考研数学一(常微分方程)模拟试卷15(题后含答案及解析)

考研数学一（常微分方程）模拟试卷15(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．微分方程①=cosy+x，③y2dx一(y2+2xy一y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是( )
A．①。

B．②。

C．③。

D．①②③均不是。

正确答案：C
解析：可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程。

对于方程③，将其变形为将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程。

故应选C。

知识模块：常微分方程
2．已知微分方程y”一4y’+4y=0，函数C，C2xe2x(C1，C2为任意常数)为( )
A．方程的通解。

B．方程的特解。

C．非方程的解。

D．是解，但不是通解也不是特解。

正确答案：D
解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f”(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y”一4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选D。

知识模块：常微分方程
3．设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )
A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。

B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)。

C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]。

D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。

正确答案：D
解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为所对应齐次方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。

根据非齐次线性方程通解的结构，方程
y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1—C2或C1+C2+C3=1，故选D。

知识模块：常微分方程
4．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex，则该微分方程为( )
A．y”‘一y”一y’+y=0。

B．y”‘+y”一y’一y=0。

C．y”‘一6y”+11y’一6y=0。

D．y”‘一2y”一y’+2y=0。

正确答案：B
解析：由三个特解的形式知λ1，2，3=一1，一1，1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根，即(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1。

因此微分方程形式为y”‘+y”一y’一y=0，应选B。

知识模块：常微分方程
5．如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为( )
A．y=eos2x+2。

B．y=cos2x+1。

C．y=2cosx。

D．y=2cos2x。

正确答案：D
解析：因为y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解。

将其代入微分方程，得一2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。

则原微分方程为y’+2tan2x．y=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得=一2tan2xdx，等式两边积分，得=一2∫tan2xdx，即ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是得y=Ccos2x。

由y(0)=2，得C=2．故所求特解为y=2cos2x。

知识模块：常微分方程
6．设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y”+Py’+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则极限=( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：在微分方程y”+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y”(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由已知条件y(0)=y’(0)=0，得y”(0)=3。

则由等价无穷小代换及洛必达法则故选
B。

知识模块：常微分方程
7．方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式为( )。

A．y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x。

B．y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。

C．y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。

D．y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。

正确答案：D
解析：原方程对应的齐次微分方程y”‘+2y”=0的特征方程为λ3+2λ2=0。

其特征根为λ=λ=0，λ=一2，因此方程y”‘+2y”=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c)，方程y”‘+2y”=xe-2x特解的形式为xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选D。

知识模块：常微分方程
填空题
8．设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________。

正确答案：y”一2y’+2y=0
解析：由y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对戈求一阶、二阶导数，得y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx—C2sinx)，y”=2ex(C1cosx—C2sinx)，联立上述三式消去C1，C2，得y”一2y’+2y=0。

知识模块：常微分方程
9．微分方程y”一y’一2y=e2x的通解为一___________。

正确答案：y=C1e-x+C2e2x+e2x，其中C1，C2为任意常数
解析：对应齐次方程的特征方程为λ2一λ一2=0，特征根为λ1=一1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一个单根，故令特解为y*=Axe2x，代入原方程得A=。

则通解为y=C1e-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2为任意常数。

知识模块：常微分方程
10．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=___________。

正确答案：e-xsinx
解析：由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为y=e-∫1dx[∫e-xcosx．e∫1dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x(sinx+C)，由y(0)=0，得C=0，故所求特解为y=e-xsinx。

知识模块：常微分方程
11．微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________。

正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数
解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为λ2—2λ+2=0，特征根为λ1，
2=1±i，故对应的齐次方程的通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)。

由于α=1不是特征根，可设特解形式为y*=Aex，代入原方程可得A=1。

故原方程的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数。

知识模块：常微分方程
12．设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________。

正确答案：
解析：由△y=+α(其中α是当△x→0时的无穷小量)，得y’==0，由一阶线性微分方程的通解公式得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=。

知识模块：常微分方程
13．设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=___________。

正确答案：(e2—1)
解析：经计算得，微分方程y”一4y’+4y=0的通解为y=(C+C2x)e2x。

且由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。

于是∫01y(x)dx=(e2一1)。

知识模块：常微分方程
14．方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的通解是___________。

正确答案：y2+1=C(x2一1)，C为任意常数
解析：此为可分离变量的微分方程，由题干可得(y2+1)xdx+(1一x2)ydy=0，分离变量得所以通解为y2+1=C(x2一1)，C为任意常数。

知识模块：常微分方程
15．微分方程yy”+(y’)2=0满足条件y(0)=1，y’(0)=的解是___________。

正确答案：y2=x+1
解析：原微分方程可以变形为(yy’)’=0，两边同时积分可得yy’=C1，此为可分离变量的微分方程。

分离变量得ydy=C1dx，两边同时积分得y2=C1x+C2，代入初值条件y(0)=1，y’(0)=。

所以满足初值条件的解是y2=x+1。

知识模块：常微分方程
16．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=___________。

正确答案：(x+C)cosx，C为任意常数
解析：此一阶线性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C] =e-∫tanxdx[∫cosxe∫tanxdxdx+C] =cosx[∫cosx+C] =(x+C)cosx，C为任意常数。

知识模块：常微分方程
17．设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。

正确答案：2e2x—ex
解析：因∫02xf()dt=2∫0xf(t)dt，所以f(x)=∫02xf()dt+ex可化为f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，两边求导数得f’(x)一f(x)=ex，解此一阶微分方程得f(x)=[∫ex．e ∫—2dxdx+C]e-∫—2dx=(一e-x+C)e2x=Ce2x—ex。

因为f(0)=1，所以有f(0)=C一1=1，即C=2，于是f(x)=2e2x—ex。

知识模块：常微分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．设单位质点在水平面内做直线运动，初速度v｜t=0=v0。

已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时，此质点的速度为，并求到此时刻该质点所经过的路程。

正确答案：设该单位质点的速度为v，则加速度为v’。

根据题意可知，该质点受到的阻力F=一v(负号表示阻力的方向与运动方向相反)。

由牛顿第二定律F=ma可得一v=v’，结合初值条件v｜t=0=v0。

解此方程，得v=v0e-t。

由v0e-t=解得，t=ln3。

到此时刻该质点所经过的路程s=∫0ln3v0e-tdt=v0。

涉及知识点：常微分方程
19．已知y1=xex+e2x，y2=xex一e-x，y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。

正确答案：因y1，y3线性无关，则y3一y1=e-x为对应齐次方程的解，那么y2+e-x=xex为非齐次解，而y0—xex=e2x为齐次解。

则齐次方程的特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ2一λ一2=0。

故齐次方程为y”一y一2y=0。

设所求的二阶线性非齐次方程为y”一y’一2y=f(x)。

将y=xex，y’=ex+xex及y”=2ex+xex代入该方程得f(x)=ex(1—2x)。

故所求方程为y”一y’一2y=ex(1—2x)。

涉及知识点：常微分方程
20．求解二阶微分方程满足初始条件的特解
正确答案：令u==uu’，则原方程化为ucosy．u’+u2siny=u。

当u=0，y=c不符合初始条件，舍去。

当u≠0时，得到u’+utany=，解为u=e-∫tanydy[e ∫tanydydy+C]=cosy(C+tany)，y’=cosy(C+tany)，由y(一1)=，得C=0。

因此y’=siny。

解方程=siny得ln｜cscy—coty｜=x+C2，由y(一1)=，则所求微分方程满足初始条件的解为涉及知识点：常微分方程
21．设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。

正确答案：令x一t=u，则∫0xtf(x一t)dt=∫0x(x一u)f(u)du =x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，所以有∫0xf(t)dt=x+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，在等式两端求导得f(x)=1+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)，即f(x)=1+∫0xf(u)du，等式两端再次求导f’(x)=f(x)。

解此微分方程得f(x)=Cex。

又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=ex。

涉及知识点：常微分方程
22．设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。

(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程；(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

正确答案：(Ⅰ)由反函数求导法则，将以上两式代入所给微分方程得y”一y=sinx。

(Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2一1=0，特征根为λ1，2=±1。

由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y*=Acosx+Bsinx，并将y*，(y*)’及(y*)”代入y”一y=sinx，得A=0，B=一。

则非齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x一sinx。

又由y(0)=0，y’(0)=，可得C1=1，C2=一1。

则所求特解为y=ex一e-x一sinx。

涉及知识点：常微分方程
23．设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足=e2xz，求f(u)。

正确答案：由复合函数求导法则，=f’(u)excosy。

故=f”(u)e2xsin2y+f’(u)exsiny，=f”(u)e2xcos2y—f’(u)exsiny。

代入原方程，得f”(u)e2x=e2xf(u)，即有f”(u)一f(u)=0，其特征方程为λ2—1=0，特征根为λ1，2=±1，因此其通解为f(u)=C1eu+C2eu，其中C1，C2为任意常数。

涉及知识点：常微分方程
24．设有连接两点A(0，1)与B(1，0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点。

已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方，求曲线方程。

正确答案：如图8—1，设曲线方程为y=f(x)，则弦AP的方程为由一阶线性微分方程通解公式，得f(x)==Cx一6x2+1。

由f(1)=0，得C=5，因此所求曲线方程为f(x)=一6x2+5x+1。

涉及知识点：常微分方程
25．求微分方程xy”+3y’=0的通解。

正确答案：令y’=p，则y”==0。

解得p=C1+C2)其中C1，C2为任意常数。

涉及知识点：常微分方程
26．设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)。

正确答案：涉及知识点：常微分方程
27．设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。

正确答案：因曲线上凸，故有y”＜0。

由曲率计算公式，得即y”=一(1+y’2)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。

令p=y’，则y”=p’，上述微分方程可化为p’=一(1+p2)，解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C1一x，即
arctany’=C1一x。

由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y’(0)=1。

故由y’(0)=1，得C1=，因此arctany’=一x，即y’=tan(一x)，等式两端积分可得y=ln｜cos(一x)｜+C2。

由y(0)=1，得C2=1+ln2。

因此所求曲线方程为y=lnln2。

涉及知识点：常微分方程
28．设函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，试求。

正确答案：由f’(x)=g(x)可得f”(x)=g’(x)，则f”(x)+f(x)=2ex，显然该方程有特解ex。

该微分方程的特征方程为λ2+1=0，解得λ=±i，故设微分方程的通解为f(x)=C1sinx+C2cosx+ex，再由f(0)=0，f((0)=g(0)=2，解得C1=1，C2=一1，故f(x)=sinx—cosx+ex，则涉及知识点：常微分方程。