运筹学第一章第5节-公式法资料

1 2
x3
3x4
0
x3 1
x
j
0,
j
1,2,3,4
循环！
加入松弛变量后用单纯形法计算并且按字典序方法（按变量下 标顺序）选进基变量，迭代6次后又回到初始表，继续迭代出现 了无穷的循环，永远得不到最优解．但该模型的最优解为
X＝(1，0，1，0)T，Z＝－5/4．
1.5 单纯形法 Simplex Method
1.5 单纯形法 Simplex Method
1.5.3 计算公式 设有线性规划
max Z CX
AX b X 0
其中Am×n且r(A)=m,
X (x1, x2 ,, xn )T
C＝（c1, c2 ,cn ) b (b1, b2 ,, bm )T
X≥0应理解为X大于等于零向量，即xj≥0, j=1,2…,n.
1.5 单纯形法 Simplex Method
5.本节的5个公式是单纯形法的基本公式 6.只要已知基矩阵，利用公式就能计算我们所需要的结果
7.应用公式时注意数据的来源，即给定基矩阵B和CB、CN、N、b
都是标准型的数据，而λ、Z0、π 是通过公式计算的结果。
作业：。。。。？
The End of Chapter 1
1.将问题化为标准型，寻找一个初始可行基，化为典式，列出初 始单纯性表； 2.判断基本可行解。有3种情形：①已是最优解，②是无界解，③ 不能确定。
前2种情形计算结束，第3种情形需要继续迭代，先进基后出 基，初等变换求下一个基本可行解，直到出现最优解或无界解为 止。
3.人工变量是过度变量，当原问题有可行解时，人工变量最终 会退出基变量。如果原问题没有可行解，人工变量就不会退出 基变量。 4.处理人工变量的方法有两种，无论哪一种结果都是一样。
am1
a12 a1n
a22
a2n
am2
amn
1.5 单纯形法 Simplex Method
设A＝（P1，P2，…，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记
为B=(P1，P2，…，Pm). 矩阵A中后n－m列构成的矩阵记为N＝
（Pm+1,…Pn）, 则A=(B，N). 对于基B，基变量XB=(x1,x2,…,xm )T, 非基变量XN=(xm+1,xm+2,…,xn)T
因λj≤0, j=1,…,5,故B1是最优基。
1.5 单纯形法 Simplex Method
(5) 因B2是A中第四列与第二列组成的, x4、x2是基变量x1、 x3、x5是非基变量,这时有
CB (c4 , c2 ) (0,2)
B 1
1 0
3 1,
CB
B
1
(0,2)
(1, 3 ) (c1, c3 ) CB B1(P1P3 )
3
1
1
2
9 3
1
CB B 1
(1,2)
3
1
9
1 2
(
1 ，7 93
)
3
1.5 单纯形法 Simplex Method
(2)基变量的解为
XB
x1
x2
B 1b
1 31
9
1
15
2 20
3
25
35
3
故基本可行解为 目标函数值为
X (25, 35 0,0,0, )T , 3,
0
0
M－17 M－3/2
1.5 单纯形法 Simplex Method
单纯形法迭代对于大多数退化解时是有效的，很少出现不收敛 的情形．1955年Beale提出了一个用单纯形法计算失效的模型
3
1
min Z 4 x1 15x2 2 x3 6x4
1 4
x1
6x2
x3
9x4
0
1 2
x1
9x2
2 2
(1,1) (0,2)1 3
5
(1 ,9) 3
即
1
1 3
,
3
9
【例1-25】用公式 j cj CBB1Pj 计算
1.5 单纯形法 Simplex Method
1.5.4 退化与循环 【例1-26】求解线性规划
退化：基本可行解里 出现基变量等于0
min Z x1 2x2 x3
4.
Z0 CB B1b
5. CBB1 称为单纯形算子
1.5 单纯形法 Simplex Method
上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵
单纯形表1-16
表1－16
XB
XN
b
XB
B
N
b
Cj-Zj
CB
CN
0
将B化为I(I为m阶单位矩阵), CB化为零, 即求基本可行解和检 验数. 用B－1左乘表中第二行, 得到表1-17
五个公式的应用
【例1-24】线性规划
max Z x1 2x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
1 x3
x1 x2 j 0, j
5x3 x5 1,,5
20
已知可行基
2 3
B1 1 3
1
求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3; (4)B1是否是最优基,为什么;
则X可表示成
X
XX同BN
同理将C写成分块矩阵C=(CB，CN)，
CB=(C1,C2,…,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn) 则AX=b可写成
(
B，N
)
X X
B N
BX B
NX N
b
1.5 单纯形法 Simplex Method
因为r(B)=m（或|B|≠0）所以B —1存在，因此可有
x1 2x2 4x3 4
4x1 9x2 14x3 16
x1
,
x2 ,
x3
0
解: 用大M单纯形法，加入人工变量x4、x5，构造数学模型
min Z x1 2x2 x3 Mx4 Mx5
4x1x1 29x2x241x43
x3
x4
x5
4
16
x
j
0,
j
1,
,5
1.5 单纯形法 Simplex Method
(3) 1 x1
1
M x5
0
λj
0
(4) 1 x1
1
2
x2
0
λj
0
(5) 1 x1
1
1
x3
0
λj
0
5/2+2M －2 [－1]
4+M↑
0 1
0 －4 1/2
15/2
0
－1/4+9/2M 0
4
1
0
4
－2
－4
1
0→
－3+2M －1+5M
0
8
9
－2
4
[2]
4
－1
0→
－11↑
M－17 M－4
0
1
2
4
1
2
－1/2
max z (c1, c2 ,..., cn )[ x1, x2 ,, xn ]T
a11x1a12x2 a1n xn b1 a21x1a22x2 a2n xn b2 am1x1am2 x2 amn xn bm x1, x2 ,, xn 0
P1 P2 Pn
a11
A
a21
表1－19
Cj
CB XB
(1) M x4 M x5
λj
(2) 1 x3 M x5
1
x1 1 4 1－5M
[1/4]
1/2
2
x2 －2 －9
2+11M
－1/2 －2
1
x3 [4] 14 1－18M↑
1 0
M
x4 1 0
0
1/4 －7/2
M
b
θ
x5
0
4→
1
1
16
8/7
0
0
1→
4
1
2
4
λj
3/4－1/2M↑
(5)当可行基为 B2＝10
3
1
时求λ1及λ3。
1.5 单纯形法 Simplex Method
【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2为基变量， x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为
CB=(c1,c2)=(1,2) CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)
故单纯形乘子
1
B11
1.5 单纯形法 Simplex Method
Z CB B1b (CN CB B1N ) X N
得到下列五个计算公式： (令XN=0)
1.
X B B1b
2.
N B1N 基变量的检验数λB CB CBB1B 0
3. N CN CBB1N C CBB1A
j cj CBB1Pj
表1－17
XB
XN
b
XB
I
B-1N
B-1b
Cj-Zj
CB
CN
0
1.5 单纯形法 Simplex Method
再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到
XB
XB
I
λ＝Cj-Zj
0
表1－18
XN B-1N
CN-CBB－1N
b B-1b
－CBB－1b
N
λΝ
XB
－Z0
1.5 单纯形法 Simplex Method
(4) 要判断B1是不是最优基, 亦是要求出所有检验数是否满 足λj≤0,j=1…,5. x1,x2是基变量,
故λ1=0,λ2=0,而
3
98 9
0,
剩下来求5 ) CB B1(P4P5 )
(0,0)
(1 9
,
73 ) 10
0 1
( 1 , 7) 93
Z0
CB B1b
CB X B
25 (1，2) 35
3
145 3
1.5 单纯形法 Simplex Method
(3) 求λ3
P3
52,CB B1P3
P3
(1 9
，7 3
)52
107 9
3 c3 CB B 1P3
＝1－107 9
＝－ 98 9
1.5 单纯形法 Simplex Method
BX B b NX N
X B B 1 (b NX n )
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N CBB1b (CN CBB1N ) X N