合肥市2015年高三第一次教学质量检测数学(文科)试题及答案

合肥市2015年高三第一次教学质量检测
数学试题（文）
（考试时间：120分钟满分：150分）
注意事项：
1. 答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2. 答第［卷时，每小題选出答案后•用2E铅笔把答题卡上对应題目的答裳标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.
3. 答第II卷时•必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答題卷上书写，要求字体工整、
• • • •
笔迹清晰•作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出•确认后再用0.5＜米的黑色
• • •
•墨水签字笔描清楚•必须在题号所指示的答题区域作答•超出答题区域书写的答案无
• ••••••••••• 瑕译迭寧李、芋葫第占爹厚不瑕・
4. 考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
第I卷（选择题共50分）
选择题（本大题共10小题•每小題5分•共50分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的）
3 + i・gm 亠
1. 复数^=—（1为虚数单位）的虚部为（）
A. 1
B.-1
C.3
D.-3
2. 已知集合^ = {x|l<x<2},5 = {r|x-l<0},则亦B =
( )
A. {x|-l<x<l}
B. {x|-l<x<2)
C. {1}
D. 0
高三数学试题（文）第1页（共4页）
3. 执行右边的程序框图•输岀的结果为()
A.9
B.8
C.6
D.4
高三数学试题（文）第2页（共4页）
高三数学试题（文）第2页（共4页）
4•一个正方体挖去一个圆锥得到一个儿何体■其正视图与俯视图如图所示•则该儿何体的侧
（左）视图是
（
C
5•已知点P 在圆C ： x 2 I = 2x I 2y 上•则点P 的距离最大值为（ ）
A. —
B. 2 近
C.也
D. 3 近
2 2
6・函数/（x ） = Asin （（ox +（p ）（A >0,<y >0）的部分图象如医所示.
& MBC 中■角4、B 、C 所对的边分别为ci 、b 、c •若B = A + ’、b = 2a •则角3 =（ ）
3
9・如图，已知四边形ABCD 为正方形.PD 丄平面ABCD • 且PD^AD •则下列命题中错误的是（
）
• • 则/（X ）的解析式可以为（）
A. f(x) = 3sin(2x-—)
B. f (x) = 3sin(2x + —)
4
4
3
1 -----
Y
C. /(x) = 3sin(* 一苧)
D. /(x) = 3sin(* +乎) 71 O
•3
X
7.已知P>Sq> 0 •且2p + g = 8，则"g 的最大值为（
)
第6题
A. 8
C.7
64
B 百
B
2
第4题
A. 过〃£）且与PC平行的平面交尢4于M点•则M为
P/I的中点
B. a AC且与垂直的平面交P*于N点，则N为第9題
的中点
C. 过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则"为PC的中点
D. 过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线2,则I//AD
10.M a<-l ”是“函数/（X）= lnx + or +丄在［1,+8）上是单凋递滅函数”的（>
X
A•充分不必要条件B必要不允分条件C.充分必要条件I）•既不允分也不必要条件
高三数学试题（文）第2页（共4页）
高三数学试题（文〉第3页（共4页〉
第II 卷（满分10（）分）
二.填空题（本大题共5小题•每小题5分•共25分•把签案與在签題卡的相应位置） H.函数/CO = -A-T 的定义域为 ______________ •
2 — 1 X 2 V 2
（2 76 ）
12•已知椭圆匚+ 2L = i 过点/
•则该椭圆的离心率为
加3
3
}
13. C 知函数/（切是定义在R 上单调递减的奇函数•则满足不等式f\f （t -l ）］<0的实数 !的取值范
围是 ____________________ .
x+y-1<0
14. 已知不等式组・x-y + \>0表示的平面区域被直线2x^y-k = 0平分成面积相等的
八0
两部分•则实数*的值为 ____________ .
15. 已知8个非零实数a 1 ,如，。

3，…"S,和向SOAj = （a 】心），OA2 = （a 3,3），
OAs =（05,06）»OA .1 =（079^8）,对于下列命题:
① 若ai ，a2，a — ・・・，S 成等差数列,则存在i ,j （WjW8N ,j W N * ）, 使C 右+乙斎2 +QA a +页4与向宦"=（s ,幻）共线；
② 若s ,°2,3 ,…心成等比数列•则对任意i ,j （ W ,jW ，i ,jU, 祁冇OA, //OA,
③ 若5 ,a2，如，…山8成等比数列，则存在i ,j （ 0 ,j {4异,疋 N ・）, 使OA,・ OA ?<O s
④ 若m =OA,・OA }{i 冷,IM ，,j <4,i ,j W N * ）,则川的值中至少有一个不小于0. 上述命题正确的是 _____________________ （请写出所有正确命题的序号〉. 三、解答题（本大題共6个小题.共75分.解签应写出文字说明、证明过程和演算步骤〉 16. （本小題满分12分〉
7T
（门求/（才）的值;
< 11）若/（«） = -,«是第四象限角，求cos （a -彳）的值.
a cos - 已知
/@)=(—
—- a. 1 一 cos 2a
—tan —) ---------------
2 2 sin a
高三数学试題（文〉第4页（共4页〉
17. （本小题满分12分）
某快递公司正在统计所有快递员某-•天的收件数，有些数据还没有填好,如下衣所示:
组别 分组（件数）
频数 频率
一 [50.60) 1
二 [60.70)
C
三 [70.80) 10
四 [80,90) b
0. 36
五 [90,100) 12
六
[100,110]
6
0. 12
合计
a
< I ）求a 、b ・c 的值，并估计当天收件数的中位数；
（II ）若按分层抽样从四、五、六组中抽出6人进行经验交流,再从这6人中选取2人在公 司早会上发言，求发言的2人不都是出自同一组的概率. 1& （本小题满分12分）
如图•已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平 面互相垂直，AB = Q M F = 1、M 是线段EF 的 中点. （I ）求证xAMU 平血/QE ； <n ）求证:DM 丄平面BEF ・ 19•（本小题满分13分）
2
已知数列g ｝满足坷=亍•且% • a +1）=2勺・
（I ）求证：｛*7是等比数列;
（n ）令 0 = *+2（ n -1）,求｛b”｝的前/项和 s”. 2C •（本小题满分13分）
如图,焦点为F 的抛物线y 2 =2px （p>0）上两个不同的
（1）求|肪|+|附|的值；
（H ）若P = 2 •直线MN 与x 紬交点〃，求点〃的横坐标的取值
范围.
21.（本小题满分13分）
第20題
设函数 f （x ） = x 3 -3ax 2 + 3（2-a ）x ,aeR ・
（I ）
求/（x ）的单凋递增区间；
（II ） 若夕=f （x ）图象与X 轴相切于原点，且当X 2<X ｝<4时・/（x J = f （x 2）. 求证：£ +x 2 > 0・
点M, N ，且线
^~0
高三数学（文）试笆答来 第1页（共4貞）
合肥市2015年高三第一次教学质量检测
数学试题（文）参考答案及评分标准
一、迭择题:
题号 1 2 3 4
5 6
7
8
9
10
答案 C
D
B
B
C
D A D B A
二、填空题
12•丄 13・(Y>」)
14. V6-2 15.(D ②④
三、解答趣
(I > /(«) =
a
.
2
a
cos — t
c 1 - tan — r
2 . a 、1 * cos 2a 2 • 2
- ( -=--tan —)• 二
-=--sina =・ sin a = 2cosa ；a 2 2sin a a tana
sin —
tan
2 2
-2 cos — V2 .............. 6 分
4
6
3 4 (II) f (a) = -^ cos « = —
第 PM 象限角所以sin a =—.
5 5
5
3期丄)二=上也•・・・・・12分
3
5 2 5 2 10
0 22
17.( I )a=50, b=l& c = 0.06 中位数为 80+10x^=86 ……6 分
0.36
(II )由題住•用列举法•不临得到所求槪率为
1& 证ill ：( I )连BDC\AC = ().连接 EO
•:
为中点•且ACEF 为矩形•所以EM 〃OA.EM =0A,
••・四边形EOAM 为平行四边形•:・AM “EO •
II. {J | x * 0)
11 15
12分
••• EOu平A AMU^\\BDE……6 分
(II)由AB = \[i • AF = \・
得刊DF = DE = *
•・・M是线段EF的中点.・.DM丄EF
连按〃M得〃M = DM =近、乂 BD = 2・所以DM丄BM
又BM （}EF = M •所以DM 丄平面〃EF.……12分
岛三数学《文）试8SS* 弟2頁《共4頁）
19. (I)证明：由
2
严＞0 •所以
所以七7是首吩•公
M 由⑴知:{*7是首项从 jff —+ 2(w-l)=^- + (2w-l) 13分
20•解山 I )设
石+心=8 _ p ■而| MF
E P_ 2
:]MF\ + \NF\^ x,+x2+p = 8……5 分
(II)半0 = 2时•抛物线C:y2 =4x
①若氏线MN斜率不存在•则〃(3, 0)：••••••6分
②若立线MN斜率"庄・设力(3, /)(心0)・"(州丿|)』(勺丿2)•则
由 > ；[得:卩'J'=做旺-X2)
必一5 •••必二生心+儿)=4・即忍仗=?
JC] 1*2 I
2 t1
= -(x-3) •••〃点的横坐标为x = 3- —……9分
/ 2
由消去X得：/-2/y + 2/z-12 = 0 由A>0得：0</2 <12
I y2 =4x
••・X =3-£G(—3, 3) •又直线MN笫牟不存庄》打=0・
煤上・B点的横坐标的取值范丽为(一3, 3]. ・•••••13分
!1.< I > f (x) = 3x2 -6ac + 3(2-a)
A = 36(u2+a-2) = 36(a + 2)(a-l)
< i )a<-2或a> 1 时•由f (x) x = a±\a2 +1/-2-
/ (x)的单调递增区间为(Y0,a- J/+a・2),(a + Va2+d-2,+a>):••••••4 分
(I )当一2 Sa Ml时 J(x)的单凋递增区间为(TO,+00).……6分
(II)/ (x) = 3x2-6ar + 3(2-o).|li/，(0) = 0.^a = 2.
f (x) =x' • 6x\ / (0) = 01由(I)知 / (x)的在(TO,0) • (4,+co)上单调增•在
Ai三数学（文）试強袴来第3页（共4页）
(Q4)上单渕域.
7/(X I)=/(X2)*^2<X} < 4 < A X] >0,x2 <0 -••…9 分
W-x( v 0 •而/(X|) - f(-x l) = 2xj1 > 0 •
所以/(x1)>/(-x I)>x/(x l) = /(x2).所以/(x2)>/(-x1)>
/(x)的在(TO,0)上单调增•故“2 >-£•
即JT] +才2 >0・ ...... 13分
第21题。