2020版高考数学(鲁京津琼)新增分大一轮讲义：第四章4.3三角函数的图象与性质Word版含解析

§4.3 三角函数的图象与性质
最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴交点等)．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭
⎫3π2，－1，(2π，0)．
(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭
⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )
概念方法微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )；
(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π
3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编
2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的最小正周期是． 答案 π
3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的值域是． 答案 ⎣⎡⎦
⎤－3
2，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π
6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－1
2，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3
2，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－3
2，3. 4．函数y ＝－tan ⎝
⎛⎭⎫2x －3π
4的单调递减区间为．
⎝8282解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π
2＋k π(k ∈Z )，
得π8＋k π2<x <5π8＋k π
2
(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝
⎛⎭⎫2x －3π
4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭
⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．
题组三 易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π
3对称的是( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3 答案 B
解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π
2＝π， 又sin ⎝⎛⎭
⎫2×π3－π
6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π
3对称． 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5
12π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π
3－2x ＝－4sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3. 所以要求f (x )的单调递减区间，
只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，得
－π12＋k π≤x ≤5
12π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是
⎣⎦
12127．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是． 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°＝cos22°，
又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin68°>cos23°>cos97°.
题型一 三角函数的定义域
1．函数f (x )＝－2tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠k π＋π
6(k ∈Z ) D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≠k π2＋π
6(k ∈Z ) 答案 D
解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π
6(k ∈Z )，故选D.
2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为． 答案 ⎣
⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π
4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数
的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z .
方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋
cos x －1
2
的定义域为．
答案 ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪
2k π<x ≤2k π＋π
3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧
sin x >0，
cos x －1
2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
sin x >0，
cos x ≥12，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π
3＋2k π，k ∈Z ，
所以2k π<x ≤π
3
＋2k π(k ∈Z )，
所以函数的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
2k π<x ≤2k π＋π
3，k ∈Z . 思维升华三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
题型二 三角函数的值域(最值)
例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A
解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，
所以－
3
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.
所以y max ＋y min ＝2－ 3.
(2)函数y ＝cos2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.⎣⎡⎦⎤－3
2，3 C.⎣⎡⎦⎤－3
2，－1 D.⎣⎡⎦⎤32，3
答案 B
解析 y ＝cos2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－3
2，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦
⎤－3
2，3. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1
2，1，则实数a 的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤
π3，π
解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π
6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π
6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π
6，
∴π
3
≤a ≤π. (2)(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为． 答案 ⎣⎡⎦
⎤－1
2－2，1
解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t
22
，且－2≤t ≤ 2.
∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－1
2(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．
当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1
2－ 2.
∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1
2－2，1. 题型三 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π
3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3
解析 由题意得1<π
k <2，k ∈N ，
∴π
2<k <π，k ∈N ， ∴k ＝2或3.
(2)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π
6，0，则ω的最小值为___________． 答案 2
解析 由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，
∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.
思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．
②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正
周期为π
|ω|
.
跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图象( ) A ．关于原点对称
B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π
6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π
6对称
答案 B
解析 ∵当x ＝－π
6时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋π3＝0， ∴函数图象关于点⎝⎛⎭
⎫－π
6，0对称． (2)若直线x ＝54π和x ＝9
4π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可
能取值为( ) A.34πB.π2C.π3D.π
4 答案 A
解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .当k ＝2时，可得φ＝3
4π.
题型四 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π
3的单调递减区间为． 答案 ⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π
3 ＝－sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12，k ∈Z .
故所求函数的单调递减区间为
⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的单调递增区间是． 答案 ⎝⎛⎭⎫
k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π2－5π12<x <k π2＋π
12
(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭
⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．
(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是． 答案 ⎣⎡⎦
⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋3
2cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π
6
(k ∈Z )．
∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π
6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π
6. 命题点2 根据单调性求参数
例4已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π
2，π上单调递减，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤
12，54
解析 由π
2<x <π，ω>0，得
ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4
， 又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣
⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π
2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧
ωπ2＋π4≥π
2
＋2k π，ωπ＋π4≤3π
2＋2k π，
k ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4
，k ∈Z .
又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋5
4>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π
2，π上单调递增，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤
32，74
解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧
ωπ2＋π
4
≥－π＋2k π，ωπ＋π
4≤2k π，
k ∈Z ，
解得4k －52≤ω≤2k －1
4
，k ∈Z ，
又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －1
4>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤
32，74.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π
4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π
8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π
8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π
8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π
8＋k π(k ∈Z ) 答案 D
解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π
8
＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区
间为⎣⎡⎦
⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·武汉联考)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣
⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是．
答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24
解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2
(k ∈Z )，可得 k π－π3≤x ≤k π＋π6
(k ∈Z )， ∴g (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣
⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3≤π6，4a ≥2π3，
4a <7π6，解得π6≤a <7π24
.
三角函数的图象与性质
纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
例(1)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
答案 A
解析 ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；
②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；
③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2
＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2
，故选A. (2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3
对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6
D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减
答案 D
解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确； B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3
(k ∈Z )， 所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3
对称，B 项正确； C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6
， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6
，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣
⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭
⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误． 故选D.
(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为．
答案 ⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，。