2023年广东省广州市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年广东省广州市高考数学模拟试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∪B＝（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（0，+∞）2．（5分）已知复数z满足zi＝3+4i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）
A．3B．4C．5D．6
3．（5分）已知点A（0，1），B（2，3），向量＝（﹣3，1），则向量＝（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）4．（5分）广州市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）
A．3.3万人B．3.4万人C．3.8万人D．3.9万人5．（5分）已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（）A．2B．C．3D．
6．（5分）若x＝是函数f（x）＝cosωx（ω≠0）图象的对称轴，则f（x）的最小正周期的最大值是（）
A．πB．2πC．D．
7．（5分）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（）
A．b＜0B．0＜b＜a3C．b＞a3D．b（b﹣a3）＝0 8．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于（）
A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．与p值有关
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（）
A．F为AA1的中点B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点D．F为A1D1的中点
（多选）10．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，1），f（x）＝P（X≤x），若x＞0，则（）
A．f（﹣x）＝1﹣f（x）
B．f（2x）＝2f（x）
C．f（x）在（0，+∞）上是增函数
D．P（|X|≤x）＝2f（x）﹣1
（多选）11．（5分）已知（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则（）
A．a0＝28B．a1+a2+…+a8＝1
C．|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝38D．a1+2a2+3a3+…+8a8＝﹣8
（多选）12．（5分）P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2+y2＝1的两条切线，A，B为切点，则（）
A．弦长|AB|的最小值为
B．存在点P，使得∠APB＝90°
C．直线AB经过一个定点
D．线段AB的中点在一个定圆上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知tanα＝3，则cos2α＝．
14．（5分）已知0＜x＜1，则的最小值为．
15．（5分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）﹣kx是偶函数，则k＝．
16．（5分）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线y＝±2与双曲线x2﹣y2＝1及其渐近线围成的平面图形G如图所示．若将图形G被直线y＝t（﹣2≤t≤2）所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S＝；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V＝．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣3．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大整数n．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝2b cos A．（1）证明：B＝2A；
（2）当a＝4，b＝6时，求△ABC的面积S．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥平面PCD．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求AM与平面PBC所成角的正弦值．
20．（12分）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑
雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．
已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢的概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中＜p＜．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛，请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．
在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E（X）的取值范围．
21．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点M（1，），且焦距|F1F2|＝2，线段AB，CD分别是它的长轴和短轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若N（s，t）是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ经过定点．
①s＝1，t≠±，直线NA，NB与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②t＝2，s∈R，直线NC，ND与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
22．（12分）设函数f（x）＝xe x﹣ax2﹣2ax+2a2﹣a，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）存在小于零的极小值时，若x1，x2∈（0，），且f（sin x1）＜f（x1cos x2），证明：x1＞x2．
2023年广东省广州市高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∪B＝（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（0，+∞）
【解答】解：∵A＝{x|x＜1}，
B＝{x|x（x﹣2）＜0}＝（0，2），
∴A∪B＝（﹣∞，2），
故选：C．
2．（5分）已知复数z满足zi＝3+4i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵zi＝3+4i，
∴z＝＝＝4−3i，
∴|z|＝＝5，
故选：C．
3．（5分）已知点A（0，1），B（2，3），向量＝（﹣3，1），则向量＝（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
【解答】解：∵A（0，1），B（2，3），
∴，
∴＝（﹣1，3）．
故选：D．
4．（5分）广州市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）
A．3.3万人B．3.4万人C．3.8万人D．3.9万人
【解答】解：依题意样本中服务时长超过32小时的个体频率为1﹣4×（0.005+0.04+0.09）＝0.46，
由样本估计总体，可得总体中服务时长超过32小时的个体数为7.2×0.46＝3.312≈3.3（万人），
故选：A．
5．（5分）已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（）A．2B．C．3D．
【解答】解：设球的半径为R，则根据球的表面积公式和体积公式，
可得，，化简得．
故选：D．
6．（5分）若x＝是函数f（x）＝cosωx（ω≠0）图象的对称轴，则f（x）的最小正周期的最大值是（）
A．πB．2πC．D．
【解答】解：若x＝是函数f（x）＝cosωx（ω≠0）图象的对称轴，
则cos＝±1，∴＝kπ，k∈Z，
即ω＝2k，k∈Z，∴ω的最小值为2，
故f（x）的最小正周期的最大值为＝π，
故选：A．
7．（5分）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（）
A．b＜0B．0＜b＜a3C．b＞a3D．b（b﹣a3）＝0
【解答】解：由y＝x3，得y′＝3x2，设切点为（t，t3），
则过切点的切线方程为y﹣t3＝3t2（x﹣t），
把点（a，b）代入，可得b﹣t3＝3t2（a﹣t），
则2t3﹣3at2+b＝0，
令g（t）＝2t3﹣3at2+b，则g′（t）＝6t2﹣6at，
∵a＞0，∴当t∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，0），（a，+∞）上单调递增；
当t∈（0，a）时，g′（t）＜0，g（t）在（0，a）上单调递减．
∴函数g（t）取得极大值g（0）＝b，函数g（t）取得极小值g（a）＝b﹣a3．
要使过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则，可得0＜b＜a3．
故选：B．
8．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于（）
A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．与p值有关
【解答】解：当A在x轴上方时，设抛物线准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，
直线l交准线于C，如图所示：
则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，
所以|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝，∠NAB＝60°，
此时直线l的斜率为，倾斜角为60°，
当A点在x轴下方时，由对称性可得直线l的斜率为﹣，倾斜角为120°，
直线l的倾斜角等于60°或120°．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（）
A．F为AA1的中点B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点D．F为A1D1的中点
【解答】解：如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，
由EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，则EM∥平面ACD1，
同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，
则得平面EMGHIJ∥平面ACD，EF∥平面ACD1，则F∈平面MGHIJ，
观察各选项，ACD满足，
故选：ACD．
（多选）10．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，1），f（x）＝P（X≤x），若x＞0，则（）
A．f（﹣x）＝1﹣f（x）
B．f（2x）＝2f（x）
C．f（x）在（0，+∞）上是增函数
D．P（|X|≤x）＝2f（x）﹣1
【解答】解：∵f（x）＝P（X≤x），
∴根据正态曲线的对称性可得，f（﹣x）＝P（X＞x）＝1﹣f（x），故A正确，
f（2x）＝P（X≤2x），2f（x）＝2P（X≤x），故B错误，
∵随机变量X服从正态分布N（0，1），
∴正态曲线关于直线x＝0对称，f（x）在（0，+∞）上是增函数，故C正确，
P（|X|≤x）＝P（﹣x≤X≤x）＝1﹣2f（﹣x）＝1﹣2[1﹣f（x）]＝2f（x）﹣1，故D正确．故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则（）
A．a0＝28B．a1+a2+…+a8＝1
C．|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝38D．a1+2a2+3a3+…+8a8＝﹣8
【解答】解：取x＝0，可得a0＝28，故A正确；
即x＝1，可得a1+a2+…+a8＝1﹣28，故B不正确；
取x＝﹣1，可得|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝38﹣28，故C不正确；
对已知等式两边对x求导数可得﹣8（2﹣x）7＝a1+2a2x+…+8a8x7，
取x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝﹣8，故D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2+y2＝1的两条切线，A，B为切点，则（）
A．弦长|AB|的最小值为
B．存在点P，使得∠APB＝90°
C．直线AB经过一个定点
D．线段AB的中点在一个定圆上
【解答】解：依题意|OP|2＝|AP|2+|AO|2，即|OP|2＝|AP|2+1，设AB⋂OP＝C，则C为AB 的中点，且OP⊥AB，
所以，所以，
，又|OP|∈[2，+∞），
所以，，所以，
（∠APB）max＝60°，故A正确，B不正确；
设P（t，2），则，所以以OP为直径的圆的方程为
，
则，即tx+2y＝1，
所以直线AB的方程为tx+2y＝1，所以直线AB过定点，故C正确；
又OC⊥MC，，所以AB的中点C在以OM为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知tanα＝3，则cos2α＝﹣．
【解答】解：∵tanα＝3，则cos2α＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
14．（5分）已知0＜x＜1，则的最小值为9．
【解答】解：∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，
则y＝＝（）[x+（1﹣x）]＝1+4++≥5+2＝9，
当且仅当＝，即x＝时，取等号，
故y＝的最小值为9，
故答案为：9．
15．（5分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）﹣kx是偶函数，则k＝．【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣1）＝f（1），
得ln（e﹣1+1）+k＝ln（e+1）﹣k，
得2k＝ln（e+1）﹣ln（）＝ln（e+1）﹣ln（e+1）+lne＝1，
得k＝，
故答案为：．
16．（5分）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线y＝±2与双曲线x2﹣y2＝1及其渐近线围成的平面图形G如图所示．若将图形G被直线y＝t（﹣2≤t≤2）所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S＝π；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V＝4π．
【解答】解：如图所示，双曲线x2﹣y2＝1，其中一条渐近线方程为y＝x，
由直线y＝t，其中﹣2≤t≤2，
联立方程组，解得A（t，t），
联立方程组，解得，
所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为π，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为π，高为4的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为V＝π×4＝4π．
故答案为：π；4π．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣3．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大整数n．
【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣3，解得a1＝3，
当n≥2时，由S n＝2a n﹣3，得S n﹣1＝2a n﹣1﹣3（n≥2），
两式相减得a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1（n≥2），
所以{a n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
所以a n＝3•2n﹣1（n∈N*）；
（2）由（1）可知＝×，
故++•••+＝（1++•••+）＝（2﹣），
令（2﹣）＜，得（）n﹣1＞，即2n＜40，又n∈N*，25＝32，26＝64，所以满足条件的最大整数n为5．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝2b cos A．（1）证明：B＝2A；
（2）当a＝4，b＝6时，求△ABC的面积S．
【解答】（1）证明：由正弦定理：，
所以对于a+c＝2b cos A，
有sin C+sin A＝2sin B cos A，
∴sin（A+B）＝2sin B cos A﹣sin A
整理得：sin A cos B﹣sin B cos A＝﹣sin A，
所以，sin（A﹣B）＝sin（﹣A），
因为A，B，C为△ABC的三个角，
所以A﹣B＝﹣A，得B＝2A．
（2）解：由（1）及题意可得：
，
∴，
∵π＞A＞0，sin A≠0，
∴，
∴，
则，
所以△ABC的面积为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥平面PCD．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求AM与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为AM⊥平面PCD，
所以AM⊥CD，
又底面ABCD为正方形，
所以AD⊥CD，又AD⋂AM＝A，
所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：取AD的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，
则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
设AB＝2，则
，
所以，
设平面PBC的一个法向量为，
则，
令，则，x＝0，则，
设AM与平面PBC所成角θ，
所以．
20．（12分）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．
已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢的概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中＜p＜．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛，请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．
在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E（X）的取值范围．
【解答】解：（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，
所以，
所以P1＞P2，
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛；
（2）由已知X＝4.5万元或X＝3.6万元．
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛，
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为，
X的分布列为：
X 4.5 3.6
P﹣p+p
X的数学期望为（万元），而，
所以E（x）的取值范围为：（4.25，4.3）（单位：万元）．
21．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点M（1，），且焦距|F1F2|＝2，线段AB，CD分别是它的长轴和短轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若N（s，t）是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ经过定点．
①s＝1，t≠±，直线NA，NB与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②t＝2，s∈R，直线NC，ND与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
【解答】解：（1）由已知，，点在椭圆上，所以，又因为a2﹣b2＝c2，所以a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为：．
（2）选①，则N（1，t），A（﹣2，0），B（2，0），设P（x P，y P），Q（x Q，y Q），
，所以，，消去y得：（9+4t2）x2+16t2x+16t2﹣36＝0，
Δ＝256t4﹣4（9+4t2）（16t2﹣36）＝362＞0，
所以，所以，则，
所以，
，消去y得：（1+4t2）x2﹣16t2x+16t2﹣4＝0，
Δ＝256t4﹣4（1+4t2）（16t2﹣4）＝16＞0，
所以，所以，则，
所以，
所以，
所以直线PQ的方程为：，
所以16y4+（8x﹣32）t3+16yt2+（2x﹣8）t+3y＝0，所以y＝0，x＝4，故直线PQ恒过定点（4，0）．
选②，则N（s，2），C（0，1），D（0，﹣1），设P（x P，y P），Q（x Q，y Q），
，所以，
，消去y得：（4+s2）y2+2s2y+s2﹣4＝0，
Δ＝4s4﹣4（4+s2）（s2﹣4）＝64＞0，
所以，所以，所以，
同理：，所以，所以，
，
所以直线PQ的方程为：，
令x＝0，则，
故直线PQ恒过定点．
22．（12分）设函数f（x）＝xe x﹣ax2﹣2ax+2a2﹣a，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）存在小于零的极小值时，若x1，x2∈（0，），且f（sin x1）＜f（x1cos x2），证明：x1＞x2．
【解答】解：（1）由f（x）＝xe x﹣ax2﹣2ax+2a2﹣a⇒f'（x）＝（x+1）（e x﹣2a），
①当a≤0时，由f'（x）＞0⇒x＞﹣1⇒f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
由f'（x）＜0⇒x＜﹣1⇒f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减．
②当a＞0时，令f'（x）＝0⇒x1＝﹣1，x2＝ln2a，
（i）当x1＝x2＝﹣1即a＝时，f'（x）＝（x+1）（e x﹣），
当x＜﹣1时，x+1＜0，e x﹣＜0，f'（x）＞0，
当x＞﹣1时，x+1＞0，e x﹣＞0，此时f′（x）＞0，
当x＝﹣1时，x+1＝0，e x﹣＝0，此时f′（x）＝0；
∴当a＝时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在R上为单调递增函数；
（ii）当x1＜x2⇒a＞时，f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞ln2a；f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜ln2a，故f（x）在（﹣∞，﹣1）和（ln2a，+∞）上为单调增函数，在（﹣1，ln2a）上为单调
减函数；
（iii）当x1＞x2⇒0＜a＜时，f′（x）＞0⇒x＜ln2a或x＞﹣1；f′（x）＜0⇒ln2a＜x ＜﹣1，
故f（x）在（ln2a，﹣1）上为单调增函数，在（﹣∞，ln2a）和（﹣1，+∞）上为单调减函数．
综上所述：当a≤0时，f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数，在（﹣∞，﹣1）上为单调递减函数；
当a＞0时，若a＝，f（x）在R上为单调递增函数；
若a＞，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（ln2a，+∞）上为单调增函数，在（﹣1，ln2a）上为单调减函数；
若0＜a＜，f（x）在（ln2a，﹣1）上为单调增函数，在（﹣∞，ln2a）和（﹣1，+∞）上为单调减函数．
（2）证明：当f（x）存在小于零的极小值时，
＝f（﹣1）＝2a2﹣＜0⇒﹣＜a≤0；
当a≤0时，f（x）
极小值
＝f（ln2a）＝﹣a（ln2a）2+2a2﹣a＝﹣a（ln2a）2+a（2a﹣1）当0＜a＜，f（x）
极小值
＜0恒成立．
a＞时，f（x）极小值＝f（ln2a）＝﹣a（ln2a）2+2a2﹣a＝﹣a（ln2a）2+a（2a﹣1）＜0，∴﹣（ln2a）2+2a﹣1＜0，令t＝2a，t＞，
p（t）＝﹣（lnt）2+t﹣1，p（1）＝0，p′（t）＝﹣×2lnt+1＝﹣+1，
p′′（t）＝﹣2•，p′（e）＝﹣+1＞0，∴p（t）为增函数，
∴＜t＜1时，P（t）＜0，
∴＜2a＜1，故＜a＜，∴a∈（﹣，）∪（，）
所以a∈（﹣，）∪（，），此时f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，f（sin x1）＜f（x1cos x2）⇒sin x1＜x1cos x2⇔sin x1＜x1cos x1⇔＜cos x2，
令g（x）＝﹣cos x⇒g'（x）＝，
令u（x）＝x cos x﹣sin x+x2sin x⇒u′（x）＝x2cos x+x sin x＞0，∴u（x）在（0，）上单调递增，而u（0）＝0，
∴u（x）＞0，
∴g'（x）＞0⇒g（x）在（0，）上单调递增，
∵＝＝0，
∴g（x）＞0⇒＞cos x，
从而＞cos x1⇒＜cos x2⇒cos x2＞cos x1，
∵y＝cos x在（0，）上单调递减．
∴x1＞x2．。