高中数学必修五学案 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用

§2.3等差数列的前n项和

第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用

学习目标

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.

2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个.

3.能用a n与S n的关系求a n.

知识点一 等差数列前n 项和公式

思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ 答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题： 设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，

∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2

.

梳理 等差数列的前n 项和公式

知识点二 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二

思考 在等差数列{a n }中，若已知d ，n ，a n ，如何求a 1和S n?

答案 利用a n ＝a 1＋(n －1)d 代入d ，n ，a n ，可求a 1，利用S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)

2d

可求S n .

梳理 (1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和.

(2)依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.

知识点三 数列中a n 与S n 的关系

思考 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n ? 答案 a 1＝S 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又当n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. 梳理 对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，

则有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

特别提醒：

(1)这一关系对任何数列都适用.

(2)若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －

1(n ≥2)也适合

n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示.

若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.

1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.(×)

2.等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍.(√)

类型一 等差数列前n 项和公式的应用 命题角度1 等差数列基本量的计算

例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 考点 等差数列前n 项和

题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 方法一 由题意知S 10＝310，S 20＝1 220， 将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)

2

d ，

得到⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝4，d ＝6.

∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2

×6＝3n 2＋n .

方法二 ∵S 10＝10(a 1＋a 10)

2＝310，∴a 1＋a 10＝62，①

∵S 20＝20(a 1＋a 20)

2＝1 220，∴a 1＋a 20＝122，②

②－①，得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60，∴d ＝6，a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)

2

d ＝3n 2＋n .

反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.

(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 考点 等差数列前n 项和

题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题

解

由⎩⎨⎧

a n

＝a 1＋(n －1)d ，S n

＝na 1

＋n (n －1)2d ，

得⎩⎨⎧

a 1＋2(n －1)＝11，na 1

＋n (n －1)

2×2＝35，

解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧

n ＝7，

a 1＝－1.

命题角度2 实际应用

例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？

考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题

解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20， 则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， …

a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元.

由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)

2×20＝1 105，

即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255.

反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和