人教版九年级下册数学解直角三角形及其应用复习教案

b c
a
A C
B 解直角三角形及其应用复习教案
学生 学校
年级 初三
次数
科目
数学
教师
日期
时段
课题 锐角三角函数(2)
教学重点 1、 解直角三角形及其应用
2、 先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题 教学难点 1、 解直角三角形及其应用
2、 把实际问题转化为解直角三角形的数学问题
教学
目标 1、建构解直角三角形的知识网络体系,理清各知识点之间的关系。

2、加深对概念的理解,在强化练习中抽取解题规律。

3、进一步培养运用解直角三角形知识分析问题、解决问题的能力. 教学内容 一、课堂前准备 二、内容讲解
1、知识点掌握；
2、习题练习与巩固。

三、课堂总结与反思
四、作业布置
1、安排具有代表性的题目学生回家后巩固练习。

【新课知识讲解及巩固】
一、考标要求：
1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。

2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。

3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。

会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。

二、考点梳理：
1、三角函数的定义： 在Rt △ABC 中，∠C=90°
∠A 的正弦：sinA= ， ∠A 的余弦：cosA = ，
∠A 的正切：tanA = 。

2、特殊角的三角函数值
0<sin α<1, 0<cos α<1, tan α>0
3、锐角三角函数之间的关系式： 在Rt △ABC 中，∠C=90°
（1）互余关系：sinA cosB ，cosA sinB ；
（2）平方关系：A con A 22sin += ；
（3）倒数关系：tanA ·tanB= ；
4、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。

三、考点探视：
三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。

◆典例精析：
例1 45cos 45sin +的值等于（ ）
A. 2
B. 2
1
3+ C. 3 D. 1
例2 Rt ABC △中，∠C ＝900，AB ＝5,sinA=3
5
,则AC ＝ 。

例3 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 等于AB 边上的中线的3
2
，求sinB 的值。

例4 小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上
的影长为2米，则树的高度为【 】
A. ()+63米
B. 12米
C. ()+423米
D. 10米
三角函数 sin α cos α tan α
︒
30
︒
45
︒
60
∠α
30°
◆反馈检测： 一、选择题：
1、如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ） A. 5 B.
552 C. 55 D.3
2
第1题图 第2题图 第3题图 2、如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为E ，3
sin 5
A =，则下 列结论正确的有（ ）
①6cm DE = ②2cm BE = ③菱形面积为260cm
④410cm BD =
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3、如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为α，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A ．sin A 的值越大，梯子越陡
B ．cos A 的值越大，梯子越陡
C ．tan A 的值越小，梯子越陡
D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关
4、如图所示，CD 是一个平面镜，光线从A 点射出经CD 上的E 点反射后照射到B 点，设入射角为ａ(入射角等于反射角)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ．若AC =3，BD =6,CD =12,则tan ａ的值为 （ ）
A ． 34 B. 43 C. 5
4 D. 53
二、填空题：
5、若30α=∠，则α∠的余角是 °，cos α= ．
6、在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则
t an A = ．
7、计算
45tan 30
cos 60sin -的值是 。

8、已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin∠A = ． 9、在Rt ΔABC 中，∠C ＝900，BC ：AC ＝3：4．则cosA ＝_______． 10、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是圆上的 两点（不与A 、B 重合），已知BC ＝2，
tan ∠ADC ＝5
4
，则AB ＝__________．
D
C B E
A A B
C
D
O
α
11、已知Rt ABC △中，90C =∠，6AC =，8BC =，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D 处，折痕交另一直角边于E ，交斜边于F ，则tan CDE ∠的值为 ． 三、解答题： 12、计算：
(1) 2sin450＋cos300·tan600—2)3(-； （2）
13、如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，
(1) 求证：AC=BD ；(2)若12
sin 13
C =，BC =12，求A
D 的长．
14. 如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离（B 、F 、C 在一条直线上） ⑴求教学楼AB 的高度；
⑵学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离（结果保留整数）.
（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈2
5
）
10
1201043tan 603-⎛⎫-+--︒
⎪⎝
⎭
解直角三角形
【基础知识回顾】
一、解直角三角形：
1、定义：在直角三角形中，除直角外，一共有个元素，即条边和个锐角，由直角三角形中除直角外的求出所有的过程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的解法：
直角三角形解法按直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：
①已知一条直角边和一个锐角（如a，∠Ａ）其解法为：∠Ｂ＝90°-∠Ａ，
c2＝；
②已知斜边和一个锐角（如c，∠Ａ）其解法为：∠Ｂ＝90°-∠Ａ，a＝；
③已知两直角边（如a，b），其解法为：c2＝a2+ b2，tanA= ；
④已知斜边和一直角边（如c，a），其解法为: b2= c2- a2,sinA= 。

二、与解直角三角形有关的名词、术语
1、视角：视线与水平线的夹角叫视角，从下向上看，叫做，从上往下看，叫做。

2、方位角：目标方向线与正北方向线时的夹角。

3、坡度、坡角：坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比叫做（或坡比），记作；坡面与水平面的夹角叫做。

【重点考点例析】
考点一：化斜三角形为直角三角形
例1如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，
AC=23，求AB的长．
对应训练：1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，
求△ABC的周长．（结果保留根号）
考点二：解直角三角形的应用
例2黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如
图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如
图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，
CD=32千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛
的周长和面积；（结果保留整数，参考数据
2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）；（2）求∠ACD的余弦值．
对应训练：2、超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上
周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如
图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这
时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）
例3如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的
夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而
当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角
C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离
（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈3
8
，cos22°≈
15
16
，tan22°≈
2
5
）
【作业布置】课后巩固练习
课后作业：（1-8题每题10分，共80分；9题每题20分，共20分，总共100分；60分钟）.
一、选择题
1、在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米
2、如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，
则应水坡面AB的长度是（）
A ．100m
B ．1003m
C ．150m
D ．503m
3、如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ） A ． 10
米
B ． 10米
C ． 20
米
D ．
米
二、解答题
4、如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角∠BAE=45°，坝高
BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A 处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF 的坡角∠F=30°，求AF 的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
5．（2015泰安）如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）
A ．20海里
B ．40海里
C ．203
3海里 D ．403
3海里
6（2015贺州）根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时，已知交警测速点M 到该公路A 点的距离为102米，∠MAB=45°，∠MBA=30°（如图所示），现有一辆汽车由A 往B 方向匀速行驶，测得此车从A 点行驶到B 点所用的时间为3秒． （1）求测速点M 到该公路的距离；
（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
预习卷
1．如图，根据三角函数的定义填空：
① sinA ＝ ； ② cosA ＝ ；③ tanA ＝ ； ⑤ cosB ＝ ； ⑥ tanB ＝ ．
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________． 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，若AC ∶AB ＝1∶3，则tanB 的值为 ． 4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则cosB ＝ ；tanB ＝ ． 5．填写下列特殊角的三角函数值：
30º 45º 60º sin cos tan
6．若2cos ＝
3，则＝ °； 3tan （+30°）＝3，则＝ °．
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，tanA ＝0.5，则sinB ＝ ；tanB ＝ ． 8．用科学计算器计算：
（1）sin12º24′＝ ； （2）cos20º8″＝ ；（3）tan37º41′21″＝ ．（4）tan ＝2，则＝ （用度分秒表示）．
角
度
三 角 函 数
（第1题）
C
B
A。