北师大版数学高二-选修4-1 第1章1.2.5课时作业

选修4-1 第1章1.2.5课时作业
一、选择题
1．如图1－2－90，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为()
图1－2－90
A．5.5B．5
C．6 D．6.5
【解析】由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，
∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，
∴PD＝AP·BP
CP ＝4×6
3
＝8，
∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.
【答案】 A
2．如图1－2－91所示，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是()
图1－2－91
A．PC·CA＝PB·BD
B．CE·AE＝BE·ED
C．CE·CD＝BE·BA
D．PB·PD＝PC·PA
【解析】由切割线定理的推论知PB·PD＝PC·PA，故选项D正确．
【答案】 D
3．如图1－2－92所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝12，AP∶PB＝1∶5，⊙O的半径为()
图1－2－92
A．2 3 B．4
C.185
5D．2 6
【解析】由题意知CP＝PD＝6，
由相交弦定理知，CP2＝AP·PB＝5AP2，
∴CP＝5AP，
∴AP＝6
55，
∴AB＝6AP＝36
55，
∴⊙O的半径R＝18
5 5.
【答案】 C
4．如图1－2－93所示，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC中点，直线BE 交⊙O于点F，若⊙O的半径为2，则BF的长为()
图1－2－93
A.
3
2 B.
2
2
C.65
5 D.
45
5
【解析】由题意知BD＝22，则CD＝BC＝2DE＝2CE＝2.
∴BE·EF＝1，
又BE＝BC2＋CE2＝22＋12＝5，
∴EF＝5
5
，
∴BF＝5＋5
5＝65
5.
【答案】 C
二、填空题
5．(2013·湖北高考)如图1－2－94，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，
点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则CE
EO的值为________．
图1－2－94
【解析】设圆O的直径AB＝2R，则AD＝2R
3
，DO＝R
3
，DB＝4R
3.
由相交弦定理，得CD2＝AD·DB，所以CD＝22
3R.
在Rt△CDO中，CO＝R，由射影定理可得EO＝DO2
CO ＝R 9
，
于是CE＝R－R
9＝8R
9
，故CE
EO
＝8.
【答案】8
6．如图1－2－95所示，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD ⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.
图1－2－95
【解析】连接OC，由切割线定理知PC2＝PA·PB，
即42＝8PA ，∴PA ＝2，
∴AB ＝PB －PA ＝8－2＝6， ∴OA ＝OC ＝3， ∴OP ＝3＋2＝5，
在Rt △OCP 中，CE ⊥OP ， ∴OC 2＝OE ·OP ， 即32＝5OE ， ∴OE ＝95， ∴BE ＝3＋95＝24
5， AE ＝3－95＝6
5，
∴CE 2＝BE ·AE ＝245×65＝144
25， ∴CE ＝125， ∴CD ＝24
5. 【答案】 24
5 三、解答题
7．如图1－2－96所示，A 为⊙O 上一点，⊙A 和⊙O 相交于C ，D ，两圆的连心线交⊙A 于E ，F ，交⊙O 于A ，B ，交CD 于G .
图1－2－96
求证：AG·BG＝EG·FG.
【证明】由相交弦定理得
AG·BG＝CG·GD，CG·GD＝EG·FG，
∴AG·BG＝EG·FG.
8．如图1－2－97，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N.
图1－2－97
(1)求证：AE2＝BN·EN；
(2)如果AD经过圆心O，且AE＝EC，求∠AFC的度数．
【解】(1)证明∵AEF，ABC分别是小圆的切线和割线．
∴AE2＝AB·AC，如图，连接OA、OD，作OH⊥AD于H，则AH＝DH，BH ＝CH.
∴AB＝CD.又BC＝BC，
∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.
同理可证：BM＝EN，由相交弦定理，得AB·BD＝BM·BN.
∴AB·AC＝EN·BN，
可得AE2＝BN·EN.
(2)如图，连接OE，有OE⊥AF于E，AE＝EF＝EC，
则∠ACF＝90°.
因AD过圆心O，故FC是圆的切线，
∴FC＝EF＝EC，
∴∠AFC＝60°.
9．如图1－2－98，BC是半圆的直径，D、E是半圆上的两点，且过C作半圆的切线，与BE的延长线相交于F，BE与CD相交于G，CE、BD的延长线相交于A，连接DE.
图1－2－98
(1)求证：AB＝BC；
(2)如果DG∶GE＝3∶5，BG＝3k，试用含k的代数式表示AC.
【解】(1)证明：，∠ABE＝∠CBE.
∴BC是半圆的直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE.
∴AB＝BC.
(2)∵BC是半圆的直径，
∴∠GEC＝∠FEC＝90°.
∵CF是切线，
∴∠GCE＝∠CBE＝∠FCE.
又∵CE＝CE，
∴△CEG≌△CEF.
∴CG＝CF，EF＝EG.
由相交弦定理可得：DG·GC＝BG·GE，
∴BG CG ＝DG
GE
＝3
5
.
由BG＝3k，得CG＝5k，∴CF＝5k.
∵CF是半圆的切线，由切割线定理得，
∴CF2＝EF·FB.
设EF＝EG＝x，则(5k)2＝x(x＋x＋3k)．
解得x1＝k，x2＝－5
2k(舍去)．
∴EF＝k.
∴AC＝2EC＝2FC2－EF2
＝2(5k)2－k2＝4k.
10．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA＝23，∠APB＝30°，则AE＝________.
【解析】根据已知可得，在Rt△PAO中，AO＝AP tan 30°＝2.故OD＝1，且∠AOD＝120°.在△AOD中，
根据余弦定理可得AD＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7.
又根据相交弦定理得CD×DB＝AD×DE，即1×3＝7×DE，所以DE＝
37 7，所以AE＝107
7.
107【答案】
7。