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
DXX E X E( X )X E( X )T
x2 x1
大小排列；统计误差出现在各区间内的个数，以及“误差出现在某个区间
内”这一事件的频率(n= 358），其结果列于表2-1中。
表 2-1
△为负值
△为正值
误差的 个数 频率
个数 频率
备
区间 〃
i
i / n
i / n
d
i
i / n
i / n
d
注
0.00~0.20 45 0.126 0.630 46
0.20~0.40 40 0.112 0.560 41
2
1
1 ( x )2
e 2 2
dx
2
x
1 ( x )2 2 2
d(x
)
2
1 ( x )2
e 2 2
dx
2
e
1 2
2
(
x
)2
d(-
(x
-
)2
)
1
1 ( x )2
e 2 2
dx
2
2 2
2
1 ( x )2
e 2 2
f ( x )dx
2
概率=1
1 0
第二章 误差分布与精度指标
本章重点 1.正态分布与偶然误差的规律； 2.衡量精度的指标； 3.精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；
§2-1 正态分布
概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布 。 为什么正态分布是一种重要分布？ （1）设有相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn,其总和为X=Xi,无论这些随 机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有 有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和X的影响都是均匀地小 ，即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和X将是服从或近似服从正态
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
推导：
E( X ) xf ( x )dx x
1
1 ( x )2
e 2 2
dx
2
作变量代换，令 t x ,
则有
x t , dx dt
0
0
0
和
210 0.499
个数
i
37 36 29 27 18 17 13 10 8 7 4 3 2 0 211
△为正值
频率
则有
D X
xi E X
i 1
2
pi
1 n
1
pi i2 2
对于连续型的随机变量X，若X的概率分布密度函数为f(x)，则有
推导 令
D( X ) f ( x )x E( x )2 dx 2
D( X )
x E( x ) 2 f ( x )dx
x
2
x 2
数学期望 有甲乙两射手他们射击技术如下表：
击中环数x 8
9
概率 甲 0.3 0.1
P 乙 0.2 0.5
10 随机量 0.6 0.3
试问哪一个射手技术好呢？
甲：8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3
乙： 8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1
平均起来甲的技术好些。这种平均值就是随机变量的数学期望。
一、一维正态分布
1.概率密度:
f(x)
1
( x )2
e 2
2
( x )
或写为f(x) 1 exp{ 1 ( x )2 }
2
2 2
其中μ和σ是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机 变量数字特征为μ和σ的正态分布，一般记为 x ～ N (,。)
2.一维正态随机变量X的数学期望和方差
1.20~1.40
14
0.033 0.165
1.40~1.60
9
0.021 0.105
1.60~1.80
7
0.017 0.085
1.80~2.00
5
0.012 0.060
2.00~2.20
6
0.014 0.070
2.20~2.40
2
0.005 0.025
2.40~2.60
1
0.002 0.010
2.60以上
表2-2中所列的421个真误差，尽管其观测条件不同于表1-1中的真 误差，但从表中可以看出；愈接近于零误差的区间，其频率愈大；随着 离开零误差愈来愈远，其频率亦逐渐递减；且出现在正负误差区间内的 频率基本上相等。表2-2的误差分布情况与表2-1内误差分布的情况具有 相同的性质。
表 2-2
误差的 区间 〃
定义1.1：设离散型的随机变量的分布律为
P{X=xi}=pi ，i =1,2, …
若级数 xi pi 绝对收敛，则称级数
望或算数平均i值1 ，记为
xi pi
i1
为随机变量X的数学期
E( X ) xi pi
i 1
定义1.2：若连续型的随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
xf ( x )dx
0.40~0.60 33 0.092 0.460 33
0.60~0.80 23 0.064 0.320 21
0.80~1.00 17 0.047 0.235 16
1.00~1.20 13 0.036 0.180 13
1.20~1.40 6 0.017 0.085 5
1.40~1.60 4 0.011 0.055 2
由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值180°，根据（2-2-
1）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：
i L1 L2 L3 i 180
i 1,2,358
式中(L1+L2+L3)i表示各三角形内角和的观测值。 现取误差区间的间隔d△为0.20〃，将一组误差按其正负号与误差值的
（2-2-3 ）
测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的，△仅仅 是指偶然误差。
人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的 分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。
二、偶然误差的统计规律
1. 统计表
在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，
对其均值的离散程度。
方差定义：设X是一随机变量，若 E X EX 2 存在，则称之为随机变量
的方差，记为
DX E X EX 2
在应用中为了与随机变量有相同的量纲，引入标准差（或均方差），记
为
X DX
由定义可知，方差就是随机变量X的函数 gX X EX 2 的数学期
望，对于离散型的随机变量，若X的分布律为 PX xi pi , i 1,2，
k
P( k x k ) f ( x )dx k
如果令
t x
1
2
k k exp
(
x
E(
2 2
x
))2
dx
则有
P( k x k )
1
2
k k exp
t 2
2
dt
2
2
k 0
exp
t2 2
dt
由正态分布概率数值表查得：
p( x ) 0.683
2
t
2
e
t2 2
dt
-
2
te
t2 2
d（-
t2
)
2
2
2
设u t ,
dv
t2
e 2
d( t2
),
du dt ,
t2
ve 2 ,
2
uvdx uv vudx
则有
即
D( X )
2
t e 2
t2
2
dt
2
t2
( te 2
2
2
t2
e2
dt
)
2
2
2 2
证毕。
3.一维正态随机变量出现在给定区间( k , k 内) 的概率
2
te
-
t2 2
e
t2 -
2
dt
2
0
e
-
t2 2
dt
2
2
1t2
e 2 dt
2
DX 2
推导 D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
作变量代换，令 t x , dx dt
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx
x1x2 2
x2
x1xn
x2 xn
xn x1
xnx2
2 xn
2 xi
是随机变量Xi的方差，
xi x j
是随机变量Xi对随机变量Xj的互协方差。
§2-2 偶然误差的规律性
任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数 值就称为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶 然误差时，其数学期望也就是它的真值。
△为负值
个数 频率 i / n
i i / n d
0.00~0.20
40
0.095 0.475
0.20~0.40
34
0.081 0.405
0.40~0.60
31
0.074 0.370
0.60~0.80
25
0.059 0.295
0.80~1.00
20
0.048 0.240
1.00~1.20
16
0.038 0.190
177 0.495
从表2-1中可以看出，误差的分布情况具有以下性质： （1）误差的绝对值有一定的限值； （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差； （3）绝对值相等的正负误差的个数相近。
为了便于以后对误差分布互相比较，选取另一测区的421个三角形 内角和的一组真误差，按上述方法作了统计，其结果列于表2-2。
e 2 2 dx
2
t x ,
x t , dx dt
D X
2t 2 2
t2 -
e 2 dt
2
2
t2
t 2 e - 2 dt
2
2
t2 -
te 2
d
-
t2 2
uvdx uv vudx
u
t, dv
-t2
e2
d
t2 2
,du
dt ,v
-t2
e2
D X
（2-2-1 ）
若记
L
n ,1
L1 L2
Ln
, L~ n ,1
L~1 L~2
L~n
,
n ,1
1
1
n
,
则有
L L~
（2-2-2 ）
如果以被观测量的数学期望 EL EL1 , EL2 , , ELn T
表示其真值，则
E
LLL~E,L.
p( 2 x 2 ) 0.955
p( 3 x 3 ) 0.997
二、N维正态分布
设随机向量 X ( x1 , x2 , , xn )T 服从正态分布，则n维正态分布的随机向
量X的联合概率密度函数是
f(X )
DXX
1
1
n
2 2 2
exp
D
1 XX
X
X
n维正态随机变量X ( x1 , x2 , , xn )T 的数学期望和方差（数字特征）分别为
一、真误差——偶然误差的定义
设进行了n次观测，其观测值为L1、L2、…、Ln,假定观测量的真值
为 L~1 、 L~2、… L~n ，由于各观测值都带有一定的误差 ，因此，每一
观测值Li与其真值或E（Li）之间必存在一差数，设为
i Li L~i
或i L~i Li
式中 i 称为真误差，有时简称为误差。
换句话说，当对某个量进行观测时，总是不可避免地受到若干偶然因 素的影响，其中每一个引起的基本误差项为δi，而总的测量误差= δi，如 果每一个δ对其总和的影响都是均匀地小，那么，总和就是服从正态分 布的随机变量。
（2）有许多种分布，如二项分布、t分布等等，当n ∞时，它们多趋近于
正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。
绝对收敛，则称积分
xf ( x )dx
为X的数学期望或平均值，记为
E( X ) xf ( x )dx
一维正态随机变量X的数学期望
e x
ex
d( (x - )2 ) 2(x - ) dx
2 2
2 2
推导：
E( X ) xf ( x )dx x
1
1 ( x )2
e 2 2 dx (x )