2021-2022学年重庆市第八中学初二数学第一学期期末试卷及解析

2021-2022学年重庆市第八中学初二数学第一学期期末试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≠﹣1 D．x＝﹣1
3．（4分）已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A关于x轴对称的点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
4．（4分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．x2+2x+1＝（x+1）2
B．12a2b＝3a•4ab
C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，则A'C 的长度为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）下列各点中，不在一次函数y＝x﹣2的图象上的是（）
A．（2，0）B．（1，1）C．（﹣2，﹣4）D．
7．（4分）一组数据：2，0，4，﹣2，这组数据的方差是（）
A．0 B．1 C．5 D．20
8．（4分）若方程组的解满足2x+y＞0，则k的值可能为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（4分）小明从家出发匀速去学校，5分钟后妈妈出门匀速去单位上班，已知小明家、学校、单位三个
地点按顺序在同一条直线上，两人离家的距离y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分），则下列说法正确的是．（多选题）
A．小明的速度为40米/分
B．妈妈的速度比小明更快
C．妈妈与小明在步行过程中相遇了2次
D．当妈妈出门时，小明和妈妈的距离是200米
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，连接AD，若AF＝AD（）
A．50°B．40°C．30°D．20°
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）将直线y＝2x向上平移1个单位后的直线的表达式为．
12．（4分）函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，1），则方程ax＝kx+b的解为．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC沿BC方向平移2cm到△DEF，则△GEC 的面积为cm2．
14．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝6，且四边形ABCD的面积为49．
三、解答题：（本大题5个小题，15-17题，每题8分，18-19题每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
15．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
16．（8分）为进一步加强学生对“垃圾分类知识”的重视程度，某中学初一、初二年级组织了“垃圾分类知识”比赛，现从初一、初二年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），请根据图中的信息解答下列问题．初一年级10名学生的成绩是：69，78，96，68，95，100，85
初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87
初一、初二年级抽取学生比赛成绩统计表
年级平均数中位数众数
初一年级84 85.5 c
初二年级84 b92
（1）b+c的值为．
（2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）若两个年级共有400人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生共有多少人？
17．（8分）临近春节，将进入年货物流高峰期，某物流公司计划购买A、B两种型号的智能快递车搬运年货，且4台A型快递车每小时搬运的年货与5台B型快递车每小时搬运的年货数量相同．
（1）求A、B两种型号的快递车每小时分别搬运多少年货？
（2）该物流公司计划采购A、B两种型号的快递车共10台，其中A型快递车a台，要求每小时搬运的年货不少于920kg
18．（10分）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
19．（10分）已知直线l1与x轴交于点A（﹣，0），与y轴相交于点B（0，﹣3），直线l2：y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l2上是否存在一点E，使得S△ADE＝S△CBD，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
四、选择题与填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
20．（4分）如图，平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边△ABC，连接DC交直线l于点E．则点E的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
21．（4分）若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组，则符合条件的整数m的值可以为．（多选题）
A．9
B．10
C．11
D．12
22．（4分）分解因式2a4﹣18a2＝．
23．（4分）如图，△ABC是等边三角形，E是AC的中点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，若AF的最小值为+1．
24．（4分）成成和昊昊分别解答完成了20道数学试题，若答对了一题可以加上一个两位数的分数，答错了一题则要减去另一个两位数的分数，成成得了333分，昊昊得了46分，答错一题时应减去的分数为分．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）
25．（10分）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）2，则这个方格纸的面积等于cm2；
（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有个；
（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，E的位置，请先画一个△DEF，EF 的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．
26．（10分）如图1，已知直线AB的解析式为y＝kx+2（k＞0），且△AOB的面积为，点C与点B关于x轴对称．
（1）求k和b的值；
（2）如图1，点E、F分别为直线AB和x轴上的动点，当OE+EF+CF的值最小时，及OE+EF+CF的值；
（3）如图2，将△AOB绕着点C旋转α（0°＜α＜180°），得到△A'O'B'，当△AMN是以AM为底的等腰
三角形时，请直接写出线段AM的长度．
27．（10分）△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，点G为AB延长线上一点，GC．（1）如图1，若BG＝2，AC＝4；
（2）如图2，点E是BC反向延长线上一点，连接DE，若∠DCG＝60°，CD＝DE，CG，DC的数量关系；
（3）如图3，点M是AC的中点，将△ABC沿直线DM折叠，连接DC，若AC＝4，求△CQD的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．【解答】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；
故选：B．
2．【解答】解：由题意，得
x+1≠0，
解得x≠﹣4，
故选：C．
3．【解答】解：∵点A的坐标为（2，﹣1），
∴点A关于x轴对称的点的坐标为（8，1）．
故选：B．
4．【解答】解：A．x2+2x+6＝（x+1）2，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B．12a7b＝3a•4ab，等式的左边不是多项式，故本选项不合题意；
C．x3﹣9+8x＝（x+6）（x﹣3）+8x，等式的右边不是几个整式的积的形式，故本选项不合题意；
D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣5，是整式乘法，故本选项不合题意；
故选：A．
5．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
由旋转可知：A′B＝AB＝4，B′C＝BC＝4，
∴A'C＝A′B﹣BC′＝5﹣5＝1．
故选：A．
6．【解答】解：∵一次函数图象上的点都在函数图象上，
∴函数图象上的点都满足函数的解析式y＝x﹣2；
A、当x＝2时，故本选项正确；
B、当x＝6时，故本选项错误；
C、当x＝﹣2时，故本选项正确；
D、当x＝时，故本选项正确．
故选：B．
7．【解答】解：平均数＝（2+0+8﹣2）÷4＝3，
方差＝[（2﹣1）2+（0﹣1）7+（4﹣1）2+（﹣2﹣1）4]÷4＝5．
故选：C．
8．【解答】解：，
①+②，得：2x+y＝3k﹣4，
∵2x+y＞0，
∴5k﹣3＞0，
解得：k＞6，
故选：D．
9．【解答】解：由题意结合图象可知，小明的速度为200÷5＝40（米/分）；
由题意结合图象可知，妈妈的速度比小明更快）；
由题意结合图象可知，妈妈与小明在步行过程中相遇了1次；
由题意结合图象可知，当妈妈出门时，故选项D说法正确；
故答案为：AD．
10．【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠DF A＝30°+α，
∴90°﹣α＝30°+α，
解得α＝40°；
故选：B．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x向上平移1个单位后的直线的表达式为：y＝7x+1．故答案为：y＝2x+3．
12．【解答】解：y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，1），由图象得：方程ax＝kx+b的解为x＝﹣5．
故答案为x＝﹣2．
13．【解答】解：作GH⊥BC于H，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
由平移可知，GE∥AB，
∴∠EGC＝∠BAC＝120°，∠GEC＝∠B＝∠C＝30°，
∴GE＝CE，
∵GH⊥BC，
∴∠EGH＝∠CGH＝60°，EH＝CH，
由平移可得BE＝2cm，
∴EC＝BC﹣BE＝4cm，
∴EH＝CH＝8cm，
∴GH＝CH＝，
∴S△GEC＝EC•GH＝＝cm2．
故答案为：．
14．【解答】解：∵∠D＝∠ACB90°，AD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴S△ADC＝AD•CD＝，
∵四边形ABCD的面积为49，
∴S△ACB＝AC•BC＝，
∴BC＝5，
∴AB＝＝＝2，
故答案为：5．
三、解答题：（本大题5个小题，15-17题，每题8分，18-19题每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
15．【解答】解：（1），
①+②，得：6x＝5，
解得x＝，
将x＝代入①+y＝4，
解得y＝，
∴；
（2）解不等式﹣1≥8x，
解不等式x+1≥3x﹣4，得：x≤3，
则不等式组的解集为2≤x≤3．
16．【解答】解：（1）初二年级A、B组人数和为10×（10%+20%）＝3（人），
∴其中位数b＝＝87，
初一年级成绩的众数c＝86，
所以b+c＝87+86＝173，
故答案为：173；
（2）根据以上数据，该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，
理由：两个年级的平均数一样，但是初二年级学生的中位数高于初一年级，
故该校初二年级学生掌握垃圾分类知识较好；
（3）估计参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生共有400×＝140（人）．
17．【解答】解：（1）设B型号的智能快递车每小时搬运x kg年货，
依题意得：4（x+20）＝5x，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A型号的智能快递车每小时搬，100kg年货；
（2）设A型快递车a台，则B型号快递车为（10﹣a）台，
根据题意得：100a+80（10﹣a）≥920，
解得：a≥2，
答：至少购进A型快递车6台．
18．【解答】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），
∴5EO+EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF+FM＝15m
又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，
所以MN＝15﹣13＝5（m）．
答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
19．【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣，0），﹣3）分别代入得，
解得，
∴直线l4的解析式为y＝﹣4x﹣3；
（2）存在．
当x＝2时，y＝﹣，则C（7；
当y＝0时，﹣x+3＝0，则D（6，
∴S△CBD＝×2×6＝18，
∴S△ADE＝S△CBD＝×18＝27，
设E点坐标为（t，﹣t+3），
∴×（6+t+3|＝27，
解得t＝﹣10或t＝22，
∴E点坐标为（﹣10，8）或（22．
四、选择题与填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
20．【解答】解：y＝﹣x+2①，
令x＝0，则y＝2，则x＝2，
故点A、B的坐标分别为：（0，2），0），
即OB＝7，AO＝2，则AB＝4＝BC，
tan∠ABO＝＝，故∠ABO＝60°，
而△ABC为等边三角形，则BC与x轴的夹角为180°﹣∠ABC﹣∠ABO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则y C＝BC sin60°＝4×＝2，
x C＝x B+BC cos60°＝2+4×＝4，
故点C（6，2），
同理可得点D的坐标为：（﹣6，），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，则，解得：，
故直线CD的表达式为：y＝x+②，
联立①②并解得：x＝，y＝，
故点E的坐标为：（，），
故选：A．
21．【解答】解：解不等式组得：﹣3≤x＜﹣2+m，∵实数m使关于x的不等式组恰有7个整数解，∴0＜﹣2+m≤1，
解得：8＜m≤12，
∵m为整数，
∴m为9，10，12，
解方程组得：，
∵方程组有整数解，
∴m只能为9或12，
故答案为：AD．
22．【解答】解：2a4﹣18a5
＝2a2（a4﹣9）
＝2a6（a+3）（a﹣3），
故答案为：8a2（a+3）（a﹣6）．
23．【解答】解：如图，连接BE，使EN＝BE，
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴点N在与AN成30°的直线上运动，
∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，
∴AF'＝AN，
∴+1＝AE），
∴AE＝6，
∴AC＝4，
∴△ABC的面积为×42＝2，
故答案为：4．
24．【解答】解：设成成答对了x道，昊昊答对y道，答错减b分ax﹣b（20﹣x）＝333（1），
ay﹣b（20﹣y）＝46（2），
（1）﹣（2）得，
（a+b）（x﹣y）＝287＝41×7，
∵x﹣y≤20，
∴a+b＝41，x﹣y＝7，
代入（2）得41y﹣20b＝46，（3）
∴20b＝41y﹣46，
∵b，y都是整数，46的末位数相同．
∴y＝3，16（当y＝16时，舍去）
∴x＝13，y＝6将它们代入（3）得b＝10，
故答错一题时应减去的分数为10，
故答案为：10．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）25．【解答】解：（1）设这个方格纸小正方形的边长为acm，
∴S△ABC＝3a×3a﹣a×2a﹣×2a×3a＝a2，
∴a2＝7，
解得a＝（负值舍去），
∴这个方格纸的面积等于6×67．
故答案为：72；
（2）如图，过点C作AB的平行线，M′，M″，
∴满足条件的点M有3个．
故答案为：3；
（3）如图，△DEF和△D'E'F'即为所求．
26．【解答】解：（1）∵直线AB的解析式为y＝kx+2（k＞0）．令x＝3，则y＝2，
∴B（0，2）.0B＝2．
∵△AOB的面积为，
∴S△AOB＝OA•OB＝，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，0），
∴﹣2k+2＝0，
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0．﹣3）．
∴b＝﹣2．
∴k＝，b＝﹣2；
（2）如图，作O关于AB的对称点S．交AB于E．则OE＝SE，∴OE+EF+CF＝SE+EF+FC＝SC，此时OE+EF+CF最短，
记SO、AB的交点为J，过S作SQ⊥y轴于Q，
∵OB＝2，OA＝4，
∴OJ＝＝＝，
由对称的性质可得：SO＝2SJ＝2．J为SO中点，
∴JO＝JS＝JQ＝．
∵JK⊥OQ．SQ⊥OQ．
∴OK＝QK，
由勾股定理可得：BJ＝＝4，
同理利用等面积法可得：JK＝，
∴OK＝，OQ＝3，
∴SQ＝，
∴S（﹣，3），
∴CQ＝8+2＝5，
∴SC＝＝2，
所以此时OE+EF+CF的值为2．
设SC为y＝mx+n，
∴，
得：，
所以SC为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，0＝﹣，
解得：x＝﹣，
∴此时点F的坐标为（﹣，4）；
（3）如图，C、A旋转到CA′，
∴∠AOC＝∠A′O′C＝90°，
∵A（﹣2，2），2）．﹣2）．
∴AB＝8，AC＝4，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAO＝∠CAO＝30°，∵△AMN是以AM为底的等腰三角形，
∴AN＝MN，
∴∠NAM＝∠NMA＝30°．∠ANM＝120°，
延长CO′交x轴于K，而∠KMO'＝∠NMA＝30°，
∴OK：OC：CK﹣1：：2：6．
∴OK＝＝，CK＝，
∵CO＝CO′＝2，
∴O′K＝﹣2，
∴MK＝7O′K＝﹣4，
∴OM＝﹣+4＝5﹣2，
∴AM＝5+4﹣3．
27．【解答】解：（1）过C作CF⊥AB于F，如图：
∵△ABC为等边三角形，AC＝4，
∴∠A＝60°，AB＝AC＝4，
在Rt△AFC中，AF＝，CF＝，
∵BF＝AB﹣AF＝2，
∵BG＝6，
∴FG＝BF+BG＝4，
在Rt△CFG中，CG＝＝，答：GC的长是2；
（2）猜想：CG＝EG+DC，证明如下：
在CG上取点H，使CH＝CD，如图：
∵∠DCG＝60°，CH＝CD，
∴△CDH是等边三角形，
∴DH＝CD，∠DHC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°＝∠DHC，
∵∠BKD＝∠HKC，
∴∠BDK＝∠HCK，
∵CD＝DE，
∴DH＝DE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠HCK＝60°﹣∠DCE＝60°﹣∠DEC＝∠EDB，
∴∠BDK＝∠EDB，即∠GDH＝∠GDE，
∴△GDH≌△GDE（SAS），
∴EG＝HG，
∵CG＝HG+CH，
∴CG＝EG+DC；
（3）过C作CN⊥AB于N，过M作MT⊥DQ于T，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AC＝7，点M是AC的中点，
∴AN＝AC＝5AN＝2AC＝7，
∵CD＝，
∴DN＝＝8，
∴AD＝AN+DN＝3，
∵△ABC沿直线DM折叠，点A恰好落在CG上的点Q，∴QD＝AD＝3，QM＝AM＝2，
在Rt△QMT中，QT ＝，MT ＝，
∴DT＝QD﹣QT＝2，
在Rt△DMT中，DM ＝＝＝，
∵CM＝QM＝2，
∴∠MCQ＝∠MQC ＝，
∵△ABC沿直线DM折叠，点A恰好落在CG上的点Q，
∴∠AMD＝∠DMQ ＝，
∴∠AMD＝∠MCQ，
∴DM∥CG，
∴2S△QMD＝QD•MT＝DM•MR，且S△CQD＝S△CQM
∴MR ＝＝＝，
在Rt△MCR中，CR ＝＝＝，∴CQ＝2CR ＝，
∴△CQD 的面积为CQ•MR ＝××＝，
答：△CQD 的面积为．
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