高考数学二轮复习第一部分专题篇专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程课件文

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋p22－4ρ1ρ2＝ 144cos2 α－44.
由|AB|＝
10得cos2
α＝38，tan
α＝±
15 3.
所以l的斜率为 315或－ 315.
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试题(shìt解í)析(jiě
8．(2016·沈阳质检)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴 为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个 单位得到曲线C2. (1)求曲线C2的极坐标方程； (2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求 |TM＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
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试题(shìtí解) 析(ji
5．(2016·张掖一模)已知直线l的参数方程为
x＝－1－
3 2t
y＝ 3＋12t
(t为参数)，以
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ ＝4sin(θ－π6)． (1)求圆C的直角坐标方程； (2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－π6)的公共点，求 3x＋y的取值范围．
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试题(shìtí解) 析(jiě
(1)O(0,0)，A(2，π2)，B(2 2，π4)对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，
则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，又
x＝ρcos y＝ρsin
θ θ
，代入可
求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2 2cos(θ－π4)．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－ 2ρsin θ＋1－a2＝0.
ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos2 θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2 θ－8sin θcos θ＝0，
参数方程为xy＝＝yx00＋＋ttscionsθθ (t为参数)． 联立C2的直角坐标方程得，t2＋2(x0cos θ＋y0sin θ－sin θ)t＋1－2y0＝0， 即由直线参数方程中t的几何意义可知， |TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈[－1,1)，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
2sinα＋π3－2，
当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2，此时
P的直角坐标为32，12.
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试题(shìt解í)析(jiě
3．(2016·天津模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝t y＝t2＋1 (t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极 坐标系． (1)写出曲线C的极坐标方程和普通方程； (2)过点A(m,0)作曲线C的两切线AP，AQ，切点分别为P，Q，求证：直 线PQ过定点．
25－
2102，即13＋6kk22＝940，
整理得k2＝35，解得k＝± 315，
即l的斜率为±
15 3.
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试题(shìtí)解析(jiě
解法二 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程 得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线 C1与C2的公共点都在C3上，求a.
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试题(shìt解í)析(jiě
(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为 半径的圆．
因而2xPm－yP＋2＝0且2xQm－yQ＋2＝0，
∴直线PQ的方程为2mx－y＋2＝0，该直线恒过定点(0,2)．
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试题(shìtí解) 析(ji
4．(2016·高考全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方
程为
x＝acos t， y＝1＋asin t
(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴
(2)解法一
由直线l的参数方程xy＝＝ttscions
α， α
(t为参数)，
消去参数得y＝x·tan α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.
又|AB|＝ 10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－1＋6kk|2＝
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试题(shìt解í)析(jiě
(2)设z＝ 3x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－2 3y＝0⇒(x＋1)2＋(y－ 3)2＝ 4，所以圆C的圆心是(－1， 3)，半径是2.
x＝－1－ 将
3 2t
y＝ 3＋12t
代入z＝ 3x＋y，得z＝－t.
又直线l过点C(－1， 3)，圆C的半径是2，由题意有－2≤t≤2，
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试题(shìtí)解析(jiě
解法二 设点 T(cos α，sin α)，则由题意可知当 α∈(0，π)时，切线与曲线 C2 相交， 由对称性可知，当 α∈(0，π2]时切线的倾斜角为 α＋π2，则切线 MN 的参数方程为
xy＝＝scions αα＋＋ttscionsαα＋＋π2π2＝＝scinosαα＋－tctsoisnαα
第一讲 坐标系与参数(cānshù)方程(选修4－4)
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试题(shìtí解) 析(jiě
1．(2016·山西四校联考)已知曲线C的参数方程为
x＝3＋
y＝1＋
10cos α 10sin α
(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系． (1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
x＝－1＋acos θ (2)圆C2： y＝－1＋asin θ
(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，
当圆C1与圆C2外切时，有 2＋|a|＝2 2，解得a＝± 2.
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试题(shìtí解) 析(jiě
7．(2016·高考全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2 ＋y2＝25.
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试题(shìtí)解析(jiě
(1)C1的普通方程为x32＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为( 3cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝|
3cos α＋sin α－4|＝ 2
2．(2016·高考全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x＝ 3cos α， y＝sin α
(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2 2. (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
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试题(shìt解í)析(jiě
(1)将x＝t代入到y＝t2＋1中，得曲线C的普通方程为y＝x2＋1，将
x＝ρcos y＝ρsin
θ θ
代入
到曲线C的普通方程y＝x2＋1中，得曲线C的极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ＋1， 即ρ2sin2θ＋ρsin θ＝ρ2＋1.
(2)证明：由已知，两切线的斜率存在，设切点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)， ∵y′＝2x，∴切线AP：y－yP＝2xP(x－xP)，即2xPx－y－yP＋2＝0. 切线AQ：y－yQ＝2xQ(x－xQ)，即2xQx－y－yQ＋2＝0. 又两切线均过点A(m,0)，
将xy＝＝ρρscions
θ θ
代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ.
(2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1，
∴圆心C到直线的距离为d＝32 2，
∴弦长为2 10－92＝ 22.
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试题(shìtí解) 析(jiě
试题(shìtí解) 析(jiě
(t 为参数)，
与 C2 的直角坐标方程联立，得 t2－2tcos α＋1－2sin α＝0， 则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sin α|，
因为 α∈(0，π2]，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
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(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极
坐标方程；
(2)直线l的参数方程是
x＝tcos α， y＝tsin α
(t为参数)，l与C交于A，B两
点，|AB|＝ 10，求l的斜率．
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试题(shìtí)解析(jiě
(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
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试题(shìt解í)析(jiě
(1)依题，因为ρ2＝x2＋y2，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1， 所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1， 又y＝ρsin θ，所以ρ2－2ρsin θ＝0， 即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)解法一 由题令T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的
(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C截得的
弦长．
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x＝3＋ 10cos α (1)∵曲线C的参数方程为y＝1＋ 10sin α (α为参数)， ∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①
曲线C表示以(3,1)为圆心， 10为半径的圆．
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试题(shìt解í析) (jiě
(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)，
所以ρ2＝4ρsin(θ－π6)＝4ρ(
3 2 sin
θ－12cos
θ)．
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2 3y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为：x2＋y2＋2x－2 3y＝0.
所以－2≤－t≤2，即 3x＋y的取值范围是[－2,2]．
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试题(shìt解í)析(jiě
6．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A(2，π2)，B(2 2，π4)． (1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程； (2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标
x＝－1＋acos θ 系，圆C2的参数方程为y＝－1＋asin θ (θ是参数)，若圆C1与圆 C2外切，求实数a的值．