2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·文科)

2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,
共150分．考试时间120分钟．考试结束,将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项: 1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|23}A x x =-≤≤,{|14}B x x x =<->或,则集合A B 等于（ ）
A ．{}
|34x x x >或≤ B ．{}
|13x x -<≤ C ．{}
|34x x <≤
D ．{}
|21x x --<≤
2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，,则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
3．“双曲线的方程为
221916x y -=”是“双曲线的准线方程为9
5
x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知ABC △中
,a =
b =60B =,那么角A 等于（ ）
A ．135
B ．90
C ．45
D ．30
5．函数2
()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A
．1
()11)f
x x -=>
B
．1
()11)f
x x -=>
C
．1
()11)f x x -=+≥
D
．1
()11)f x x -=-
≥
6．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪
+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
7．已知等差数列{}n a 中,26a =,515a =,若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30
B ．45
C ．90
D ．186
8．如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ，．设BP x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是（ ）
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数学（文史类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项:
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，,则tan 2α的值为 ． 10．不等式
1
12
x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120,且4==a b ,那么a b 的值为 ．
12．5
231x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中常数项为 ;各项系数之和为 ．（用数字作答）
13．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，
,则((0))f f = ;
函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．
14．已知函数2
()cos f x x x =-,对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，,有如下条件:
①12x x >;
②22
12x x >; ③12x x >．
其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．
三、解答题:本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值;
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
16．（本小题共14分）
如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥． （Ⅰ）求证:PC AB ⊥;
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．
17．（本小题共13分）
已知函数32
()3(0)f x x ax bx c b =+++≠,且()()2g x f x =-是奇函数． （Ⅰ）求a ,c 的值;
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．
18．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 19．（本小题共14分）
已知ABC △的顶点A B ，在椭圆22
34x y +=上,C 在直线2l y x =+：上,且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及ABC △的面积; （Ⅱ）当90ABC ∠=,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程． 20．（本小题共13分）
数列{}n a 满足11a =,2
1()n n a n n a λ+=+-（12n =，，）,λ是常数．
（Ⅰ）当21a =-时,求λ及3a 的值;
（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; （Ⅲ）求λ的取值范围,使得存在正整数m ,当n m >时总有0n a <．
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数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分） 9．
43
10．{}|2x x <-
11．8-
12．10 32
13．2 2- 14．②
三、解答题（本大题共6小题,共80分） 15．（共13分）
解:（Ⅰ）1cos 2()222
x f x x ωω-=
+
112cos 222x x ωω=
-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以
2π
π2ω
=,解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤, 所以ππ7π2666
x --≤≤,
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤,即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，． 16．（共14分）
解法一:
（Ⅰ）取AB 中点D ,连结PD CD ，．
AP BP =, PD AB ∴⊥． AC BC =, CD AB ∴⊥． PD CD D =, AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD , PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥．
又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且AC
PC C =,
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =,BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
在BCE △中,90BCE ∠=,2BC =,2
BE AB =
=
sin BC BEC BE ∴∠=
=．
∴二面角B AP C --的大小为 解法二:
（Ⅰ）AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥． AC BC C =,
PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC , PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．
PB AB ==2t ∴=,(002)P ，
，． 取AP 中点E ,连结BE CE ，．
AC PC =,AB BP =,
CE AP ∴⊥,BE AP ⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
(011)E ，，,(011)EC =--，
，,(211)EB =--，，, 3
cos 326
EC EB BEC EC EB
∴∠=
=
=．
∴二面角B AP C --
的大小为arccos
3
． 17．（共13分）
解:（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数,
所以,对任意的x ∈R ,()()g x g x -=-,即()2()2f x f x --=-+． 又3
2
()3f x x ax bx c =+++
所以3
2
3
2
3232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．
所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩
，．
解得02a c ==，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得3
()32f x x bx =++． 所以2
()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时,由()0f x '=
得x =
x 变化时,()f x '的变化情况如下表:
所以,当0b <时,函数()f x 在(-∞-，上单调递增,在(上单调递减,在)+∞上单调递增．
当0b >时,()0f x '>,所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 18．（共13分）
解:（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ,那么3
324541
()40
A A P E C A ==,
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
140
．
（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么4424541
()10
A P E C A ==,
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9
()1()10
P E P E =-=． 19．（共14分）
解:（Ⅰ）因为AB l ∥,且AB 边通过点(00)，,所以AB 所在直线的方程为y x =．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，． 由2234x y y x
⎧+=⎨=⎩，得1x =±．
所以12AB x =-=．
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．
所以h =
1
22
ABC S AB h =
=△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+,
由2234x y y x m
⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上, 所以2
12640m ∆=-+>．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，, 则1232m
x x +=-,212344m x x -=,
所以122
AB x =-=．
又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离,
即BC =
所以2
2
2
2
2
210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时,AC 边最长,（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 20．（共13分）
解:（Ⅰ）由于2
1()(12)n n a n n a n λ+=+-=，
，,且11a =． 所以当21a =-时,得12λ-=-, 故3λ=．
从而2
3(223)(1)3a =+-⨯-=-．
（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列,证明如下:
由11a =,2
1()n n a n n a λ+=+-得
22a λ=-,3(6)(2)a λλ=--,4(12)(6)(2)a λλλ=---．
若存在λ,使{}n a 为等差数列,则3221a a a a -=-,即(5)(2)1λλλ--=-, 解得3λ=．
于是2112a a λ-=-=-,43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以,对任意λ,{}n a 都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记2
(12)n b n n n λ=+-=，
，,根据题意可知,10b <且0n b ≠,即2λ>且
2*()n n n λ≠+∈N ,这时总存在*0n ∈N ,满足:当0n n ≥时,0n b >;当01n n -≤时,0n b <．
所以由1n n n a b a +=及110a =>可知,若0n 为偶数,则00n a <,从而当0n n >时,0n a <;若0n 为奇数,则00n a >,从而当0n n >时0n a >．
因此“存在*
m ∈N ,当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是:0n 为偶数,
记02(12)n k k ==，
，,则λ满足 2
22
21(2)20
(21)210
k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*
4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。