全等三角形的构造

全等三角形的构造

一、在角平分线、高线和中线的两侧构造全等三角形

例1.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，垂足为D.已知AB=5，BD=2，AC=9.

求证：∠ABC=3∠ACB.

分析：延长BD交AC于E.易得：△ABD≌△AED.

从而求得AE=5，BE=2BD=5.

∴CE=AC-AE=9-5=4.

得等腰三角形BEC，再利用等腰三角形和外角的性

质易证.

A C E

D

B …D… E B A

C

练习：如图，△ABC中，∠C=900，CA=CB，BD是∠B的平分线，AE⊥BD交BD延长线于E. 求证：BD=2AE.

二、倍长中线构造全等三角形

例２. 如图,△ABC 中，BD=DC.若AD ⊥AC,∠BAD=300.

求证: AC=12

AB. 简析：虽然AC 、AB 在同一个三角形中，但无法证得结论。想到BD=DC ，即AD 是中线，可倍长中线，即延长AD 至E ，使DE=AD.再连结BE ，则易证△BDE ≌△CDA.于是∠E=∠CAD ，BE=AC.而AD ⊥AC.

则∠E=９００.在Rt △AEB 中，∠BAD=300

.所以BE=12 AB.故AC=12 AB. A

A F E

B D

C B

D C

H

练习：已知：AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF. 求证：AC=BF.

三、 用三角形的旋转构造全等三角形

1. 旋转９00构造全等三角形

例３：如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA:PB:PC=１:２:３. 求: ∠APB 的度数．

分析:本题运用旋转变换，使已知或所求的部分集中到一个

基本的图形中，以便顺利地解决问题．运用旋转变换是

要注意:（１）确定旋转中心（点B ）；（２）确定旋转

图形（△BPC ）；（３）确定旋转的角度和方向（逆时针

转９００）．

解：如图，以B为圆心，将△BPC按逆时针方向旋转９００到BAP'．设PA＝а，PB＝２а，PC＝３а.

由作图得PB＝P'B＝２а，△BPP'为等腰直角三角形.

∴PP'＝２ 2 а.

又AP＝а，AP'＝３а

∴AP２+PP'２＝а２+（２ 2 а）２＝（３а）２＝AP'２

∴∠APP'＝９００，又∠BPP'＝４５０.

∴∠APB＝１３５０.

A D C

P P'

P' P

B C B A

2.旋转600构造全等三角形

例4.如图P为等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=2 3 , PC=4.

求△ABC的边长.

解:如图,以C为圆心,将△ACP按顺时针方向旋转600到△P'BC.则PB'=BP=2 3 ,∠P'BP=600.

得等边三角形P'BP．从而PP'＝PB=2 3 .

利用勾股定理逆定理，从而得含３００角的Rt△P'CP.

∠CPP=300,又∠P'BP=600，∴∠CPB＝９００.

∴BC＝BP２＋PC２ =12+16 =27 .

说明：利用旋转能够把分散的已知条件集中在一个三角形中，从而使问题得到解决.

3.旋转一个定角:

例5 △ABC中, AB=AC,D为其内部一点,若∠ADB>∠ADC.

求证: DC>DB. (提示:如图把△ADC绕点A顺时针旋转到△AD'B处,再连接DD').

A

D

D' F

D

C 练习1：如图在正方形ABCD的形内作∠EAF=450.角的两边分别

交BC、DE于E、F，作AP⊥EF于P．求证：AP=AB.

（提示：把△AFD绕点A顺时针旋转９００到△AGB.）

练习２：如图，凸四边形ABCD中，∠ABC=３００，∠ADC=６００，AD=DC.求证： BD２=AB２+BC２.（提示：把△DBC绕点C顺时针旋转６００到△ACE）.

B

E

A C

D

总之，构造全等三角形，有利于集中利用题目中的已知条

件，使之成为由已知到求证的桥梁．（此文获省三等奖）