高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题 第四周 星期四 Word版含解析

星期四 (数列问题) 2017年____月____日

已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3(n ∈N *)，

且a 1，a 2，a 7依次是等比数列{b n }的前三项.

(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；

(2)是否存在常数a ＞0且a ≠1，使得数列{a n －log a b n }(n ∈N *)是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

解 (1)n ＝1时，8a 1＝a 21＋4a 1＋3，a 1＝1或a 1＝3.

当n ≥2时，8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3，

a n ＝S n －S n －1＝18(a 2n ＋4a n －a 2n －1－4a n －1)，

从而(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0

因为{a n }各项均为正数，所以a n －a n －1＝4.

所以，当a 1＝1时，a n ＝4n －3；当a 1＝3时，a n ＝4n －1. 又因为当a 1＝1时，a 1，a 2，a 7分别为1，5，25，构成等比数列， 所以a n ＝4n －3，b n ＝5n －1.

当a 1＝3时，a 1，a 2，a 7分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去.

(2)存在满足条件的a ，理由如下：

由(1)知，a n ＝4n －3，b n ＝5n －1，从而

a n －log a

b n ＝4n －3－log a 5n －1＝4n －3－(n －1)·log a 5＝(4－log a 5)n －3＋log a 5.

由题意，得4－log a 5＝0，所以a ＝45.