关于极值点_拐点问题的探讨_余桂东

第32卷第2期
2007年4月
昆明理工大学学报(理工版)
Jour nal ofK un m i ngU n i versity of Sci ence a nd Technology (Sci ence and Technolo gy)Vo.l 32 N o .2 Apr .2007
收稿日期:2006-09-29.基金项目:国家自然科学基金资助项目(项目编号:10501021);安徽省高等学校自然科学研
究资助项目(项目编号:2005k j 214).
作者简介:余桂东(1973~),女,讲师、硕士.主要研究方向:图论与网络优化.E -m ai:l yugui d @aqtc .edu .cn
关于极值点、拐点问题的探讨
余桂东
(安庆师范学院数学与计算科学学院,安徽,安庆,246011)
摘要:利用数学归纳法及相关引理将文献[1]中通过考察U 0-(x 0)和U 0
+(x 0)内f c (x )或f Ê(x )的符号来判断(x 0,f (x 0))为曲线y =f (x )的拐点的充分条件推广到通过考察U 0
-(x 0)和U 0
+(x 0)内f
(n )
(x )的符号来判断(x 0,f (x 0))是否为曲线y =f (x )的拐点与极值点,并在此基础上得到若y =
f (x )在点x =x 0的某去心邻域内具有(n -1)阶导数,在x =x 0具有n 阶导数(n \2),如果f c (x 0)=f d (x 0)=,=f
(n -1)
(x 0)=0,而f
(n )
(x 0)X 0,则当n 为奇数时,(x 0,f (x 0))是拐点不是极值点;
当n 为偶数时,(x 0,f (x 0))是极值点不是拐点,且当f (n)
(x 0)>0时为极小值点,当f
(n )
(x 0)<0时
为极大值点.最后将本文所得三定理举例加以应用.
关键词:拐点;极值点;导数中图分类号:O157
文献标识码:A
文章编号:1007-855X (2007)02-0121-04
D iscussi on of Extre m e Value Poi nt and Inflection Point
YU Gui -dong
(Depart m ent ofM a t he m a ti c o fA nqi ng T eacher .s Co llege ,A nq i ng ,A nhu i 246011,Ch i na)
Abst ract :F irstly ,m athe m atical i n ducti v e m ethod and o t h er le mm a are adopted to judge whether (x 0,f (x 0))is or is not the po i n t of inflecti o n and the po i n t of extre m e val u e by exa m i n i n g the sign o f f (n )
(x )i n U 0
-(x 0)and
U 0
+(x 0).It is then concl u ded t h at if y =f (x )has f
(n -1)
(x )i n U 0(x 0)and f
(n)
(x 0)(n \2),f c (x 0)=f d (x 0)=
,=f (n -1)
(x 0),f (n )
(x 0)X 0,(x 0,f (x 0))is the po int o f i n flecti o n and is not the point o f ex tre m e va l u e when n
is odd nu m ber ,(x 0,f (x 0))is not the point of i n flecti o n and is t h e po i n t o f extre m e va l u e when n is even nu m-ber ,furt h er m ore (x 0,f(x 0))is extre m e m ini m um val u e w hen f (n )
(x 0)>0and (x 0,f (x 0))is ex tre m e m ax i m um
val u e when f
(n )
(x 0)<0.Fina ll y ,the t h ree theore m s are applied by g i v i n g exa m ples .
K ey w ords :po i n t of inflection ;po int of ex tre m e va l u e ;derivative
0引言
到目前为止,虽然有关判别极值点与拐点的方法已有很多结果,但利用高阶导数判别极值点与拐点最好的办法要算文[1]和[2]的结论,本文对这两个结论进行了推广,在理论与应用两方面有重要的意义.
1相关定义与相关结论
定义1
[4]
若(x 0,f (x 0))为连续曲线y =f(x )上严格凸与严格凹的分界点,则称(x 0,f(x 0))为曲线
y =f (x )的拐点.
定义2[3]92-93
若函数f 在点x 0的某邻域U (x 0)内对一切x I U(x 0)有f (x 0)\f (x )(f (x 0)[f (x )),则称函数f 在点x 0取得极大(小)值f (x 0),称点x 0为极大(小)值点.
引理1
[3]124 设函数f 在(a,b)内可导.若f c (x )>0(f c (x )<0),则f 在(a,b)内严格递增(严格递
122昆明理工大学学报(理工版)第32卷
减).
引理2[3]142设f在x0连续,在U0(x0,D)内可导.
( )若当x I(x0-D,x0)时f c(x)\0,当x I(x0,x0+D)时f c(x)[0,则f在x0取得极大值.
( )若当x I(x0-D,x0)时f c(x)[0,当x I(x0,x0+D)时f c(x)\0,则f在x0取得极小值.
引理3[3]142设函数f在点x0的某邻域U(x0)内一阶可导,在x=x0处二阶可导,且f c(x0)=0,f d(x0) X0.
( )若f d(x0)<0,则f在x0取得极大值.
( )若f d(x0)>0,则f在x0取得极小值.
引理4设f为I上二阶可导函数.若在I上f d(x0)>0(f d(x0)<0),则在I上严凸(严凹).
证明( )任取x1,x2I I,不妨设x1<x2f d(x)>0,在[x1,x2]上应用拉格朗日中值定理,存在N I(x1,x2),使得f(x2)-f(x1)=f c(N)(x2-x1),由引理1知f c在I上严格递增,因而f c(N)(x2-x1)> f c(x1)(x2-x1).这样f(x2)-f(x1)>f c(x1)(x2-x1).
( )任取x1,x2I I,令x3=K x1+(1-K)x2(0<K<1),由( )知
f(x1)>f(x3)+f c(x3)(x1-x3)=f(x3)+(1-K)f c(x3)(x1-x2)
f(x2)>f(x3)+f c(x3)(x2-x3)=f(x3)+K f c(x3)(x2-x1).
分别用K和(1-K)乘以上列两式并相加,得到
K f(x1)+(1-K)f(x2)>f(x3)=f(K x1+(1-K)x2).
从而f在I上严凸.同理可证严凹情形.
引理5[1]98设函数y=f(x)在点x0可导,在U0(x0;D)内二阶可导,且f c(x0)=0.若在U0-(x0)和U0+(x0)内f c(x)的符号相同,则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点.
引理6[1]99设函数y=f(x)在点x0的邻域U0(x0,D)内三阶可导,且f d(x0)=0.若在U0-(x0)和U0+(x0)内fÊ(x)的符号相同,则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.
从上面两个定义看出极值点是指横坐标为x0的X轴上的点,拐点(x0,f(x0))是曲线上的点,为了叙述简便,下文把极值点x0所对应曲线上的点(x0,f(x0))称为极值点,即下文的极值点也在曲线上.
2主要结论
定理7设y=f(x)在点x=x0的某邻域内具有n阶导数(n\2),如果f c(x0)=f d(x0)=,= f(n-1)(x0)=0,且在U0-(x0)和U0+(x0)内f(n)(x)的符号相同,则当n为奇数时,(x0,f(x0))是拐点不是极值点;当n为偶数时,(x0,f(x0))是极值点不是拐点,且当在U0-(x0)和U0+(x0)内f(n)(x)同为负时, f(x0,f(x0))是极大值点,当在U0-(x0)和U0+(x0)内f(n)(x)同为正时,(x0,f(x0))是极小值点.
证明¹当n=2时,由引理4知曲线y=f(x)在(x0,f(x0))两侧同为严凹或同为严凸,故此时(x0, f(x0))不是拐点.当f d(x)在U0-(x0)和U0+(x0)内同为负时,由引理1与f c(x0)=0知当x I U0-(x0)时f c(x)>0;当x I U0+(x0)时f c(x)<0,由引理2知(x0,f(x0))是极大值点.当f d(x)在U0-(x0)和U0+(x0)内同为正时,由引理1与f c(x0)=0知当x I U0-(x0)时f c(x)<0,当x I U0+(x0)时f c(x)>0,由引理2知(x0,f(x0))是极小值点.
当n=3时由引理6知(x0,f(x0))是拐点.不妨设在U0-(x0)和U0+(x0)内fÊ(x)的符号同为正,由引理1与f d(x0)=0知当x I U0-(x0)时f d(x)<0,当x I U0+(x0)时f d(x)>0,再由引理1与f c(x0)= 0知当x I U0-(x0)时f c(x)>0,当x I U0+(x0)时f c(x)>0,故(x0,f(x0))不是极值点.
º假设n[k时结论成立.
»当n=k+1时,设在U0-(x0)和U0+(x0)内f(k+1)(x)>0,由引理1与f(k)(x0)=0知在U0-(x0)内f(k)(x)<0;在U0+(x0)内f(k)(x)>0,再由引理1与f(k-1)(x0)=0知在U0-(x0)内f(k-1)(x)>0,在U0+(x0)内f(k-1)(x)>0,由假设知当(k-1)为奇数,即(k+1)为奇数时,(x0,f(x0))是拐点不是极值点;
当(k -1)为偶数,即(k +1)为偶数时,(x 0,f (x 0))是极小值点不是拐点.同理可证在U 0
-(x 0)和U 0
+(x 0)内f
(k+1)
(x )<0时有当k +1为奇数时,(x 0,f (x 0))是拐点不是极值点;当k +1为偶数时,(x 0,f (x 0))是
极大值点不是拐点.n =k +1即时结论仍然成立.
由¹º»知定理7成立.
定理8 设y =f(x )在点x =x 0的某邻域内具有n 阶导数(n \2),如果f c (x 0)=f d (x 0)=,=f
(n-1)
(x 0)=0,且在U 0-(x 0)和U 0+(x 0)内f
(n)
(x )的符号相异,则当n 为偶数时,(x 0,f (x 0))是拐点不是
极值点;当n 为奇数时,(x 0,f (x 0))是极值点不是拐点,且当在U 0
-(x 0)内f (n )
(x )>0在U 0+(x 0)内f
(n )
(x )
<0时,(x 0,f (x 0))是极大值点,当在U 0
-(x 0)内f
(n)
(x )<0在U 0
+(x 0)内f (n)
(x )>0时,(x 0,f(x 0))是
极小值点.
证明 ¹当n =2时,由引理4知(x 0,f (x 0))是曲线y =f (x )的拐点.不妨设在U 0
+(x 0;D )内f d (x )>0,在U 0
-(x 0;D )内f d (x )<0.由引理1与f c (x 0)=0知,在U 0
+(x 0;D )内f c (x )>0,在U 0
-(x 0;D )内f c (x )>0,故y =f (x )在U(x 0;D )内严格单调增加,此时(x 0,f (x 0))不是极值点.
当n =3时,不妨设在U 0
+(x 0;D )内f Ê(x )>0,在U 0
-(x 0;D )内f Ê(x )<0,由引理1与f d (x 0)=0知在U 0
+(x 0;D )内f d (x )>0,在U 0-(x 0;D )内f d (x )>0,由引理4知此时(x 0,f (x 0))不是拐点.再由引理1与f c (x 0)=0知在U 0
+(x 0;D )内f c (x )>0,在U 0
-(x 0;D )内f c (x )<0,由引理2知此时(x 0,f (x 0))是极小值点.同理可证在U 0
+(x 0;D )内f Ê(x )<0,在U 0
-(x 0;D )内f Ê(x )>0时不是拐点是极大值点.
º假设n [k 时结论成立.
»当n =k +1时,设在U 0
+(x 0;D )内f (k+1)
(x )>0,在U 0-(x 0;D )内f
(k+1)
(x )<0内.由引理1与
f
(k)
(x 0)=0知在U 0+(x 0;D )内f
(k)(x )>0,在U 0
-(x 0;D )内f
(k)
(x )>0.再由引理1与f (k+1)
(x )=0知
在U 0
+(x 0;D )内f (k-1)
(x )>0,在U 0
-(x 0;D )内f (k-1)
(x )<0.由假设知若(k -1),即(k +1)为偶数时(x 0,f (x 0))不是极值点是拐点;若(k -1)为奇数,即(k +1)为奇数时(x 0,f (x 0))不是拐点是极小值点.同理可证当U 0
+(x 0;D )内f
(k+1)
(x )<0,在U 0-(x 0;D )内f
(k+1)
(x )>0时不是拐点是极大值点.
由¹º»知定理成立.
定理9 设y =f (x )在x =x 0点的某去心邻域内具有(n -1)阶导数,在x =x 0具有n 阶导数(n \2),如果f c (x 0)=f d (x 0)=,=f
n-1
(x 0)=0,而f
(n)
(x 0)X 0,则当n 为奇数时,(x 0,f(x 0))是拐点不是
极值点;当n 为偶数时,(x 0,f(x 0))是极值点不是拐点,且当f (n )
(x 0)>0时为极小值点,当f
(n )(x 0
)
<0时
为极大值点.
证明 不妨设f
(n )
(x 0)=li m x y x 0
f
n-1
(x )-f n-1
(x 0)x -x 0=li m x y x 0
f (n-1)
(x )
x -x 0>0,由极限的局部保号性知必存在D >0,当x I U 0
(x;D )时
f
(n-1)
(x )x -x 0
>0,即在U 0+(x 0;D )内f (n-1)(x )>0,在U 0-(x 0;D )内f (n-1)
(x )<0.
由定理8知当(n -1)为偶数时,即n 为奇数时(x 0,f (x 0))是拐点不是极值点,当(n -1)为奇数时,即n 为偶数时(x 0,f (x 0))不是拐点是极小值点,同理可证f
(n )
(x 0)<0情形.
3应用举例
例1 设F (x )=
Q
x
(2t-x )f (t)d t ,其中函数f (x )可导,且f c (x )>0在区间(-1,1)内成立,f (x )在点x =0处二阶可导,则(0,F (0))是曲线y =F (x )的拐点,但不是极值点.
证明 F (x )=
Q x
(2t -x )f (t)d t =2Q x
tf (t)d t -x Q x
f(t)d t ,F c (x )=xf (x )-Q x 0
(x )f(t)d t ,F d (x )=xf c (x )
由于F c (0)=0且当x >0时F d (x )>0;当x <0时F d (x )<0.由定理8知(0,F (0))是曲线y =
123
第2期 余桂东:关于极值点、拐点问题的探讨
124昆明理工大学学报(理工版)第32卷
F(x)的拐点,但不是极值点.
F d(0)=0又FÊ(x)=f c(x)+xf d(x),FÊ(0)>0,由定理9知(0,F(0))是曲线y=F(x)的拐点,但不是极值点..
例2设f(x)=x5+x4,则(0,1)是y=f(x)的极小值点,但不是拐点.
证明f c(x)=5x4+4x3,f d(x)=20x3+12x2,
fÊ(x)=60x2+24x,f c(0)=f d(0)=fÊ(0)=0,f(4)(x)=120x+24,f(4)(0)>0,
由定理9知极小值点不是拐点.
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(上接第98页)
5结论
本文采用将道路的行驶条件、路面的线形、纵坡,前导车和跟随车之间的相关性等因素考虑在内的车辆跟驰模型,改进了原有水利水电工程交通仿真中的这个缺陷,使车辆可根据路况等信息的变化而及时调整速度,通过在某水利工程中的应用以及与原有方法相比较表明,该仿真模型更能反映实际情况.随着人工智能技术已经融入城市交通系统的管理,下一步的工作应着眼于在水利工程中建立交通监控系统,便于管理者直接、形象地对可能出现的冲突进行预测、控制.
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