河南省豫西名校2018_2019学年高二数学上学期第一次联考试题(含解析)

河南省豫西名校2018-2019 学年高二上学期第一次联考数学试题
一、选择题（本大题共12 小题，共60 分）
1. 等比数列中，，则公比
A. B. C. 2 D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
依据等比数列的通项公式，由，可得，即可求解，获得答案。

【详解】由题意知，等比数列中，，因此，解得．
应选： B．
【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的应用，此中解答中熟记等比数列的通项公式，
合理正确计算是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题。

2.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知，，，则
A. B. C.或 D.或【答案】 D
【分析】
【剖析】
由正弦定理，可得：，从而可求解角 B 的大小，获得答案。

【详解】由题意，由于，，，
由正弦定理，可得：，
又由于，则，可得：，因此或．
应选： D．
【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，以及特别角的三角函数的应用，此中解答中利用
正弦定理，求得是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题。

3. 设是等差数列的前 n 项和，，，则
A. 90
B. 54
C.
D.
【答案】 C
【分析】
【剖析】
利用等差数列的通项公式，即可求解公差，再利用前项和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
由于，因此，解得，
因此，应选 C.
【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，此中解答中利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程，正确计算是解答的重点，侧重考察了推理与运
算能力 .
4. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为
A. 6
B.
C.
D. 1【答案】B
【分析】
【剖析】
利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．
【详解】在等比数列中，，是方程的两根，
．
的值为．
应选： B．
【点睛】此题考察等比数列中两项积的求法，考察韦达定理和等比数列的通项公式等基础知
识，考察运算求解能力，是基础题．
5. 等差数列的前 n 项和为，己知，，则
A. 110
B. 200
C. 210
D. 260【答案】 C
【分析】
【剖析】
由等差数列的性质得，求解，获得答案。

【详解】由题意，等差数列
，
的前
成等差数列，依据等差中项公式，列出方程，即可n 项和为，，，
由等差数列的性质得
即，因此，
，，成等差数列，
成等差数列，
，解得．
应选： C．
【点睛】此题主要考察了等差数列的性质的应用，此中解答中依据等差数列的性质，获得，成等差数列，利用等差中项公式，列出方程求解是解答的重点，侧重考察了
推理与运算能力，属于基础题。

6. 设a，b，c为的内角所对的边，若，且，那么
，
外接圆的半径为
A.1
B.
C.2
D.4
【答案】 A
【分析】
【剖析】
由得 b2+c 2-a 2=bc．利用余弦定理，可得 A=．再利用正弦定理可得
2R=，可得 R.
【详解】∵, ∴,
整理得 b2+c2-a 2=bc，
依据余弦定理cosA=，可得cosA=
∵A∈（ 0，π），∴ A=
由正弦定理可得2R==, 解得 R=1，应选： A
【点睛】已知三边关系，可转变为靠近余弦定理的形式，直接运用余弦定理理解三角形，注
意整体代入思想.
7. 已知无量等差数列中，它的前n 项和，且，那么
A.中C. 当
最大
时，
B.中
D. 必定有
或最大
【答案】 C
【分析】
【剖析】
依据等差数列中，，得，又由，得，
从而获得，即可获得答案。

【详解】由题意，由于无量等差数列中，它的前n 项和，且，，
由，可得，又由，可得，
因此，
因此当时，，当时，．
应选： C．
【点睛】此题主要考察了等差数列前n 项和与通项的关系的应用，此中解中熟记等差数列
的前 n 项和与通项之间的关系，合理应用是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属
于基础题。

8. 甲船在岛 B 的正南方A处，千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小
时
6 千米的速度向北偏东的方向匀速航行，当甲、乙两船相距近来时，它们所航行的时间是
A.小时
B.小时
C.小时
D.小时【答案】A
【分析】
剖析：设经过x 小时两船相距近来，而后分别表示出甲乙距离 B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后依据二次函数求最值的方法可获得答案.
详解：假定经过x 小时两船相距近来，甲乙分别行至C，D，如下图：
可知，
由余弦定理可得，
当小不时距离最小.
应选： A.
点睛：求距离问题的注意事项
(1) 第一选用适合基线，画出表示图，将实质问题转变成三角形问题．(2) 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3) 确立使用正弦定理或余弦定理解三角形．
9. 在中，，则的形状必定是
A. 直角三角形
B.等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】 B
【分析】
此题考察的是解三角形。

由条件可知即。

又，睁开整理得, 因此, 三角形为等腰三角形。

应选B。

10. 两等差数列，的前n项和分别为，，且，则
A. B. C. D.2
【答案】 C
【分析】
【剖析】
由等差数列的前项和可设，即，从而求得，得
到答案 .
【详解】由等差数列的前项和，依题意有，
因此,
因此，应选 C.
【点睛】此题主要考察了等差数列的前项和以及等差数列的性质的应用，此中熟记等差数列数
列的前项和的形式，合理应用是解答的重点，侧重考察了数学的转变思想方法的应用，属于中
档试题 .
11. 已知的面积为S，三个内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
，
则
A.2
B.4
C.
D.
【答案】 A
【分析】
剖析：由三角形面积公式及余弦定理代入条件可得，从而可得，从而得解.
详解：△的面积中.
由，可得.
化简得，即.
因此，解得或（舍）.
因此.
因此.
应选 A.
点睛：该题考察的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题有关的知识点以及题中所给的量，成立相应的等量关系式，最后求得结果.
12. 在中，角，，
C 所对的边分别为
a
，，，且
A
是
B
和
C
的等差中项，，
A B b c
，则周长的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】 B
【分析】
剖析：由得 B 角是钝角，由等差中项定义得 A 为 60°，再依据正弦定理把周长用
三角函数表示后可求得范围．
详解：∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
因此的周长为，
又，，，∴．
应选 B．
点睛：此题考察解三角形的应用，解题时只需把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出
来，联合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是 B 角的外角，而不是 B 角，要特别注意愿量夹角的定义．
二、填空题（本大题共 4 小题，共20 分）
13. 已知等差数列的前n项和为，知足，且，则获得最大值时______．【答案】 7
【分析】
【剖析】
由等差数列的前 n 项和为，知足，且，利用前n项和公式，求得，
获得，再由等差数列的前n 项和公式，及二次函数的性质，即可求解，获得答案。

【详解】由题意，等差数列的前 n 项和为，知足，且，
因此，解得，由于，因此，
．
获得最大值时．
故答案为： 7．
【点睛】此题主要考察了等差数列的前n 项和的最值问题，此中解答中合理利用等差数列的
前 n 项和公式，求得，，以及利用二次函数的性质求解是解答的重点，侧重考
查了推理与运算能力，属于中档试题。

14. 已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c 且，，，则______．【答案】 5
【分析】
【剖析】
由和三角形的面积的值，利用三角形的面积公式求出的值，而后由及的值，利
用余弦定理，即可求出的值．
【详解】由三角形的面积公式，由，因此，
又由，由余弦定理得，
解得．
【点睛】在解有关三角形的题目时，要存心识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要
用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式时，
要考虑用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特
点都不显然时，则要考虑两个定理都有可能用到．
15. 已知数列的前n项和为，且数列为等差数列若，，则
______．
【答案】 3027
【分析】
剖析：由数列为等差数列，可设，化为，由，
得且，联立解得，从而可得结果.
详解：数列为等差数列，可设，化为，
，
联立解得：，则，故答案为.点睛：此题主要考察等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数
列基本量的运算是等差数列的一类基此题型，数列中的五个基本量，一般能够“知
二求三”，经过列方程组所求问题能够水到渠成.
16. 三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形
面积之比为，则__________ ．
【答案】
【分析】
剖析：为的均分线，从而，依据余弦定理可获得，二者联合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的长度．
详解：由于为的均分线，故．
又，整理得，
因此，故．
又，故．填．
点睛：（1）在中，若为的均分线（为上一点），则有；
（2）在解三角形中，我们有时需要找出不一样三角形之间有关系的边或角，由它们交流
分别在不一样三角形的几何量．
三、解答题（本大题共 6 小题，共70.0 分）
17. 若数列是公差大于零的等差数列，数列是等比数列，且,,
.
（ 1）求数列和的通项公式；
（ 2）设数列的前项和为,求的最大值 .
【答案】（ 1）；（2）当取或时，取最大值为.
【分析】
剖析：（ 1）由已知联合等差与等比数列的通项公式可得：，解方程，进而可求通项；
（ 2）表示出数列的前项和为，利用二次函数的性质即可获得答案.
详解：（1）设数列的公差为, 等比数列的公比为, 则
, 解得，
因此,
（ 2）
于是，当取与最靠近的整数即或时，取最大值为.
点睛：利用函数思想求等差数列前
n* n 项和 S 的最值时，要注意到n∈N .
18. 在中，内角所对的边分别为，已知，且.
(1)求角的大小；
(2)求的最大值.
【答案】 (1).
(2).
【分析】
【剖析】
（ 1）由余弦定理可得：cosA=== ，即可得出．
（ 2）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+ ，依据B∈即可得出．
【详解】 (1) 由已知，得.
详解答案
即.
(2) 由正弦定理，得，
.
，
当时，获得最大值.
【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依据正、余弦定理联合已知条件
灵巧转变边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 其基本步骤是：
第一步：定条件，即确立三角形中的已知和所求，在图形中标出来，而后确立转变的方向.
第二步：定工具，即依据条件和所求合理选择转变的工具，实行边角之间的互化.
第三步：求结果.
19. 设正项等比数列的前项和为，且知足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，求的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
【剖析】
（Ⅰ）设正项等比数列的公比为，则且，利用等比数列的基本量运算可得，从而得通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，知当时，，因此议论时和时，利用等差数列乞降公式求即可 .
【详解】（Ⅰ）设正项等比数列的公比为，则且
由已知有，
即
故或（舍）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，故当时，
当时，
当时，
.
.
【点睛】此题主要考察了等差等比数列的通项公式及乞降公式的求解，属于基础题.
20. 已知向量，，且函数．
（）求函数的最大值以及取最大值时的取值会合．
（）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．
【答案】(1)函数的最大值为，此时的取值会合为． (2)
【分析】
剖析：(1)由向量的数目积公式和正弦与余弦的倍角公式可得f(x)=.取最大值时,.
(2) 由，得，联合，，及余弦定理和三角形的面积公式可求。

详解：（）由题意，
当
∴函数（）∵
，
，
的最大值为
，即
，此时
，
的取值会合为
，
时，取最大值，
．
∴，
∵为的内角，
∵，
由余弦定理得即，
又，，故，
得，
∴的面积．
点睛：此题综合考察平面向量的数目积公式，三角函数的正余弦倍角公式，协助角公式，及用余弦定理解三角形和三角形面积。

解三角的重点是选择适合的正弦定理与余弦定理及面积公式。

21. 在中，内角的对边分别为，且知足.（ 1）证明：成等差数列；
（ 2）已知的面积为，【答案】（ 1）看法析；（ 2）.【分析】
【剖析】
（ 1）利用正弦定理，边化角，即可求解；（ 2）由得，依据定理，即可求解 a 的值．
【详解】（ 1）由题设知
由正弦定理和余弦定理化简可得
即
即，求的值.
，
，
，
，
，求解bc，利用余弦
，
∴由三角形内角和定理有，∴由正弦定理有，
成等差数列 .
（2）由得，
依据，，
由余弦定理，
又由（ 1）得，代入得，
.
【点睛】此题考察了等差数列的性质、正余弦定理的应用，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知
.
（ 1）求角的大小；
（ 2）求的取值范围。

【答案】（ 1）；（2）．
【分析】
试题剖析：（ 1）由正弦定理转变为对于边的条件，再由余弦定理，求角即可；
（2）利用二倍角公式化简，获得正弦型三角函数，剖析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围 .
试题分析：（ 1）由于，由正弦定理得
，即，
则
依据余弦定理得
又由于（ 2）由于则，因此，因此
由于三角形为锐角三角形且，因此
则
因此，
因此
即的取值范围为
点睛：解决三角形中的角边问题时，要依据条件选择正余弦定理，将问题转变一致为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式办理，特别注意内角和定理的运用，波及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意剖析角的范围，才能写出角的大小 .。