高考数学 三角函数及三角恒等变换

高考数学 三角函数及三角恒等变换
第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010全国卷2理）（7）为了得到函数sin(2)3y x π
=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像
（A ）向左平移
4π个长度单位 （B ）向右平移4π
个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2)6
y x π
=+=sin 2()12x π+
，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6
y x π
=+的图像向右
平移4
π个长度单位得到sin(2)3y x π
=-的图像，故选B.
2.（2010陕西文）
3.函数f (x )=2sin x cos x 是
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数
（D ）最小正周期为π的偶函数
【答案】C
解析：本题考查三角函数的性质
f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数
3.（2010辽宁文）（6）设0ω>,函数sin()23
y x π
ω=+
+的图像向右平移
43
π
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）
23 （B ） 43 （C ） 3
2
（D ） 3 【答案】 C
解析：选C.由已知，周期243
,.32
T π
πωω
==
∴=
4.（2010辽宁理）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3
π
)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值
是
（A ）
23 (B)43 (C)3
2
(D)3 【答案】C
【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。

【
解
析
】
将
y=sin(
ω
x+
3
π
)+2的图像向右平移
3
4π个单位后为
4sin[()]233y x ππω=-
++4sin()233x πωπω=+-+，所以有
43ωπ
=2k π,即32k ω=，又因为0ω>，所以k ≥1,故32k ω=≥3
2，所以选C
5.（2010重庆文）（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42
ππ
上为减函数的是
（A ）sin(2)2y x π
=+ （B ）cos(2)2
y x π
=+ （C ）sin()2y x π
=+ （D ）cos()2
y x π
=+ 【答案】 A
解析：C 、D 中函数周期为2π，所以错误 当[
,]42x ππ
∈时，32,22x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数sin(2)2
y x π
=+为减函数
而函数cos(2)2
y x π
=+
为增函数，所以选A
6.（2010重庆理）
（6）已知函数()sin (0,)2
y x π
ωϕωϕ=+><的部分图
象如题（6）图
所示，则 A. ω=1
ϕ= 6
π B. ω=1 ϕ=- 6
π C. ω=2
ϕ= 6
π D.
ω=2 ϕ= -6
π
解析：2=∴=ϖπT Θ 由五点作图法知
2
3
2π
ϕπ
=
+⨯
，ϕ= -
6
π 7.（2010山东文）（10）观察2'
()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数
()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - 【答案】D
8.（2010四川理）（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）sin(2)5
y x π
=- （C ）1sin()210
y x π
=- （D ）1sin()220y x π=-
解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －10
π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210
y x π
=-.
【答案】C
9.（2010天津文）（8）
5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将
y sin x x R =∈（）的图象上所有的点
(A)向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，纵坐标不变 (B) 向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2
倍，纵坐标不变
(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。

由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+ϕ).代入（-
6
π
，0）可得ϕ的一个值为3π，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3π)，即y=sin2(x+ 6
π
)，所以只需将y=sinx （x ∈R ）的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变。

【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求ϕ。

三角函数图像进行平移变换时注意提
取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的1ω
10.（2010福建文）
11.（2010四川文）（7）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A ）sin(2)10y x π=-
（B ）y =sin(2)5x π
- （C ）y =1sin()210x π- （D ）1sin()220
y x π
=-
【答案】C
解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，所得函数图象的解 析式为y ＝sin (x －
10
π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210
y x π=-.
12.（2010湖北文）2.函数f(x)= 3sin(),24
x x R π
-∈的最小正周期为
A.
2
π B.x
C.2π
D.4π
【答案】D 【解析】由T=|
212
π
|=4π，故D 正确. 13.（2010福建理）1．cos13o
o
计算sin43cos 43o o
-sin13的值等于（ ）
A ．
12
B 3
C 2
D 3【答案】A
【解析】原式=1
sin (43-13)=sin 30=
2
o
o
o
，故选A 。

【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

二、填空题
1.（2010浙江理）（11）函数2()sin(2)224
f x x x π
=-
-的最小正周期是__________________ .
解析：()242sin 22-⎪⎭⎫
⎝
⎛+=
πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题 2.（2010浙江文）（12）函数2
()sin (2)4
f x x π
=-的最小正周期是 。

答案
2
π 3.（2010福建文）16.观察下列等式： ① cos2a=22
cos a -1;
② cos4a=84cos a - 82
cos a + 1;
③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182
cos a - 1;
④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322
cos a + 1;
⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2
cos a - 1． 可以推测，m – n + p = ． 【答案】962
【解析】因为1
22,=3
82,=5
322,=7
1282,=所以9
2512m ==；观察可得400n =-，
50p =，所以m – n + p =962。

【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。

4.（2010山东理）
5.（2010福建理）14．已知函数f(x)=3sin(x-
)(>0)6
π
ωω和g(x)=2cos(2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。

若
x [0,
]2
π
∈，则f(x)的取值范围是 。

【答案】3[-,3]2
【解析】由题意知，2ω=，因为x [0,
]2
π
∈，所以52x-
[-
,
]6
66π
ππ
∈，由三角函数图象知：
f(x)的最小值为33sin (-
)=-62π
，最大值为3sin =32π，所以f(x)的取值范围是3
[-,3]2。

6.（2010江苏卷）10、定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛
20π,
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________。

解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23。

线段P 1P 2的长为23
三、解答题
1.（2010湖南文）16. （本小题满分12分） 已知函数2
()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

2.（2010浙江理）（18）(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1
cos 24
C =- (I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2
C=1
4
-
，及0＜C ＜π 所以sinC=
104
. （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a c
sin A sin C
=，得 c=4
由cos2C=2cos 2
C-1=1
4
-
，J 及0＜C ＜π得
cosC=
±
4
由余弦定理c 2
=a 2
+b 2
-2abcosC ，得 b 2
b-12=0
解得
或
所以
b= b= c=4 或 c=4
3.（2010江西理）17.（本小题满分12分）
已知函数
()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

(1) 当m=0时，求()f x 在区间384ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上的取值范围；
(2) 当tan 2a =时，
()3
5f a =
，求m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。

依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
解：（1）当m=0时，22cos 1cos 2sin 2()(1)sin sin sin cos sin 2
x x x
f x x x x x x -+=+
=+=
1)1]24x π=-+，由已知3[,]84
x ππ
∈，得2[42x π-∈-
从而得：()f x 的值域为 （2）2cos ()(1)sin sin()sin()sin 44x f x x m x x x ππ
=+
++- 化简得：11
()[sin 2(1)cos 2]22
f x x m x =+++
当tan 2α=，得：2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5a a a a a a a ===++，3
cos 25
a =，
代入上式，m=-2.
4.（2010浙江文）（18）（本题满分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足
2
22)S a b c =
+-。

（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。

5.（2010北京文）（15）（本小题共13分） 已知函数2
()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 解：（Ⅰ）22()2cos
sin 3
33f π
ππ=+=31
144
-+=- （Ⅱ）2
2
()2(2cos 1)(1cos )f x x x =-+- 2
3cos 1,x x R =-∈
因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =±时()f x 取最大值2；当cos 0x =时，()f x 去最小值-1。

6.（2010北京理）（15）（本小题共13分） 已知函数(x)f 2
2cos 2sin 4cos x x x =+-。

（Ⅰ）求()3
f π
=的值；
（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。

解：（I ）2239()2cos
sin 4cos 13
33344
f π
πππ=+-=-+=- （II ）2
2
()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+-- =2
3cos 4cos 1x x -- =2
27
3(cos )3
3
x --,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，
所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =
时，()f x 取最小值73
-
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (
23α +12π)=125
,求sin α．
3sin(2)25πα+=，3cos 25α=，2312sin 5α-=，21
sin 5
α=，5sin 5α=±． 8.（2010广东文）
已经函数22cos sin 11
(),()sin 2.224
x x f x g x x -=
=- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。

10.（2010湖南理）16．（本小题满分12分）
已知函数2
()322sin f x x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合。

2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)函数1)4
(cos 22
--
=π
x y 是
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2
π的奇函数 D. 最小正周期为2π
的偶函数
答案 A
解析 因为2
2cos ()1cos 2sin 242y x x x π
π⎛
⎫=--=-= ⎪⎝⎭
为奇函数,22T ππ==, 所以选A.
2.（2009全国卷Ⅰ理）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ） A .
6π B.4π C.3π D. 2
π
答案 C
解析: Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称 423k πφπ∴⋅
+=42()3k k Z πφπ∴=-⋅∈由此易得min ||3
π
φ=.故选C
3.（2009
全国卷Ⅰ理）若
42
x
ππ
<<，则函数3
tan2tan
y x x
=的最大值为。

答案-8
解析:令tan,
x t
=1
42
x t
ππ
<<∴>
Q,
44
3
22
2
422
2tan2222
tan2tan8
111111
1tan1()
244
x t
y x x
x t
t t t
∴=====≤=-
------
4..（2009浙江理）已知a是实数，则函数()1sin
f x a ax
=+的图象不可能
．．．是 ( )
答案 D
解析对于振幅大于1时，三角函数的周期为
2
,1,2
T a T
a
π
π
=>∴<
Q，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．
5..（2009浙江文）已知a是实数，则函数()1sin
f x a ax
=+的图象不可能
．．．是（）
【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．
答案 D
解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a
π
π=>∴<Q ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．
6.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π
++=x y D.22sin y x =
答案 B
解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,
再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为2
1cos 22cos y x x =+=,故选B.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
7.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. 2
2cos y x = B. 2
2sin y x = C.)4
2sin(1π
+
+=x y D. cos 2y x =
答案 A
解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,
再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为2
1cos 22cos y x x =+=,故选A.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
8.（2009安徽卷理）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈
B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈
C.[,],36k k k Z ππππ-+∈
D.2[,],63k k k Z ππππ++∈答案 C
解析 ()2sin()6
f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
9..（2009安徽卷文）设函数，其中
，则导数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 21
(1)sin x f x x
θθ='=⋅⋅sin 2sin()3
π
θθθ==+
5
0,sin(),1(1)21232f πθπθ⎤⎡⎤
⎤'∈∴+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦
⎣⎦Q ，选D
10.（2009江西卷文）函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2
π
答案：A
解析 由()(1)cos cos 2sin()6
f x x x x x x π
===+
可得最小正周期为2π,故选A.
11.（2009江西卷理）若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为
A ．1
B ．2
C 1
D 2 答案：B
解析 因为()(1)cos f x x x =+=cos x x +=2cos()3
x π
-
当3
x π=
是，函数取得最大值为2. 故选B
12.(2009湖北卷理)函数cos(2)26
y x π
=+
-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当
()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于 .(,2)6
A π
-
- .(,2)6B π
-
.(,2)6
C π- .(,2)6
D π
答案 B
解析 直接用代入法检验比较简单.或者设(,)a x y ''=v ，根据定义cos[2()]26
y y x x π
''-=-+-，根据y 是奇函数，
对应求出x '，y '
13.（2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像重合，则ω的最小值为
A ．
1
6
B.
1
4
C.
13
D.
12
解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω⎛⎫⎛
⎫=+−−−−−−
→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位 1
64
()6
62
k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
，
又min 1
02
ωω>∴=Q .故选D 答案 D
14..（2009福建卷理）函数()sin cos f x x x =最小值是 ( ) A ．-1 B. 12- C. 1
2
D.1 答案 B
解析 ∵1()sin 22f x x =
∴min 1
()2
f x =-.故选B 15.（2009辽宁卷理）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，则(0)f =( ) A.23-
B. 23
C.－ 12
D. 12
解析 由图象可得最小正周期为2π
3
于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π
12对称
所以f(2π3)＝－f(π2)＝2
3
答案 B
16.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称，那么φ的最小值为 A.
6π B.4π C. 3π D. 2
π 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。

解: Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅
+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6
π
φ=.故选A
17.（2009湖北卷文）函数2)6
2cos(-+=π
x y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /
的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数
时，向量a 可以等于
A.)2,6
(-π B.)2,6
(π C.)2,6
(--π D.)2,6
(π
-
答案 D
解析 由平面向量平行规律可知，仅当(,2)6
a π
=-v 时，
F '：()cos[2()]26
6
f x x π
π
=+
+
-=sin2x -为奇函数，故选D.
18.(2009湖南卷理)将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π-的图象，
则ϕ等于 （D ） A ．
6
π
B ．56π C. 76π D.116π
答案 D
解析 由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数sin()y x ϕ=+可化为函数
sin()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+sin()6
x π
=-，所以选D 项
19.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，
为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移8π个单位长度
B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，
基础题。

解析：由题知2=ω，所以
)8
(2cos )42cos()]42(2cos[)42sin()(π
ππππ
-=-=+-=+
=x x x x x f ，故选择A
答案 A 二、填空题
20.（2009江苏卷）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .答案 3 解析 考查三角函数的周期知识 3
2
T π=，2
3
T
π=，所以3ω=，
21（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________
答案：
910
π 解析：由图可知，
()544,,2,125589,510T x πωπϕππϕϕ⎛⎫
=
∴=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫
+∴=
⎪⎝⎭
把代入y=sin 有：1=sin
22.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭。

答案 0
解析 由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝
32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4
π
时，f （x ）＝0，即2φπ+⨯43sin(）＝0，可得4
π
φ=
，所以，712f π⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
2)41273sin(ππ+⨯＝0 23.(2009湖南卷理)若x ∈(0, 2π)则2tanx+tan(2
π
-x)的最小值为 答案 22解析 由(0,
)2x π
∈，知1
tan 0,tan()cot 0,2tan παααα>-==>所以1
2tan tan()2tan 22,2tan παααα
+-=+≥当且仅当tan 222
24.（2009年上海卷理）函数2
2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 答案 12解析 ()cos 2sin 212)14
f x x x x π
=++=++，所以最小值为：1225.（2009年上海卷理）当时10≤≤x ，不等式kx x
≥2
sin π成立，则实数k 的取值范围是_______________. 答案 k ≤1 解析 作出2
sin 1x
y π=与kx y =2的图象，要使不等式kx x
≥2
sin
π成立，由图可知须k ≤1
26．（2009年上海卷理）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫
⎝
⎛-
∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .
答案 14
解析 函数x x x f tan sin )(+=在 ()22
ππ
-
，是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为
142622712a a a a a =•••=+=+，
所以12722614()()()()()0f a f a f a f a f a +=+=•••==，所以当14k =时，0)(=k a f . 27.（2009上海卷文）函数2
()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。

答案 12-
解析 ()cos 2sin 212sin(2)14
f x x x x π
=++=
++，所以最小值为：12-
28.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示， 则ω ＝
解析 由图象可得最小正周期为4π
3
∴T ＝2πω＝4π3 ⇒ ω＝23
答案
2
3 三、解答题
29.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2
2
2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=g
g
化简并整理得：222
2()a c b -=.又由已知222a c b -=2
4b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.
解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①
又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=
，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

30.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值. 解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．
解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==， ∴函数()f x 的最小正周期为π.
（Ⅱ）由26
2
3
x x π
π
π
π-
≤≤
⇒-
≤≤，∴sin 212
x -
≤≤，
∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，最小值为31.（2009北京理）（本小题共13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，4
cos ,5
A b =
=。

（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.
解析 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．
解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4
,cos 35
B A π
==， ∴23
,sin 35
C A A π=
-=，
∴231343sin sin cos sin 32C A A A π+⎛⎫
=-=+=
⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin ,sin 510A C +==， 又∵,33
B b π
==，∴在△ABC 中，由正弦定理， ∴sin 6
sin 5
b A a B =
=. ∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050
S ab C ++=
=⨯⨯⨯= 32.（2009江苏卷）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r r r
（1）若a r 与2b c -r r 垂直，
求tan()αβ+的值；（2）求||b c +r r
的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a r ∥b r .【解析】 本小题主要考查
向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

33.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f (x )=cos(2x +3
π)+sin 2
x . (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2)
设A ,B ,C 为∆ABC 的三个内角，若cos B =
31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sin A . 解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin 23322x x x x ππ--+
= 所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π. （2）()2c f =
1322C -=－4
1, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=, 又因为在∆ABC 中, cosB=
31, 所以 2
sin 33
B =
所以 2113223
sin sin()sin cos cos sin 232326
A B C B C B C =+=+=
+⨯=. 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.
34.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos sin 2
πϕϕϕ
<<-+x x x 在π=x 处取最
小值. （1）
求ϕ.的值;
（2）
在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=
A f ,求角C.. 解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ϕ
ϕ+=⋅
+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+
因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2
π
ϕ=.所
以()sin()cos 2
f x x x π
=+
=
（2）因为23)(=
A f ,所以cos 2A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6
A π
=.又因为,2,1==b a 所以由正弦
定理,得
sin sin a b
A B
=
,也就是sin 1sin 22b A B a ===, 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π=
B .
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412
C ππππ=--=.
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
35.(2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=
2
3
(负值舍掉)，从而求出B=3π。

解：由 cos （A -C ）+cosB=3
2
及B=π-（A+C ） cos （A -C ）-cos （A+C ）=
32
， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32
, sinAsinC=
34
. 又由2
b =a
c 及正弦定理得
2sin sin sin ,B A C =
故2
3sin 4
B =
，
sin B =
或
sin B =（舍去）， 于是 B=
3π 或 B=23
π. 又由 2
b a
c =知a b ≤或c b ≤
所以 B =
3
π。

36.(2009江西卷文）（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6
A π
=
，(12c b =．
（1）求C ；
（2
）若1CB CA ⋅=+u u u r u u u r
a ,
b ，
c ．
解：（1
）由(12c b = 得
1sin 22sin b B
c C
=+= 则有
55sin()
sin
cos cos sin 666sin sin C C C
C
C
π
ππ
π-
--=
=11cot 22C +=+ 得cot 1C = 即4
C π
=
.
（2）
由1CB CA ⋅=u u u v u u u v 推出
cos 1ab C =+；而4
C π
=,
即得
12
ab =+ 则有
12(12sin sin ab c b a c
A C
=+⎪⎪
+=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得
12a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩
37.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B
C A B
+=+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ；
（2
）若3ABC S ∆=,求,a c . 解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，即sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=
+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，
即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得3
C π
=
，所以.23
B A π+=
又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56
B A π-=（舍去） 得5,4
12
A B π
π
=
=
(2)1sin 328
ABC S ac B ∆=
==+， 又
sin sin a c A C =
, 即
=，
得a c ==
38.（2009全国卷Ⅱ理）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2
A C
B -+=，2
b a
c =，求B 。

分析：由3cos()cos 2A C B -+=
，易想到先将()B A C π=-+代入3cos()cos 2
A C
B -+=得3cos()cos()2A
C A C --+=。

然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4
A C =；又由2
b a
c =，利用正弦定理进行边角互化，得2
sin sin sin B A C =
，进而得sin B =.故233
B ππ
=或。

大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=时，由1cos cos()2B A C =-+=-，进而得3
cos()cos()212
A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。

也可利用若2
b a
c =则b a b c ≤≤或从而舍去23
B π
=。

不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

39.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）
已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之
间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122
x ππ
∈，求()f x 的值域.
解（1）由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2.
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2
π
，即T π=，222T ππωπ===
由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126
k πϕπ∴=- 又(0,
),,()2sin(2)266f x x π
ππ
ϕϕ∈∴=
=+故
（2）7[,],2[,]122636x x πππππ
∈∴+∈Q
当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266
x ππ+=
即2
x π=
时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为40.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、
B 、
C 所对的边，且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小：
（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为
2
3
3,求a ＋b 的值。

解（1
2sin c A =
及正弦定理得，
sin sin a A c C ==
sin 0,sin 2
A C ≠∴=
Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3
C π∴=
（2）解法1
：.3
c C π
=
=
Q 由面积公式得
1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得
22222cos
7,73
a b ab a b ab π
+-=+-=即 ②
由②变形得
25,5a b =+=2
（a+b)故 解法2：前同解法1，联立①、②得
2222766
a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨
⎨==⎩⎩＝１３
消去b 并整理得4
2
13360a a -+=解得2
2
49a a ==或 所以23
32
a a
b b ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩或故5a b += 41.(2009湖南卷理)在ABC ∆
，已知2
23AB AC AC BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r ，求角A ，B ，C 的大小.
解：设,,BC a AC b AB c ===
由2AB AC AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u r u u u r 得2cos bc A =，所以cos A =
又(0,),A π∈因此6
A π
=
2
3AB AC BC ⋅=u u r u u u r 得2bc =，于是2sin sin C B A ⋅=
所以5sin sin(
)64C C π⋅-=，1sin (cos )224
C C C ⋅+=，因此
22sin cos 220C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03
C π
-=
由A=6
π
知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而
20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故
2,,,636A B C πππ===或2,,663
A B C πππ
===
42.（2009福建卷文）已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2
πϕ<
（I ）若cos
cos,sin
sin 0,4
4
π
π
ϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

解法一： （I ） 由3cos
cos sin
sin 04
4π
πϕϕ-=得cos cos sin sin 044
ππ
ϕϕ-= 即cos(
)04
π
ϕ+=又||,2
4
π
π
ϕϕ<
∴=
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+
依题意，23T π
= 又2,T π
ω
=
故函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为
()sin 3()4g x x m π⎡
⎤=++⎢⎥⎣
⎦
()g x 是偶函数当且仅当3()4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈
即()312
k m k Z ππ
=
+∈ 从而，最小正实数12
m π=
解法二： （I ）同解法一
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+
依题意，23
T π= 又2T πω
=
，故3,()sin(3)4
f x x π
ω=∴=+
函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤
=++
⎢⎥⎣
⎦
()g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x R ∈恒成立
亦即sin(33)sin(33)44
x m x m π
π
-++
=++对x R ∈恒成立。

sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44x m x m ππ
∴-++-+ sin 3cos(3)cos3sin(3)44
x m x m ππ
=+++ 即2sin 3cos(3)04
x m π
+
=对x R ∈恒成立。

cos(3)04
m π
∴+= 故3()4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈
()312
k m k Z ππ
∴=
+∈ 从而，最小正实数12
m π=
43.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数2()sin(
)2cos 1468
x x
f x ππ
π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3
x ∈时()y g x =的最大值． 解：（Ⅰ）()f x =sin
cos
cos
sin
cos
4
6
4
6
4
x x x π
π
π
π
π
--
3cos 424
x x ππ-
sin(
)43
x π
π
-
故()f x 的最小正周期为T =
24
π
π =8
(Ⅱ)解法一：
在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而
()(2)sin[(2)]43g x f x x π
π
=-=--
sin[
]2
43
x π
π
π
-
-
)43
x ππ
+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4
[0,]3
上的最大值为
max 3
2
g π
==
解法二：
因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3
，且()y g x =与()y f x =的图象关于 x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3
上的最大值 由（Ⅰ）知()f x
sin()43
x π
π
- 当
223x ≤≤时，6436
ππππ
-≤-≤ 因此()y g x =在4
[0,]3
上的最大值为
max 6
2
g π
=
=
. 44.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数2
2
()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23
π
． （Ⅰ）求ω的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间． 解：（Ⅰ）
2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++
sin 2cos 22)24
x x x π
ωωω=++=++
依题意得2223ππω=
，故ω的最小正周期为3
2
.
（Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡
⎤=-++=-+⎢⎥⎣
⎦
由5232()242k x k k Z π
ππ
ππ-
-
+∈≤≤
解得227()34312
k x k k Z ππππ++∈≤≤\
故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312
k k k Z ππ
ππ++∈
45.（2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .
已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =u r
， (sin ,sin )n B A =r ，(2,2)p b a =--u r
.
（1） 若m u r //n r
，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，角ABC 的面积 .
证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即22a b
a b R R
⋅
=⋅
，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = ABC ∴∆为等腰三角形
解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即 a b ab ∴+=
由余弦定理可知， 2
2
2
4()3a b ab a b ab =+-=+-
2()340ab ab --=即
4(1)ab ab ∴==-舍去
11
sin 4sin 223
S ab C π
∴=
=⋅⋅=
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008山东）函数ln cos ()2
2
y x x π
π
=-<<
的图象是 （ ）
答案：A
解析 本题考查复合函数的图象。

ln cos 2
2y x x π
π⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭是偶函数，可排除B,D; 由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A
2.（海南、宁夏理科卷）已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>)在区间[]02π，的图像如下：那么ω＝（ ） A ．1
B ．2
C ．
2
1
D ．
3
1 答案：B
解析 由图象知函数的周期T π=，所以22T
π
ω==
3、（2008广东）已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是
（ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
答案：D
解析 2
2
2
211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224
x
f x x x x x x -=+==
=
4.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32
D. －2，
32
解析 ∵()2
2
1312sin 2sin 2sin 22f x x x x ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭
∴当1sin 2x =时，()max 3
2
f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ； 答案：C
5.（2007福建）已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） y x
2π
1
1 O
A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭
，对称
B ．关于直线x π
=
4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4
⎝⎭
，对称
D ．关于直线x π
=
3
对称 答案 A
6.（2007广东）若函数2
1
()sin ()2
f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为
π
2
的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
答案D
7.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭在区间ππ2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的简图是（ ）
答案 A
8.（2007浙江）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ）
A ．126
ωϕπ
==， B ．123
ωϕπ=
=， C ．26
ωϕπ
==，
D ．23
ωϕπ
==，
答案 D
9.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π=x 处取得最小值，则
函数)4
3(
x f y -=π
是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(
π
对称
C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 答案 D
10.（2006年安徽卷）设0a >，对于函数， 下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 答案B
11.（2005全国卷Ⅰ）（6）当2
0π
<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为
A.2
B.32
C.4
D.34
答案 C
二、填空题
12.（2008江苏卷）()cos()6
f x wx π
=-的最小正周期为
5
π
，其中0w >，则w = 答案：10
解析 本小题考查三角函数的周期公式。

2105
T w w ππ
=
=⇒= 13.（广东理科卷）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 答案：π
解析 2
1cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x x -=-=
-,所以函数的最小正周期22
T π
π==。

14.（2007安徽）函数π()3sin 23f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．
）． ①图象C 关于直线11
π12
x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C 答案 ①②③
15.（2007四川）下面有五个命题： ①函数y =sin 4
x -cos 4
x 的最小正周期是π.
()sin (0)sin x a f x x x
π+=<<
②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =
Z k k ∈π
,2
｝. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36
)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+= ⑤函数.0)2
sin(〕上是减函数，在〔ππ
-
=x y 其中真命题的序号是 答案 ① ④
三、解答题
16.（2008山东）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π （Ⅰ）求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x ＝⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+-+)cos(21
)sin(232ϕωϕωx x
＝2sin(ϕω+x -
6
π) 因为f (x )为偶函数，
所以对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，
因此sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6
π
),
整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为ω＞0，且x ∈R ,所以cos （ϕ-6
π
）＝0.
又因为0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以f (x )＝2sin(x ω+2
π
)=2cos x ω.
由题意得222
ππ
ω=⋅，所以2ω　＝ 故 f (x )=2cos2x . 因为 .24
cos
2)8
(==π
πf。