2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)

4F＞0)，则圆心坐标为(－D2 ，－E2)．
－E2＝D2 ，
D＝－6，
由题意可得 （22＋－24D）＋2－F＝4E0＋，F＝0，解得EF＝ ＝68， ，
所以圆的一般方程为 x2＋y2－6x＋6y＋8＝0，
化为标准方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝10.
在本例中“圆心在y＝－x上”改为“圆心在y
即 3a2＋4a－4<0，所以－2<a<23. 即实数 a 的取值范围为(－2，23).6 分 (2)要使圆的面积最大，只需圆的半径最大即可， 由于 r＝12 D2＋E2－4F＝12 －3a2－4a＋4
＝12 －3（a＋23）2＋136. 9 分 因为－2<a<23，所以 a＝－23时， r 取得最大值，从而圆的面积取得最大值， 此时圆的方程为 x2＋y2－23x－43y－79＝0.12 分
[规范与警示] (1)解题过程中 处根据一般式确定出关于 a
二元二次方程与圆的关系
下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋2xy＝0； (2)x2＋y2－4x＝0； (3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0(a∈R)．
[解] (1)因为方程 x2＋y2＋2xy＝0 中含有 xy 这样的项， 所以不能表示圆． (2)由方程可知 D＝－4，E＝F＝0， 因为 D2＋E2－4F＝D2＝16＞0， 所以方程表示圆． 因为－D2 ＝2，－E2＝0， 所以圆心为(2，0)， r＝12 D2＋E2－4F＝2.
－∞，15.
②将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 化为标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝
1－5m.
待定系数法求圆的一般方程
求圆心在y＝－x上且过两点(2，0)，(0，－4)的圆的一
般方程，并把它化成标准方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
第二章 解析几何初步
2．2 圆的一般方程
1．问题导航 (1)当 m 为何值时，方程 x2＋y2＋mxy－2x＝0 表示圆？ (2)任何圆的方程都可以写成二元二次方程的形成吗？ (3)如何选择圆的方程形式？
2．例题导读 P80例4.通过本例学习，学会利用待定系数法求圆的一般方程 的方法,解答本例时要注意，利用待定系数法求圆的方程时， 如何选择圆的方程形式要视题目中所给条件而定．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内任一圆的方程都是关于 x，y 的二元二次方程．( √ ) (2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．( √ ) (3)形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程都表示圆．( × ) (4)若方程 x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0 表示圆，则 E≠0.( √ )
556＝0.
[方法归纳] 1．用待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意选择圆的方程的形式——标准方程或一般方程． (2)根据条件列出关于a，b，r(或D，E，F)的方程组． (3)解出a，b，r(或D，E，F)，代入标准方程(或一般方程)． 2．对圆的一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的 坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用 待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的 一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.
，
半
径
等
于
1 2
D2＋E2－4F ， 依 题 意 得
－D＋3E＋F＝－10，
－D2＋2×E2＝0，
D＝－4， 解得E＝－2，或
1 2
D2＋E2－4F＝
13，
F＝－8，
D＝152， E＝65， F＝556.
于是圆的方程是 x2＋y2－4x－2y－8＝0 或 x2＋y2＋152x＋65y－
2D－2E＋F＝－8，
D＝8，
5D＋3E＋F＝－34，解得E＝－10，
3D－E＋F＝－10，
F＝－44.
于是圆的方程为 x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
(2) 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 其 圆 心 为
－D2 ，－E2
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
所以圆心为(2，－3)．
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲 线关于y＝x对称，那么必有( A ) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：由题得该方程表示圆，且圆心在y＝x上，再结合一般 方程的意义，可得D＝E.
解：(1)因为 x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0 可化为(x－1)2＋y2＝k2 －2k＋3， 所以半径 r＝ k2－2k＋3 ＝ （k－1）2＋2≥ 2.故填[ 2，＋∞)． (2)①根据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0，解得 m<15，故 m 的取值范围为
所以点 N 的轨迹是以(1，0)为圆心，2 为半径的圆．
规范解答
圆的一般方程的应用
(本题满分12分)已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－ 1＝(1)若此方程表示圆，求实数a的取值范围； (2)求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程．
[解] (1)由条件知 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0. 2 分
(3)原方程可化为 x2＋y2－32x＋2y＋3＝0， 易知 D＝－32，E＝2，F＝3. 因为 D2＋E2－4F＝94＋4－12＜0， 所以方程不表示任何图形． (4)因为 D2＋E2－4F＝4a2＋02－4×0＝4a2， 所以当 a≠0 时，该方程表示的是以(－a，0)为圆心，半径 r ＝|a|的圆； 当 a＝0 时，原方程为 x2＋y2＝0，表示点(0，0)．
4．求经过点A(6，5)，B(0，1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0 上的圆的方程． 解：设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为
－D2 ，－E2，
62＋52＋6D＋5E＋F＝0，
依题意有 02＋12＋0×D＋1×E＋F＝0， 3·－D2 ＋10·－E2＋9＝0，
2．(1)已知 A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)，则△ABC 的外接 圆的方程为_x_2_＋__y_2＋__8_x_－__1_0_y_－__4_4_＝__0_．
(2)经过点(－1,3),圆心在直线 x－2y＝0 上,且半径等于 13的圆 的方程是_x_2_＋__y_2－__4_x_－__2_y_－__8_＝__0__或__x_2_＋__y_2＋__1_52_x_＋__65_y_－__5_56_＝__0_._． 解析：(1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有
1．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1)当_D_2_＋__E_2_－__4_F_＝__0__时，方程表示一个点，该点的坐标为(－
D2 ，－E2)； (2)当__D_2_＋__E_2_－__4_F_<__0_时，方程不表示任何图形； (3)当__D_2_＋__E_2_－__4_F_>__0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐
①求动点 M 的轨迹方程； ②若 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹．
解：(1)设 M(x0，y0)为圆上动点，MB 连线中点坐标为(x，y)， 则有 x＝x0＋2 3，y＝y0＋2 2， 所以 x0＝2x－3，y0＝2y－2. 由 x20＋y02＝1，得(2x－3)2＋(2y－2)2＝1.故选 C. (2)①设动点 M(x，y)为轨迹上任意一点，则点 M 的轨迹就是
集合 P＝M|MA|＝12|MB|.
由两点距离公式，点 M 适合的条件可表示为 （x－2）2＋y2
＝12 （x－8）2＋y2，平方后再整理，得 x2＋y2＝16.可以验证， 这就是动点 M 的轨迹方程．
②设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标是(x1，y1)．由于 A(2， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，所以 x＝2＋2x1，y＝0＋2 y1，所以 有 x1＝2x－2，y1＝2y，(Ⅰ) 由①知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，所以点 M 坐标(x1，y1) 满足：x21＋y21＝16，(Ⅱ) 将(Ⅰ)代入(Ⅱ)整理，得(x－1)2＋y2＝4.
＝x上”，其他条件不变，求圆的一般方程．
解：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
4F>0)，则圆心坐标为－D2 ，－E2，
E2 ＝D2 ，
D＝2，
由题意可得 （22＋－24D）＋2－F＝4E0＋，F＝0，解得EF＝ ＝－2，8.
所以，圆的一般方程为 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
综合应用
已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求
顶点C的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建 立坐标系，则 A(－a，0)，B(a，0)，设 C(x，y)，BC 中点为 D(x0，y0)， 则 x0＝x＋2 a，y0＝2y，① 因为|AD|＝m，所以(x0＋a)2＋y20＝m2.② 将①式代入②式整理得 (x＋3a)2＋y2＝4m2. 因为 C 不能在 x 轴上， 所以 y≠0，故所求轨迹方程为(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0)．
6D＋5E＋F＝－61， D＝－14，
即E＋F＝－1，
解得E＝6，
3D＋10E＝18，
F＝－7.
因此圆的方程是 x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 具备的特征 (1)x2 项与 y2 项的系数相等，且均不等于 0. (2)方程为二元二次方程且不含有“xy”这样的二次项． (3)系数 D，E，F 满足 D2＋E2－4F>0.
[方法归纳] (1)坐标系建立的方式不同，得到的轨迹方程一般也不同，本 题中，若 A 是坐标原点，则方程为(x＋2a)2＋y2＝4m2(y≠0)． (2)求轨迹方程时，要注意动点的限制条件，本题的限制条件 是 A，B，C 构成三角形，即 A，B，C 三点不能共线．
3．(1)一动点在圆 x2＋y2＝1 上移动，它与定点 B(3，2)连线的 中点轨迹方程是( C ) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－6)2＋(y－1)2＝1 C．(2x－3)2＋4(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－2)2＝1 (2)已知动点 M 到点 A(2，0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的 一半．
[方法归纳] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表 示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋ E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则 不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的 标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
1．(1)动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是 _[__2_，__＋__∞__)__． (2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 ①实数m的取值范围； ②圆心坐标和半径．
标为____D_2_＋__2E_2_－__4_F__，半径长等于___(_－__D2_，__－__E2_)______．
上述方程称为圆的一般方程．
2．圆的一般方程与二元二次方程的关系 比较二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆的一 般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可以得出二元二次方程具有 下列条件： (1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即A＝C≠0； (2)没有xy项，即____B_＝__0_____； (3)__D_2_＋__E_2_－__4_A_F__>_0____时，它才表示圆．