考研数学思维导图概率论与数理统计篇

1
1
指数分布
E(X) = , D(X) =
随
λ
λ2
机 变
正态分布 E(X) = μ, D(X) = σ 2
量
的
X是随机变量，E(Xⁿ)称为x的n阶原点矩
数
矩
字
X是随机变量，E[(X-E(X))ⁿ]称为x的n阶中心矩。
特
征
协方差
cov(X, Y) = E[X − E(X)][Y − E(Y)]
cov(X, Y)
随机试验：1.条件相同可重复；2.结果具有多样性；3.实验前无法预测
基本概练
样本空间：随机试验的每一种结果称为样本点，样本点的全集是样本空间 事件：样本空间的子集称为随机事件
事件之间的关系
事件的差：记作A-B：事件A发生而事件B不发生 事件的交：记作AB：事件AB同时发生 事件的并：记作A+B或AUB：事件A或B至少有一个发生
超几何分布
C Ck n − k
P(X = k) = M N −M , k = l , l , l , l
Cn
1234
N
泊松分布
如果随机变量x的分布率为。
λk P(X = k) = e−λ , k = 0.1.2
记作X~P(λ)
第 二
k!
1 ，a ≤ x ≤ b
章
f (x) = b − a
随
常用分布Biblioteka 0, 其他二项分布，X~B(n,p)
E (X) = np, D(X) = np(1 − p)
泊松分布，X~P(λ)
E (X) = λ , D(X) = λ
几何分布。
1
1− p
E(X) = , D(X) =
p
p2
第 四 章
常见随机变量的数学期望和方差
均匀分布
a+b
(b− a)2
E(X) = , D(X) =
2
12
X − np
lim P{ n
≤ x} = Φ(x)
n→∞
np(1 − p)
中心极限定理
随机变量x1~xn独立同分布，数学期
n
X − nμ i
望与方差EXn=μ,DXn=σ²
lim P{ i=1
≤ x} = Φ(x)
n → +∞
nσ
5/8
总体样本统计量和样本数字特征
总体 样本
统计中所研究对象的某项数量指标x的全体称为总体。
分配律： A（BC）=（AB）（AC）
对偶律： AB= AB AB=AB
第
一
对于任意事件A P(A)≥ 0
章
对于必然事件 P(Ω)= 1
概 率
概率定义：A包含于样本空间 对于两两互斥的无穷事件 P(A1 +An)= P(A1)+P(An)
与 事 件
条件概率P(A)> 0，称为事件A发生的条件下B发生的概率P(A|B)= P(AB) P( A)
n i=1
i
大
数 定
伯努利大数定律
随机变量X~B(n,p)
律
大数定律
X
lim P{| n − p |< ε } = 1
n → +∞
n
和
中 心
极
辛钦大数定律
随机变量独立同分布， 数学期望等于μ
1 n
lim P{| X − μ |< ε } = 1
n → +∞
n i=1
i
限
定 理
随机变量Xn~B(n,p)，则有
1
2
1
2
4/8
切比雪夫不等式
大概率 小概率
DX P{| X− EX |< ε } ≥ 1 −
ε2 DX P{| X− EX |≥ ε } ≤ ε2
第
五 章
切比雪夫大数定律
设X1到Xn为两两不 相关的随机变量。
1 n
1n
lim P{| X − E (X ) |< ε } = 1
n→∞
n i=1
i
1 − e , −λx x > 0
F (x) =
0, x ≤ 0
正态分布
f (x) =
2
1
(x − μ ) −
e
2
2σ
, F (x) =
2π σ
2
1
(t − μ )
−
e dt x
2
2σ
2π σ −∞
x−μ
F (x) = Φ(
)
σ
正态分布性质
b −σ
a−μ
P(a < X ≤ b) = Φ(
X
Y
二维均匀分布和二维正态分布。
二维均匀分布如果二维连续型随机变量，xy的概率密度为 二维正态分布。如果二维连续性随机变量，xy的概率密度为
f
(x,
y)
=
1 （x,y）∈ A
G
0其他
（X,Y）~N（μ , μ , σ 2 , σ 2 , ρ）
121
2
3/8
随机变量的数学期望和方差
数学期望
(3) P((x, y) ∈ D) = f (x, y) dxdy
D
如果对任意xy都有
F (x, y) = F (x) F (y)
X
Y
随机变量相互独立充要条件。
离散型随机变量x和y相互独 立的重要条件。
pij = pi ⋅ p ⋅ j
连续型随机变量x和y相互独立的重要条件。
f (x, y) = f (x) f (y)
i
j
j =1
j =1
+∞
+∞
p ⋅ j = P(X = x , Y = y ) = pij
i
j
i =1
i =1
P(X = x , Y = y )
P{X = x | Y = y } =
i
j
i
j
P(Y = y )
j
第
定义
如果对随机变量xy的分布函数存在非负函数。
x y
F (x, y) = f (u, v)dudv
事件的独立性：AB两事件满足，称为AB两事件相互独立
概率的性质
P(∅) = 0
P(A1 A2 An) = P(A1)+ P(A2)++ P(An)
P(A) = 1− P(A)
A ⊂ B, P(A) ≤ P(B) 0 ≤ P(A) ≤ 1
加法公式：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
方差
D(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 标准差σ(X)=√D(X)
方差的性质
设c为常数则D(C)等于0。反之D(X)=0，不能得出x为常数 X为随机变量a和b为常数则有D(aX+b)=a²D(X) 随机变量x和y相互独立,D(X±Y)=D(x)+D(Y)
（0—1）分布
E (X) = p, D(X) = p(1 − p)
P(Bj)P( A | Bj)
n
，j=1，2，3
1
P(Bi)P( A | Bi)
1
古典概率模型：当试验结果有有限N个样本点，且每个样本点发生
的概率相等，如果事件A由n个样本点组成：P(A)
=
n N
=
A包含样本点 样本点总数
三种概率模型
几何概型：样本空间为某区域（可以是一维二维三维），试验出
现在区域的可能性相等，则事件A发生的可能性P(A)
) − Φ(
), a < b
σ
σ
Φ(− x) = 1 − Φ(x), Φ(0) = 0.5
概率密度fx关于x等于μ对称。
2/8
二维随机变量及其分布
二维随机变量（X,Y）的分布
F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y), x, y ∈ (−∞, +∞)
二维随机变量的边缘分布 二维随机变量的条件分布
概率的五大公式
减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)
乘法公式：P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(A|B)
n
n
全 概 率 公 式 ： Bi =Ω， Bi Bj =∅ ， P( A) = P(Bi )P( A | Bi )
1
1
n
贝叶斯公式：
Bi =Ω，BiBj = ∅，P( A) > 0，P(Bj | A) =
随机变量，x和y相互独立,E(XY)=E(X)E(Y)
随机变量x的函数y等于g(x)的数学期望
E (Y) = E(g(X)) = +∞ g (x) f (x) dx −∞
随机变量xy的函数z等于g(xy)的数学期望
E (Z) = E[g(X, Y)] = +∞ +∞ g (x, y) f (x, y)dxdy −∞ −∞
F (x) = P(X ≤ x) = P(X ≤ x, y < +∞) = F (x, +∞) x
F (y) = P(Y ≤ y) = P(X < +∞, Y ≤ y) = F (+∞, y) y
P(X ≤ x, Y = y)
F (x | y) = P(X ≤ x | Y = y) =
x| y
P(Y = y)
三
−∞ −∞
章
+∞
f (x) = f (x, y) dy
X
−∞
二维连续性随机变量的边缘密度
多 维
+∞
f (y) = f (x, y) dx
Y
−∞
随
f (x, y)
机 变
二维连续性随机变量的条件密度
f (x | y) =
X |Y
f (y)
量
Y
及
F(X,Y)关于x和关于Y均单调不减。
其
二维连续性随机变量及其概率密度
i
1 n
样本k阶原点距:Α =
Xk
k
n i=1
i
1 n
样本k阶中心距:Β =
随机变量落入区间cd的
机 变
量 及 其 概
均匀分布
0, x < a
x − a
F (x) =
, a ≤ x < b
b − a
1, b ≤ x
记作X~U(a,b)
概率等于该区间长度与 ab长度之比。
率 分
λe , − λx x > 0
f (x) =
布
0, x ≤ 0
指数分布
记作X~E(λ)
离散型随机变量的数学期望。 连续型随机变量的数学期望。
P(X = x ) = pk, k = 1.2.3 k
E (X) = +∞ f (x) dx −∞
数学期望的性质
C为常数则E(C)=C 设x是随机变量，c是常数则有,E(CX)=CE(X)
设x和y是任意两个随机变量则有。 E (X ± Y) = E(X) ± E(Y)
二维离散型随机变量
定义
如果随机变量xy可能取值为有限个或无穷个xy，则称为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量的概率分布 二维离散型随机变量的边缘分布。 二维离散型随机变量的条件分布
P(X = x , Y = y ) = p
i
i
ij
+∞
+∞
pi⋅ = P(X = x , Y = y ) = pij
连续性随机变量及其概率分布
对于随机变量X的分布函数F(x),都有一个非负可积函数f(x)使得 连续型随机变量的F(x)一定连续，f(x)不一定连续
x
F (x) = f (t)dt
−∞
f (x) ≥ 0
概率密度f(x)性质
+∞ f (x)dx = 1
−∞
对于任意实数
在f(x)的连续点处
x
x < x , P(x < X ≤ x ) = 2 f (t)dt
分
F(X,Y)关于x和关于y是右连续的。
布
F(X,Y)的性质
对于任意的xy均有0<=F(X,Y)<=1
F (x, −∞) = F(−∞, y) = 0
F(+∞, +∞) = 1 （1）f(x,y) ≥ 0
随机变量的独立性
f（x，y）的性质
+∞ +∞
(2)
f (x, y) dxdy = 1
−∞ −∞
一维随机变量及其分布函数
分布函数的性质

0 ≤ F(x) ≤ 1, lim F(x) = 0, lim F(x) = 1
x→−∞
x→+∞
F(x)是单调不减函数

F(x)是右连续函数
x < x , P(x < X ≤ x ) = F (x ) − F (x )
1
2
1
2
2
1
P( X = x) = F ( x) − F ( x − 0)
=
ΩA几何度量 Ω几何度量
n重伯努利试 验：把随机试验重复若干次，事件之间相互独立，同一事件
C P 概率相同，实验结果只有两个，事件A 的概率为P(A)
=
k，
k n
k(1- P)n-k
1/8
随机变量：样本空间上的实值函数X=X(ω)
分布函数：对于任意实数x，记F(x)=p{X<=x}，
-∞ < x < +∞
1
2
1
2
x
1
F '( x) = f ( x)
（0—1）分布
随机变量x有分布律则称x等于01分布。
X 01 P 1− p p
二项分布 几何分布
P(X = k) = C p q k k n−k , k = 0.1.2.3… n
记作X~B（n，p）
如果随机变量x的分布率为 P(X = k) = pq k−1
相关系数
ρ= xy D(X) D(Y)
矩，协方差和相关系数。
cov(X, Y) = E(XY) − E(X) E(Y)
D(X± Y) = D(X) + D(Y) ± 2 cov(X, Y)
协方差的公式与性质
cov(X, Y) = cov(Y, X)
cov(aX, bY) = abCov(X, Y)
Cov(X + X , Y) = Cov(X , Y) + Cov(X , Y)
如果x1~xn相互独立，且都与总体x通分布称为x1~ xn为来自总体x的简单随机样本。
统计量
样本x1~xn的不含未知参数的函数称为统计量。
1 n
样本均值：X =
X
n i=1
i
1
n
样本方差:S2 =
(X − X )2
n − 1 i=1
i
样本数字特征
样本标准差:S =
1
n
(X − X )2
n − 1 i=1
事件的非：记作A事件A不发生 事件的包含：事件A发生必然导致事件B发生，称为事件B包含A
事件相等：两事件同时发生，且彼此包含，记作A=B 互斥事件：事件A与B的关系式相交为空，是指AB不能同时发生
A⊂B
交换律： A B = BA A B = BA
结合律： A （BC）=（A B）C
事件的基本运算规律