理论力学

i

yt

j

r
r2 dr

r1 xi yj dx dy
v i j
dt dt dt
a

dv dt

d
2
r
dt 2

d2x dt 2
i

d2y dt 2
j
描述质点运动的物理量的三个共性：
1. 矢量性 2. 瞬时性 3. 相对性 ：与参考系的选择有关。
6、矢量式与分量式的一致性，在解题时可以相互应 用，结果是一样的。（高中时更多的是用分量式， 分解为x、y方向；在大学中要理解并应用矢量式。）
dr dS


lim lim
v

v
r
r S
t t 0
S t0 t

lim lim r
S


S t t0
t 0
lim S dS


t t0 dt
瞬时速度的大小等于瞬时速率.
质点作平面曲线运动，运动方程为
rt


2ti

t
2
v

dr

2i
2tj
dt


t 3, v (3) 2i 6 j
v(3)
22 62 6.32m / s
加速度：描述质点运动速度（大小与方向）变
化的物理量

z
vP
1. 平均加速度:
a

wenku.baidu.com
v
t
是矢量，其方 向为v 的方向。
P
vP
v
v 4m / s
;
x

8 3

2.67m
第二类问题：加速度（积分）速度、位置
归纳
设质点加速度
a


a

at
dv
已知，当t=0
dv
时，v adt

v0
,
dt
r r0
在0至t时间内，速度由v0变为v，将上式两边积分
t
v v0v0a(dtr)dt
的速度和加速度
【解】 位置矢量为
r

xi

yj

2ti

(4t
2

8)
j
位
移r

r2

r1

2i

12
j
速度为
v

dr

2i
8tj
加速度为
a
dt dv

8j
当t

2s时
，v

dt 2i

8
j，a

8
j
题2：一质点作沿x轴运动，已知：a 2 6x2
Q vQ
rP
rQ
vQ
o
y
2. 瞬时加速度:
x
a

lim
t 0
v t

dv dt

d dt
dr dt

d
2
r
dt 2
在直角坐标系中，a 的分量式
a axi ay j azk
a a
a
2 x

a
2 y

az2
(
yj zk
y2

y1 ) j
r
(z2 z1 )k
x2 y2

z2
1、位移是矢量，既有大小又有方向。 2、位移与路程是两个不同的物理量。
位移只决定于始末位置，与 过程无关，状态量；
路程是实际通过的路径长度， 是标量，过程量。
一般 r S
r1

2i
17
j;
t

2s
r

r2

r1

2i

6
j
24
x
r2

4i

11
j
r
22 62 2 10 6.3 (m)
r和x轴 正 方 向 夹 角
arctan 6 71.6
2
(2)
v
时的r0和v0），通过积分，求出质点的速度和位 置矢量。
例1：r已知2质ti点 (运19动方2t程2 )：j
求：（1）在 t=1s 到 t=2s 这一段时
间内，质点位移大小和方向。
y
17 P r
11 Q r1 r2
（2）当 t=1s 时，质点的速度 o
和加速度。
解: (1) t 1s
y P(x,y,z)
r
x o
z

r OP

r xi yj zk
质点被限制在一平面内， 大小和方向分别为：
如在XY平面内运动，其 位置矢量表示为：
r x2 y2
r xi yj
arctg( y x )
质点的运动方程：
质点的位置随时间t的变化，即位置矢量的大小

v

vx2

v
2 y

vz2
t 时刻速度的方向：质点沿运动轨迹的切 线，且指向运动一方。
速率和速度是两个不同概念
1. 平均速率 2. 瞬时速率
v

v

s
t
lim v
s ds
t0 t dt
速率是标量，瞬时速度的大小等于瞬时速率
瞬时速度的大小与瞬时速率的关系
t 0
质点运动学的两类问题
1.
已知质点的运动方程
r

r(t),求4个基本物理
量：位矢、位移、速度、加速度。
注度意a，t0 求，质必点须在根某据个运时动刻方t0程的（速矢度量v式t或0 分和量加式速），
通过对t求导，得到任意时刻的v 和a，再将t=t0
代入即可。
2. 已知质点的加速度 at 和运动的初始条件（t=0
课 堂
t 0时 x0 0 ; v0 0 求v( x)
练 习
【解】 a dv ; dv (2 6x2 )dt
dt
应用微分 变换：
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
adx vdv
x (2

6 x 2 )dx

v
vdv
0
0
2( x x 3) 1 v2 2
r (t )
r

2ti r2
r1
t
2
j
求质点在1～3s内的平均速度和 t=3s 时的速度。
4、质点在平面上运动，分别指出下列三种 情况中质点做何种特征的运动。

(1) dr 0 (2) dr 0
dt
dt
(3) dv 0
dt
5、积分问题。(不定积分和定积分一样，建 议用定积分）
【解】 将 t 消去可以得到轨道方程
y
x2 y2 R2 质点沿此圆周运动
位置矢量表示为
r xi yj

r


o
x
R costi R sin tj
大小为
r
x2 y2 R
tg sin t tgt c ost
速度v可以d由r位矢对Rt求导si得n 到ti
主要内容：
质点运动学的三个基本概念 运动的描述—四个基本量 典型运动—圆周运动 相对运动
一、 三个基本概念—质点、参考系、坐标系
质点 研究一个物理现象必须分离出所有那些使我们的 日常经验复杂化的外部因素。建立理论模型以突 出主要性质。 只有质量而忽略物体大小和形状的理想物体。

dr

2i

4tj
dt
v |t1 2i 4 j ; v 20 4.5(m/ s)
arctan( 4) 63.4
2
a

dv

4
j
为恒量指向 y方向
dt
第一类问题：运动方程（求导）位移、速度、加 速度
例2：设质点沿x轴作直线运动，a=2t，t =0时 x0=0，

R
c

ostj
dt
大 小 为v
vx2

v
2 y
R
y
v

质点作匀速率圆周运动

r

tg vy cost ctgt
o
x
vx sin t
t 2 2
β：速度方向
与x 轴夹角
a

dv

R 2

costi


R 2 sin tj
第一篇 力 学
力学 研究物体机械运动规律的一门学科。
机械运动 物体在空间的位置随时间的变化，是最
简单、最基本、最常见的一种运动形式。
力学分三部分：
静力学 研究力的基本性质、力系的简化与平衡 条件。
运动学 从几何方面研究物体运动的规律，不考 虑影响其运动的原因。（第一章）
动力学 研究物体的运动与所受作用力间的关系。 （第二章～第五章）
v0=0 试求: t =2s时质点的速度和位置。
解：加速度a不是常量，将a=2t写成 ：dv 2tdt
对两边积分：
v
dv
t
2tdt
;
0
0
v dx t 2 (1) dt
dx t 2dt ;
x
dx
t t 2dt ;
x 1 t3
(2)
0
0
3
把t=2s分别代入(1)、(2)得：
dt dt

a

at


dv

adt
积分
v

v0

t adt
0

v

vt


dr

vdt
积分
r

r0

t vdt
0
作业： 书P32 1-1, 1-4, 1-5, 1-7
1、位移与路程
注意！
2、瞬时速度与瞬时速率
3、r质 点r作2 平r1面不曲要线将运动r，与运动r 方混程淆为。
参考系 为描述一个物体运动而选作参考的另一物体。
坐标系 固定在参考系上，定量描述空间位置的有次序的 一组数。（直角坐标系、极坐标系、自然坐标系）
二、 运动的描述－位置、位移、速度、加速度
位置矢量
质点位置的确定：
直角坐标系 P（x ,y , z） 位置矢量r : 原点到P点的有向线段OP， 其方向说明了P点相对于坐标 轴的方位，其大小（即它的 模）表明了P点到原点的距离。
任意时刻t质点的速度
dr vdt
dt
在0至t时间内，位矢由r0变为r，则有
t
r
r0
v (t )dt
0
任意时刻t质点的位矢
题1：一质点在 xy 平面上运动，运动函数为
x 2t , y 4t 2 8
课 堂 练
求 t=1→2s 时质点的位移；t=2s 时质点 习
v 2 x x3
“-”舍去
注意:当已知a(v)时，也可采用此方法。
a(v) v dv ; dx vdv 即 可 。
dx
a(v)
题3：一质点在xy平面内运动，其运动函数为，
x R cost, y R sint
课 堂 练
式中R 和ω为正值常量。求任意时刻t 质 习
点的位置、速度和加速度矢量的表示式。
j
求：质点在1～3秒内的平均速度大小和第三秒
末的速度大小。
解：
v

r
t 2
r

r (3)

r1
r1
t 2i

j


r (3) 6i 9 j
r 4i 8 j
v 2i 4 j
v
22 42 4.47m / s
ax

dv x dt

d2 x dt 2
a y

dv y dt

d2 y dt 2
az

dvz dt

d2z dt 2
当质点作曲线运动时，a 的方向总是指
向轨迹曲线凹的一侧。
1. 掌握位矢、位移、速度、加速度等描述质点
运动的物理量（基本概念）。
r

rt


xt

dr dt
位置矢量对时 间的一阶导数
在直角坐标系中:


r x(t)i y(t) j z(t)k

v

dr

d



x(t)i y(t) j z(t)k
dt dt
vxi vy j vzk
速度是矢量，有大小有方向
速度的大小: v
y
P(t) S

r

rP
rQ
o
Q(t+△t)
x
z
以下两种情况中，位移的大小与路程相等：
1、方向不变的直线运动中，
r
s
2、当△t→0
时，
r

s
速度：描述质点位置变化快慢和方向的矢量
在t 内
1. 平均速度
v

r
2. 瞬时速度
v

t
lim t 0
r t
和方向随时间t的变化。

r r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
矢量式
x x(t), y y(t), z z(t) 分量式
消去 t 即为质点运动的轨道方程(在空间经过的路径）
位移：质点在一段时间内位置的改变（大小和方向）
y
P( x1,
y1, z1,
dt
2


R costi R sin tj


2
r
大 小 为a
ax2

a
2 y
R 2
y

v


r

a
o
x
2. 熟练计算质点在平面内运动的运动学问题
（两类问题）。
r

rt

微分
v

dr
微分
a

dv

d
2
r
dt
t)
Q(
x2 ,
y2
,
z2
,
t

t )
rP

x1i
y1
j
z1
k
rQ x2i y2 j z2k
o
P(t)

r

rP
rQ
Q(t+△t)
x
位移矢量：质点初位置指向末
位置r 的 有PQ向线rQ段。rP
z




r (
xi
x2
x1 )i