第二节不等式和不等式组

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第二节不等式和不等式组

（一）一元一次不等式（组）及其解法（二）一元二次不等式

求解一元二次不等式时借助二次函数图象最为简便，做法是先确定二次项系数正负号，其次再研究判别式∆。二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系表：二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先化成二次项系数是正数的不等式，再求它的解集

一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与

2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.

（三）含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

2x a x a a x a <⇔<⇔-<<.

22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.

【真题分析】

例1（1998）要使方程()()

223520x m x m m +-+--=的两个根分别满足

101x <<和112x <<，实数m 的取值范围是

()21A m -<<- （B ）41m -<<- ()42C m -<<- 165

()

D m --<<- ()31

E m -<< 例2（2007）设01x <<，则不等式22

11x x ->-的解是（） 1()02A x <<

()

B x << 2()03

C x <<

2()13

D x <<

例3（2001）已知2

250x x c -++≥的解为1

x -

≤≤，则c 为（） ()A 1/3 (B) 3 (C) —1/3 (D) —3

例4（2005）满足不等式()()4630x x +++>的所有实数x 的集合是（）

[)()4,A +∞ ()()4,B +∞ （C ）(],2-∞- ()(),1D -∞- ()(),E -∞+∞

例5（2006）已知不等式2

220ax x ++>的解集是11,

32⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，则a =（）

（A ）—12 （B ）6 （C ）0 （D ）12 （E ）以上结论均不对

例6（2008）一元二次函数()1x x -的最大值为

（ A ）0.05 (B) 0.01 (C) 0.15 (D) 0.20 (E) 0.25

例7（2008）若方程2

0x px q ++=的一个根是另一个根的2倍，则p 和q 应满足

2()4A p q = 2()29B p q = 2()49C p p =

2()23D p q = （E ）以上结论均不对

例8 （2001）已知关于一元二次方程()22

2110k x k x -++=有两个相异实根，则k 的取值

范围是（）

1()4A k >

1()4B k ≥ 1()04C k k >-≠且 1

()04

D k k ≥-≠且

例9（1998）一元二次不等式()2

3400x ax a a -+<<的解集是

()

3a A x a << ()3a B x a x ><或 ()3a C a x << ()3a

D x x a ><或 ()3

E a x a <<

例10（1999）不等式(

)(

)

420x x ---≥的解是

()22A x x ≥≤-或 ()22B x -≤≤ ()33C x x <->或 ()22D x -<<

【本章典型例题】

【题型一】：韦达定理的变形及应用

设12,,x x 是一元二次方程2

0(0),(0)a bx c a a ++=≠≠的两个根，则

1212,.b c

x x x x a a

+=-⋅=这类题一般是给出一个一元二次方程，要求不解方程求有关两根

代数式的值。

第二节 不等式和不等式组

第二节不等式和不等式组