图像问题

【典例1】 图1是A、B两运动物体的位移—时间图像．下列说法
正确的是( )．
A．两物体在同一直线上运动
B．两物体在t2时刻相遇 C.两物体向相同的方向运动
D．如果以正方向为前方，开始
计时时物体B在物体A的前方
图1
解析 题目明确指出物体的图像是位移—时间图像，由图像的特 点可以知道，两物体做的是在同一直线上的运动，且在t2时刻两 物体相遇．因A物体运动图线的斜率为正值，即A物体的速度是 正的，沿正方向运动；物体B运动图线的斜率是负的，即物体B 的速度是负的，沿负方向运动．以正方向为前方，物体A的初始 坐标为负，物体B的初始坐标为正，所以开始计时时物体B在物 体A的前方．故正确答案为A、B、D. 答案 ABD
由于△FGH∽△IGK，有 HG∶KG＝xB∶(xB－l)④
HG∶KG＝(yA＋l)∶2l⑤
由③④⑤式得，xB＝32l⑥
yA＝5l⑦
联立①②⑥⑦式得，v＝14 6al
答案
1 4
6al
即学即练 2 图 3 为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事 行动的运动图像，下列说法正确的是( )．
图3 A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直
【典例5】 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中 央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图8所示．已知盘与桌布 间的动摩擦因数为μ1，盘在桌面间的动摩擦因数为μ2.现突然 以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂 直于AB边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件 是什么？(用g表示重力加速度)
图8
解析 由题意可知，桌布以加速度 a 在水平方向做匀加速直线运动， 圆盘先在桌布上做匀加速直线运 动，后脱离桌布在桌面上做匀减速 直线运动，最后静止在桌面上．由 此可知在 v－t 图上画出桌布、圆盘运动的图像．设桌子 的边长为 l，桌布在 t0 时间内的位移为 x 布，圆盘在桌布 上做匀加速运动的位移为 x1，在桌面上做匀减速运动的 位移为 x2，由图可知：x 布－x1＝2l ，x1＋x2≤2l .
A．v＝xt B．v＝2tx C．v>2tx D.xt <v<2tx
解析 由题意知，当飞机的速度减小 时，所受的阻力减小，因而它的加速 度会逐渐变小．画出相应的 v -t 图像 大致如图所示． 根据图像的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为 x， 虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为v2t.应有 v2t>x，所以 v>2tx，所以选项 C 正确． 答案 C
第三层：重视交点、转折点、渐近线 (1)交点：往往是解决问题的切入点． (2)转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用． (3)渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值和它的变 化趋势.
【典例 4】 t＝0 时，甲、乙两辆汽车从相距 70 km 的两 地开始相向行驶，它们的 v－t 图像如图 6 所示．忽略 汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确 的是( )．
第一层：关注横坐标、纵坐标的物理意义 (1)确认横坐标、纵坐标对应的物理量各是什么． (2)坐标轴物理量的单位也是不能忽视的． (3)注意图像是否过坐标原点． 第二层：关注斜率、面积、截距的物理意义 (1)图线的斜率：不同坐标系中，斜率表示的物理意义不同． (2)面积：由图线、横轴及图线上某两点到横轴的垂线段围成的 几何图形的面积或由横轴、纵轴及图线上某点到两轴的垂线段围 成的矩形的面积． (3)截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距．
2．位置坐标图像 表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线， 在坐标图上能表示出运动物体运动的位移．
【典例2】 (2013·全国新课标Ⅰ，24)水平桌面上有两个玩具车A 和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记 R.在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R分别位于直角坐 标系中的(0,2l)、(0，－l)和(0,0)点．已知A从静止开始沿y轴正 向做加速度大小为a的匀加速运动，B平行于x轴朝x轴正向匀 速运动．在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点(l, l)．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小．
解析 设 B 车的速度大小为 v.如下图，标记 R 在时刻 t 通过 K(l，l)，此时 A、B 的位置分别为 H、G.由运动学 公式，H 的纵坐标 yA、G 的横坐标 xB 分别为 yA＝2l＋12at2① xB＝vt② 在刚开始运动时，标记R到A和B的距离 之比为2∶1，即OE∶OF＝2∶1 由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任 一时刻R到A和B的距离之比都为2∶1. 因此，在时刻t有HK∶KG＝2∶1③
图6
A．在第1小时末，乙车改变运动方向 B．在第2小时末，甲、乙两车相距10 km C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D．在第4小时末，甲、乙两车相遇 解析 第1小时末，图像上的拐点并不表示运动方向改变，而表 示由匀加速变为匀减速，故A错； 由 0 ～ 2 小 时 末 甲 、 乙 两 图 线 围 成 的 面 积 可 知 ， 乙 车 位 移 为 30 km，甲车位移也是30 km，由图可知，此时两车相距10 km，故 B正确；
且 x 布＝12at02，x1＝12a1t02，x2＝a212at202，a1＝μ1g， a2＝μ2g.由以上各式得：a≥2＋μμ12μ1g. 答案 a≥2＋μμ12μ1g
即学即练5 某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直 跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆 到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的 阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( )．
即学即练1 甲、乙两车从同一地点出发，向同一方向行驶，它们 的x－t图像如图2所示，则由图可看出( )． A．乙比甲先出发，甲比乙先到达距出发点x0处 B．甲比乙先出发，乙比甲先到达距出发点x0处 C．两车的平均速度相同 D．两车行驶时的速度相同
图2
解析 甲车在t＝0时开始运动，乙比甲后出发，但先到达距出发 点x0Байду номын сангаас，选项A错误，B正确；甲、乙两车行驶的位移相同，但 甲所用时间长，两车的平均速度不相同，选项C错误；从题图可 以看出，直线的斜率相同，即两车行驶时的速度相同，选项D正 确． 答案 BD
【典例3】 (2013·青岛质检)甲、乙两辆汽车在平直公路上的同一 地点，同时出发，分别向相反方向做如图4所示的运动，则下 列关于汽车运动的描述正确的是( )．
A．前80 s，乙车平均速度是甲车平均速度的四倍 B．70 s末，甲乙两车的加速度大小相等、方向相同 C．60 s末，两车相距最远 D．80 s末，两车相距最远
图4
解析 前80 s内，乙车的位移大小是甲车位移大小的两倍，故乙 车平均速度是甲车平均速度的两倍，A项错；由图像知，70 s末 甲、乙两车的加速度大小相等、方向相反，B项错；80 s末两车 相距最远，C项错、D项正确． 答案 D
即学即练 3 (2014·资阳模拟)甲、乙两辆汽车从同一地点 出发，向同一方向行驶，它们的 v－t 图像如图 5 所示， 下列判断正确的是( )．
专题一 对运动图像的剖析及应用
一、“三类”运动图像的比较 1．位移—时间(x－t)图像
(1)位移是矢量，故位移—时间图像上只能表示物体运动的两个方 向；t轴上方代表的是正方向，t轴下方代表的负方向；位移—时 间图像只能描述物体做直线运动的情况，如果物体做曲线运动， 则画不出位移—时间图像． (2)位移—时间图像没有时间t的负轴，因时间没有负值，画图时要 注意这一点． (3)位移—时间图像中，图线上每一点的斜率代表该点的速度，斜 率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示物体速度的方向．
图7
.解析 0～t1时间内物体沿正向匀速运动，选项A错误；t1～t2时 间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，选项B、D错 误；t2～t3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x－t图像 中，0～t1和t2～t3两段时间内，图线斜率的绝对值相等，选项C正 确． 答案 C
2．作图和用图 依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对 应的示意图或数学函数图像来研究和处理问题．
图5
A．在t1时刻前，乙车始终在甲车的前面 B．在t1时刻前，乙车的速度始终比甲车的大 C．在t1时刻前，乙车的速度始终比甲车增加得快 D．在t1时刻两车第一次相遇 解析 两车从同一地点出发，在t1时刻前的各个时刻，乙车的速 度大于甲车的速度，故乙车始终在甲车的前面，选项A、B正 确，D错误；在两车开始运动后的一段时间内，乙车的速度增加 得比甲车的快，后来乙车的速度增加得比甲车的慢，选项C错 误． 答案 AB
v－t 图像的斜率表示加 速度，从斜率可以看出， 4 小时内乙车加速度一直 比甲车加速度大，故 C 正确； v－t 图像的交点不表示相遇，只表示速度相等，由图像 围成的面积知，甲的位移为 120 km，乙的位移为 30 km， 原来相距 70 km，最后相距 20 km，故 D 错．
答案 BC
即学即练 4 如图 7 所示为物体做直线运动的 v－t 图 像．若将该物体的运动过程用 x－t 图像表示出来(其 中 x 为物体相对出发点的位移)，则下列四幅图中描述 正确的是( )．
线 B．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等 D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等 解析 该图既不是运动物体的位移—时间图像，也不是速度—时 间图像，而是表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动 的路线．由此可以看出，甲、丙两个小分队的运动轨迹为曲线， 乙小分队的运动轨迹为直线，三个小分队的位移一样，选项A、 B均正确．三个小分队的运动时间不一定相等，选项C、D均错 误． 答案 AB
二、图像问题的解题思想 用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方 法．是一种直观且形象的语言和工具．它运用数和形的巧妙 结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律．运用图 像解题的能力可归纳为以下两个方面：
1．读图 即从图像中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图像 所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，通常情况 下，需要关注的特征量有三个层面：
3．速度—时间(v－t)图像 (1)因为速度是矢量，速度—时间图像只能表示物体运动的两个 方向，t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向，所以速度— 时间图像只能描述物体做直线运动的情况．如果物体做曲线 运动，则画不出物体的速度—时间图像． (2)速度—时间图像没有时间t的负轴，因时间没有负值，画图 时要注意这一点．