电磁场与电磁波课后习题与答案七章习题解答(2)

《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波
7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成
j()
e n r t m βω⋅-=e E E 。

解 E m 为常矢量。

在直角坐标中
故 则 而 故
可见，已知的()
n j e r t m e βω⋅-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。

7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。

解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取
显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。

7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m
y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度
(,)z t H 。

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90︒
-。

与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1
A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。

当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e
，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。

解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为
由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为
7.5 一个在空气中沿
y
e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为
（1）求β和在3ms t =时，
z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。

解（1
）
781π
10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==⨯
==⨯
在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。

考虑到波长260m
π
λβ
=
=，故
因此，t =3ms 时，H z =0的位置为
（2）电场的瞬时表示式为
7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。

当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。

设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。

解 在自由空间，波的相速
80310m/s
p v c ==⨯，故波的频率为
在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为 而
故
7.7 海水的电导率4S/m γ=，相对介电常数81
r ε=。

求频率为10kHz 、100kHz 、1MHz 、10MHz 、100MHz 、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

解 先判定海水在各频率下的属性
可见，当7
10Hz f ≤时，满足1γ
ωε>>，海水可视为良导体。

此时
f =10kHz 时 f =100kHz 时 f =1MHz 时 f =10MHz 时
当f =100MHz 以上时，1
γ
ωε>>不再满足，海水属一般有损耗媒质。

此时，
f =100MHz 时
f =1GHz 时
7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。

证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时 故场量的衰减因子为
即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。

用分贝表示。

7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad /m β=，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 1.81rad /m β=。

设1r μ=，求理想电介质的r ε和波在电介质中
的传播速度。

解 自由空间的相位常数
0β=
在理想电介质中，相位常数 1.81rad /s
β==，故
电介质中的波速则为
7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm ；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm ，且已知此时的||50V /m =E ，||0.1A /m =H 。

求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的r μ、
r
ε。

解 自由空间中，波的相速8310m/s
p v c ==⨯，故波的频率为
在无损耗媒质中，波的相速为 故
8
210=⨯ （1）
无损耗媒质中的波阻抗为
||50500||0.1
η=
===ΩΕH （2）
联解式（1）和式（2），得
7.11 一个频率为f =3GHz ，e y 方向极化的均匀平面波在
2.5r ε=，损耗正切
2tan 10γ
δωε-=
=的非磁性媒质中沿()e x +方向传播。

求：（1）波的振幅衰减一半时，传播
的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x =0处的
950sin(610)V /m
3y t π
π=⨯+E e ，写出H (x ,t )的表示式。

解 （1）29901810123 2.5
2310 2.51036r f γγγγωεπεεππ--====⨯⨯⨯⨯⨯⨯
故
而
该媒质在f =3GHz 时可视为弱导电媒质，故衰减常数为
由
12x e α-=
得
（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为 而相位常数
故波长和相速分别为
（3）在x =0处， 故 则 故
7.12 有一线极化的均匀平面波在海水(80,1,4/r r S m
εμγ===)中沿+y 方向传播，
其磁场强度在y =0处为 （1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H 的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出E (y ,t )和H (y ,t )的表示式。

解 （1）10109044360.181080108010γπ
ωεπεπ-⨯===⨯⨯⨯
可见，在角频率10
10ωπ=时，海水为一般有损耗媒质，故
（2）由0.010.1y
e
α-=即0.1y
e
α-=得
（3）83.910(,)0.1sin(10300)A/m
3y x y t e t y π
ππ-=--H e
其复数形式为
故电场的复数表示式为 则
7.13 在自由空间（z <0）内沿+z 方向传播的均匀平面波，垂直入射到z =0处的导体平面上。

导体的电导率61.7MS/m γ=，1r μ=。

自由空间E 波的频率f =1.5MHz ，振幅为
1V/m ；在分界面(z =0)处，E 由下式给出 对于z >0的区域，求2(,)H z t 。

解 69
60
61.710704.4102 1.510γωεπε⨯==⨯⨯⨯
可见，在f =1.5MHz 的频率该导体可视为良导体。

故 分界面上的透射系数为
入射波电场的复数表示式可写为
则z >0区域的透射波电场的复数形式为 与之相伴的磁场为 则
7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为
求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？
解 设媒质1为空气，其本征阻抗为0η；介质板的本征阻抗为2η。

故分界面上的反射系数和透射系数分别为 式中
都是实数，故,ρτ也是实数。

反射波的电场为
可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。

但波的传播方向变为-z 方向，故反射波也变为右旋圆极化波。

而入射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。

透射波的电场为
式中，2
β==2中的相位常数。

可见，透射波是沿+z 方向传播
的左旋圆极化波。

7.15 均匀平面波的电场振幅
0100V /m j m E e +=o
，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的
20202,4,0μμεεγ===）
，求反射波和透射波的电场振幅。

解
1120πη===Ω
反射系数为 透射系数为
故反射波的电场振幅为 透射波的电场振幅为
7.16 最简单的天线罩是单层介质板。

若已知介质板的介电常数02.8εε=，问介质板的
厚度应为多少方可使频率为3GHz 的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。

当频率分别为3.1GHz 及2.9GHz 时，反射增大多少？
题7.16图
解 天线罩示意图如题7.16图所示。

介质板的本征阻抗为2η，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1η和3η。

设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。

设媒质1中的入射波电场只有x 分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
而媒质1中的反射波电场为 与之相伴的磁场为
故媒质1中的总电场和总磁场分别为
1111()()11111()()1111111j z d j z d x m x m j z d j z d m m y y E e E e
E E
e e ββββηη-+++-+-
+-
-+++-⎫
=+=+⎪⎬=+=-⎪
⎭E E E e e H H H e e （1）
同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场
22
22222212222222j z j x m x m j z j z m m y y e E e
E E e e ββββηη-+-+-+-
-+-
⎫
=+=+⎪⎬=+=-⎪
⎭E E E e E e H H H e e （2）
媒质3中只有透射波
3333333j z
x m j z m
y E e
E e ββη-++
-⎫=⎪⎬=⎪
⎭E e H e （3）
在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅1m E +，而2m E -、2m E +、2m E -和3m E +
为待求
量。

利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。

在分界面②处，即z =0处，应有
2323,x x y y
E E H H ==。

由式（2）和（3）得
223
2232311()m m m m m m E E E E E E ηη+-++-+⎫
+=⎪
⎬-=⎪⎭ （4）
由式（4）可得出分界面②上的反射系数
232
2232m m E E ηηρηη-
+-==+ （5）
在分界面①处，即z =-d 处，应有12x x E E =，12y y
H H =。

由式（1）和（2）得
222222*********
11
2
2
21
2
2
()1
1
()()()j d j d j d j d m m m m m j d
j d j d
j d m m m m m E E E e E e E e
e E E E E e
E e
e e ββββββββρρηηη--+-+-+
+--+
-+-⎫
+=+=+⎪⎬
-=
-=
-⎪
⎭ （6）
将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得
11
11
111111
1()
m m m m ef m m m m E E E E E E E E ηηη+-+-
+
-
+-++==-- （7）
将式（6）代入式（7）得
2222222j d j d
ef j d
j d e e e e ββββρηηρ--+=- （8）
将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得
3222
232tan tan ef j d
j d ηηβηηηηβ+=+ （9）
再由式（7）得分界面①上的反射系数
1
1111
ef m
m ef E E ηηρηη-
+-==+ （10）
显然，若分界面①上的等效波阻抗ef
η等于媒质1的本征阻抗1η，则10ρ=，即分界面①上
无反射。

通常天线罩的内、外都是空气，即130ηηη==，由式（9）得 欲使上式成立，必须2
,1,2,3d n n βπ==L 。

故
频率f 0=3GHz 时 则
当频率偏移到f 1=3.1GHz 时， 故 而
故此时的等效波阻抗为
反射系数为
即频率偏移到3.1GHz 时，反射将增大6%。

同样的方法可计算出频率下偏到2 2.9GHz
f =时，反射将增加约5%。

[讨论]
（1）上述分析方法可推广到n 层媒质的情况，通常是把坐标原点O 选在最右侧的分界面上较为方便。

（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时
13ηη≠）。

取
2
4d λ=
，则有 由式（9）得
若取2η=
此时，分界面①上的反射系数为
即电磁波从媒质1入射到分界面①时，不产生反射。

可见，厚度24
d λ=的介质板，当其
本征阻抗
2η=时，有消除反射的作用。

7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意
图。

在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度334
d λ=的理想介质膜，又在介质膜上涂一层
厚度为d 2的良导体材料。

试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。

解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为
区域（2）为良导体，其波阻抗为 区域（3）为理想介质，其波阻抗为
区域（4）为理想导体4()
γ=∞，其波阻抗为
利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为
应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得
2222
222
tanh tanh ef ef ef d d ηηηηηη+Γ=+Γ②③② （1）
式中的2Γ是良导体中波的传播常数，22tanh d Γ为双曲正切函数。

将ef η=∞
②代入式（1），
得
2
22
tanh ef d ηη=
Γ③ （2）
由于良导体涂层很薄，满足
221d Γ<<，故可取
2222
tanh d d Γ≈Γ，则式（2）变为
2
22
ef d ηη≈
Γ③ （3）
分界面③上的反射系数为
可见，欲使区域（1）中无反射，必须使 故由式（3）得
2
22
d ηη=Γ （4）
将良导体中的传播常数
45
2j ︒
Γ=
和波阻抗
45
2j η︒
=代入式（4），得
这样，只要取理想介质层的厚度334d λ=，而良导体涂层的厚度322
2.6510d γ-=⨯，
就可消除分界面③上的反射波。

即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。

此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面（即分界面①上产生全反射，则在离该表面34
λ处（即分界面②出现电场的波腹点。

而该处放置了厚度为d 2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。

7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。

设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。

解 自由空间的总电场为 式中
是分界面上的反射系数。

驻波比的定义为 得
据此求得
因介质平面上是驻波最小点，故应取
反射系数 得 则
7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为2ε，在此媒质前置有厚度为d 、介电常数为1ε的介质板。

对于一个从左面垂直入射过来的TEM
波，试证明当
1r ε=
且
d =
1时，没有反射（λ为自由空间的波长）。

解 媒质1中的波阻抗为
10η=
== （1）
媒质2中的波阻抗为
210η=
== （2）
当
1r ε=1）和（2）得
2201
020
1r ηηηηηε=== （3）
而分界面O 1处（即z d =-处）的等效波阻抗为
当
d =
1
4d λ=
时
2
12ef ηηη=
（4）
分界面O 1处的反射系数为
ef ef ηηρηη-=
+ （5）
将式（3）和（4）代入式（5），则得
即
1r d ε==
O 1上无反射。

1
4d λ=
的介质层称为匹配层。

7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为 试求穿过r=1 000m 的半球壳的平均功率。

解 将电场、磁场写成复数形式 平均坡印廷矢量为
故穿过r=1000m 的半球壳的平均功率为
式中d S 为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是 故
7.21 在自由空间中，
150sin()V/m
x t z ωβ=-E e 。

试求0z =平面内的边长为30mm
和15mm 长方形面积的总功率。

解 将已知的电场写成复数形式 得与()z E 相伴的磁场
故平均坡印廷矢量为
则穿过z=0平面上2
3015mm S =⨯的长方形面积的总功率为
7.22 均匀平面波的电场强度为 （1）运用麦克斯韦方程求出H ：（2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域内的E 和H ；（3）求理想导体上的电流密度。

解 （1）将已知的电场写成复数形式
由0j ωμ∇⨯=-E H
得
写成瞬时值表示式
（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为 即0z <区域内的反射波电场为 与之相伴的反射波磁场为
至此，即可求出0z <区域内的总电场E 和总磁场H 。

故
同样 故
（3）理想导体平面上的电流密度为
7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。

已知在平
面前的自由空间中，合成波的驻波比为3，无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的1
6。

试求介质的相对磁导率r μ和相对介电常数r ε。

解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为 由此求出反射系数
设在介质平面上得到驻波最小点，故取1
2ρ=-。

而反射系数为
式中的10120ηηπ==Ω，则得 求得
得
19r r με=
（1）
又 得
36r r με= （2）
联解式（1）和（2）得
7.24 均匀平面波的电场强度为
610j z
x e +-=E e ，该波从空气垂直入射到有损耗媒质
2
2
( 2.5,0.5)r γεδωε==
=损耗角正切tan 的分界面上（z=0），如题7.24图所示。

（1）求
反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印
廷矢量。

解（1）根据已知条件求得如下参数。

在空气中（媒质1） 在有损耗媒质中 分界面上的反射系数为 透射系数为
故反射波的电场和磁场的复数表示式为 则其瞬时表示式为
而媒质2中的透射波电场和磁场为 故其瞬时表示式为
（2）
**111
Re[]Re[]22av av av +-
++--=+=
⨯+⨯S S S E H E H
7.25 一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为
（1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时值表示式。

解 （1）设反射波的电场强度为 据理想导体的边界条件，在z=0时应有 故得 则
可见，反射波是一个沿z -方向传播的左旋圆极化波。

（2）入射波的磁场为 反射波的磁场为 故合成波的磁场为
则导体板上的感应电流为
（3）合成电场的复数表示式为 故其瞬时表示式为
7.26 如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为 （1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数表示式；（5）求合成波电场和磁场的复数表示式。

解 （1）由已知条件知入射波的波矢量为 故波长为 频率为
（2）入射波传播方向的单位矢量为 入射波的磁场复数表示式为 则得其瞬时表示式 而电场的瞬时表示式为 （3）由
cos iz i i
k k θ=，得
8cos 10iz i i k k θ=
=
故 36.9i θ︒= （4）据斯耐尔反射定律知
36.9r i θθ︒
==，反射波的波矢量为
而垂直极化波对理想导体平面斜入射时，反射系数1ρ⊥=-。

故反射波的电场为
与之相伴的磁场为 （5）合成波的电场为 合成波的磁场为
7.27 一个线极化平面波从自由空间入射到4,1
r r εμ==的电介质分界面上，如果入
射波的电场矢量与入射面的夹角为45°。

试求：（1）入射角为何值时，反射波只有垂直极化波；（2）此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？
解 （1）由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小
相等i E i θ等于布儒斯特角B θ时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。

（2）63.43i θ︒
=时，垂直极化分量的反射系数为 故反射波的平均功率流为 而入射波的平均功率流为 可见，
7.28 垂直极化波从水下的波源以入射角20i θ︒
=投射到水与空气的分界面上。

水的
81,1r r εμ==，试求：（1）临界角c θ；（2）反射系数ρ⊥；（3）透射系数τ⊥；（4）波在空气
中传播一个波长距离时的衰减量。

解 （1）临界角为 （2）反射系数为 （3）透射系数为
（4）由于i
c θθ
>，故此时将产生全反射。

由斯耐尔折射定律得 此时
式中取“ 2.91j -”，是考虑到避免z →∞时，场的振幅出现无穷大的情况。

这是因为空气中
的透射波电场的空间变化因子为
由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为。