计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1
9000 m=1
9000.00
解 (1)∵ 2.0004=0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2,相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
(2)∵ -0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2,相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式:
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
1
x − x ∗ = 0.001 592 6 L ≤ 0.5 × 101−3
即 n=3,故 x=3.14 有 3 位有效数字. x=3.14 准确到小数点后第 2 位. 又近似值 x=3.1416,它的绝对误差是 0.0000074…,有
x − x ∗ = 0.0000074 L ≤ 0.5 × 101−5
* *
er ( s ) =
s − s * gt (t − t * ) 2e(t ) 0.2 = = 1 2 s t t gt 2
可见,当 t 增加时,e(s)增,而 e r ( s ) 减少。 1.13 设I =
∫x
0
1
n
e x −1 dx , n = 0,1,2, L,10 ,验证递推公式 I 0 = 1 − e −1 , I n = 1 − nI n −1 若用其计算定积
= R − R * 3R 2 R − R* ⋅ 2 =3 ⋅ = 0 .1 % R R R
2 2

R − R* 1 ⋅= R 300
即度量半径 R 时允许的相对误差限是 1/300。 1.9 设 x 的相对误差为 α % ,求 x 的相对误差。
n
n n −1
解: e( x ) ≈ nx
(x − x* )
分, 试给出此递推公式误差的传播规律, 计算 I 10 时误差被放大了多少倍?这个算法是数值稳定的 吗? 解: I =
∫x
0 1 0
1
n
e x −1 dx , n = 0,1,2,L,10 ,由分部积分法有
1 0
n −1 x −1 I n = ∫ x n e x −1 dx = x n e x −1 1 e dx 0 − n∫ x
5 4 3
10
秦九韶算法格式为
f ( x) = (((8 x − 0.4) x + 4) x ⋅ x − 9) x + 1 f (3) = (((8 × 3 − 0.4) × 3 + 4) × 3 × 3 − 9) × 3 + 1 = 1993.6
6
若 I 0 与 I 0 的误差为 e( I 0 ) = I 0 - I 0 ,则误差的递推规律为
* * * 2 * n * e( I n ) = In − In = − n( I n −1 − I n −1 ) = ( −1) n( n − 1)( I n − 2 − I n − 2 ) = L = ( −1) n!( I 0 − I 0 )
*
已知 V* =220V, ε (V ) ≤ 2V ,I* =10A , 误差
ε ( I * ) ≤ 0.1A ,把它们代入上式,即可估算出 R*的绝对
ε (R* ) ≤

1 V* * e ( V ) + ε (I * ) * * 2 I (I )
1 220 ×2+ × 0.1 = 0.42Ω 10 (10) 2
同理,R*的相对误差为
3
计算方法
ε r(R* ) =
1.8
ε (R* )
R
*

0.42 = 0.0191 = 1.91 0 0 22
计算球的体积,要使相对误差限为 1% ,求度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?
解:球的体积公式为: V =
4 3 x − x* πR ,则由公式 ε r* = 得 3 x
* *
e* = x − x * e( y * ) ≈ f ′( x * )( x − x * ) = 2 x * e * = 200e *
现要求 e( y ) ≈ 200e < 1 ,于是
* *
⎛ 1 ⎞ e* ≤ ⎜ ⎟cm = 0.005cm ⎝ 200 ⎠
要使正方型面积误差不超过 1cm ,测量边长时绝对误差应不超过 0.005cm 1.7 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 V=220±2V,I=10±0.1A,求这个电阻的 阻值 R,并故算其绝对误差和相对误差。 解:由欧姆定律 R =
* −3 −3
解:已知 n=2
er =
1 1 × 10 −( n −1) = × 10 −1 得 2 x1 2
x 的第一位有效数字 x1 没有给出,可按最不利的情况统计
x1 = 1 x1 = 9
er = er =
1 1 × 10 −1 = × 10 −1 = 5% 2 x1 2 1 1 × 10 −1 = × 10 −1 = 0.56% 2 x1 18
N +1
N
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N 1+ x2 1 = arctan 1 + N ( N + 1) 1 2 gt ,假定 g 是准确的,而对 t 的测量有±0.1s 的误差,证明当 t 增加时,s 的绝对误差 2
1.12 设 s =
增加,而相对误差减少。 解:由题意知, e( s ) = s − s = gt (t − t ) = gt ⋅ e(t ) = 0.1gt
er ( x n ) =
e( x n ) nx n −1 ( x − x * ) x − x* = = n = n ⋅ er ( x) = αn% x xn xn
x n 的相对误差为 an%
1.10 设 x>0,x 的相对误差为 δ ,求 ln x 的误差。 解: e(ln x) ≈
1 ( x −最大 1.5 要使 17 的近似值的相对误差限不超过 0.1%,应取几位有效数字?
*
解: 17 的首位数字 x1 =4,设 x 有 n 位有效数字,则其相对误差限
εr =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101− n ≤ 0.1% 2 × ( x1 + 1) 2 × (4 + 1)
5
计算方法
于是
* * * * e( I 10 ) = −10e( I 9 ) = 10 ⋅ 9e( I 8 ) = L = 10!e( I 0 )
计算 I 10 时的误差被扩大了 10 倍,显然算法是数值不稳定的 1.14 设 f ( x) = 8 x − 0.4 x + 4 x − 9 x + 1 ,用秦九韶算法求 f (3)
即 m=1,n=5,x=3.1416 有 5 位有效数字. 而近似值 x=3.1415,它的绝对误差是 0.0000926…,有
x − x ∗ = 0.0000926 L ≤ 0.5 × 101− 4
即 m=1,n=4,x=3.1415 有 4 位有效数字. 这就是说某数有 s 位数,若末位数字是四舍五入得到的,那么该数有 s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限: 2.0004 -0.00200
m=4,
(3) ∵ 9000=0.9000×10 ,
x − x ∗ = x − 9000 ≤ 0.49 < 0.5 × 10 0
m-n=0, m=4 则 n=4,故 x=9000 有 4 位有效数字
1
计算方法
εr =
(4)
1 × 101− 4 =0.000056 2×9
4
∵9000.00=0.900000×10 ,
m=4,
x − x ∗ = x − 9000.00 ≤ 0.0049 < 0.5 × 10 −2
m-n=-2, m=4 则 n=6,故 x=9000.00 有 6 位有效数字 相对误差限为 ε r =
1 × 101−6 =0.000 00056 2×9
由(3)与(4)可以看到小数点之后的 0,不是可有可无的,它是有实际意义的. 1.3 解 ln2=0.69314718…,精确到 10 的近似值是多少? 精确到 10 =0.001,即绝对误差限是ε=0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 1.4 已知近似值 x 有两位有效数字,试求其相对误差限 代入公式
101− n ≤ 10 × 10 −3 10 − n ≤ 10 −3
n ≥ 3 n=3
2
计算方法
17 应取 3 位有效数字。
1.6 正方形的边长约为 100cm,怎样测量才能使其面积误差不超过 1 cm ?
2
解:设正方形边长为 x cm, 测量值为 y cm,面积 y=f(x)=x2 由于 f ′( x) = 2 x ,记自变量和函数的绝对误差分别是 e , e( y ) ,则
2
V V 220 * ,可求出 R 的近似值 R = = = 20Ω I I 10
则 R*的绝对误差为
ε (R* ) ≈ ⎜
=
⎛ ∂R ⎞ ⎛ ∂R ⎞ * * ⎟ ε (V ) + ⎜ ⎟ ε ( I ) ⎝ ∂I ⎠ ⎝ ∂V ⎠
*
*
1 V* * ε ( V ) − ε (I * ) * * 2 I (I )
计算方法刘师少版第一章课后习题完整答案线性代数课后习题答案工程力学课后习题答案课后习题答案网高数下册课后习题答案材料力学课后习题答案结构力学课后习题答案基础工程课后习题答案土力学课后习题答案财务管理课后习题答案
计算方法
第一章 计算方法与误差习题及解答
1.1 解 设 3.14, 3.1415, 3.1416 分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 近似值 x=3.14=0.314×10 ,即 m=1,它的绝对误差是 -0.001 592 6…,有
ln x 的误差为 δ
1.11 当 N 充分大时,如何计算
I =∫
N +1
N
1 dx 1+ x2
4
计算方法
N +1
解:


N
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ,当 N 充分大时,arctan(N+1)与 arctanN 是两个相 1+ x2
近的数,应避免直接相减,故选取算法如下:
相关文档
最新文档