光的衍射 衍射的基本原理
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1
h
＋1构成封闭曲面； ＋1 围成空间区域 ；
D xy
o
y
x
4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ) 他将空间 P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各 点光场建立起了联系，得到了倾斜因子K() 的具体 表达式，建立起了光的衍射理论。
(4)
V
n
n P
1. 基尔霍夫积分定理 将(3)式代入，可得
2 E ( P) k 2 E ( P) 0 (5)
式中，k =ω/c，该式即为亥姆霍兹方程。
E ( P, t ) E ( P)eit
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
(3)
(4)
1. 基尔霍夫积分定理 现在假设有另一个任意复函数 G ，它也满足亥姆霍 兹方程
（Q） 则 d 面元上的次波源对 P 点光场的贡献为 E
eikr dE ( P)= CK ( ) E (Q) d r
C 是比例系数， r QP ， K() 称为倾斜因子，它是 与元波面法线和 QP 的夹角 (称为衍射角)有关的量
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 按照菲涅耳的假设：当＝0 时，K 有最大值；随着
E G (G E E G )dV G E d n n V
2 2
式中，V 是Σ 面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系， 左边的被积函数在 V 内处处为零。
2 E ( P) k 2 E ( P) 0 (5)
2G k 2G 0
下面介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量 波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)
惠更斯次波波源 菲涅耳相干叠加 基尔霍夫数学表达式
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
2) 在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)
圆孔衍射
S
H
P
*
G
单缝衍射
S
*
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) 变小模糊同心圆环圆环增大
K
S
当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带， 当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带。
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
A ikR E (Q )= e R
(1)
4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ) 基尔霍夫从微分波动方程出发,利用格林定理,给出了 惠更斯—菲涅耳原理较完善的数学表达式。
z
光的衍射 (Diffraction)
在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最 基本的衍射现象和应用：
菲涅耳衍射(近场衍射)
夫琅和费衍射(远场衍射)
4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)
定义: 光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物 时，所发生的偏离直线传播的现象。 1) 光可统过障碍物;
2G k 2G 0
且在Σ 面内和Σ 面上有连续的一、二阶偏微商(个 别点除外)。
1. 基尔霍夫积分定理 如果作积分
E G Q G E d n n (6)
/n 表示在Σ 上每一点沿向外法线方向的偏微商。
V
n P
n
1. 基尔霍夫积分定理 则由格林定理，有
(n, r)
下面确定这三个面上的
(n, l) n S l
Q r
1
R
2
E 和 E/n 。
P
2. 基尔霍夫衍射公式 ①在上Σ， E 和 E/n 的值由入射波决定，与不存在 屏时的值完全相同。因此
A ikl e l E 1 A ikl cos(n, l ) ik e n l l E
V
(9)
eikr G r
(7)
n
n
P
1. 基尔霍夫积分定理
对于Σε 面上的点，cos(n, r)＝－1，r＝，所以，
G 1 eikr ( ik ) n r r
G G 1 eikr cos(n, r ) cos(n, r )( ik ) n r r r
的增大，K 迅速减小，当 ≥/2 时，K＝0。
z
R Q S
r P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 所以 P 点的光场复振幅为
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
这就是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式，称为惠
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式 ③对于Σ2 面，r＝R，cos(n, R)＝1，且有
eikR 1 eikR R1 eikR ik ik n R R R R
(n, l) n S l
(12)
A 是离点光源单位距离处的振幅，cos(n, l) 表示外向 法线 n 与从 S 到Σ 上某点Q 的矢量 l 之间夹角 的余弦。
2. 基尔霍夫衍射公式 ②在不透明屏的背照面Σl 上， E =0 ， E/n =0 。
通常称这两个假定 为基尔霍夫边界条 件。应当指出，这 两个假定都是近似 的，因为屏的存在 必然会干扰 Σ 处 的场，特别是开孔 边缘附近的场。
E G 0 E G d 4πE ( P) n n
1.基尔霍夫积分定理
它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ 上的光场 联系了起来：
1 E eikr eikr E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
(8)
G 1 eikr ( ik ) n r r
2 4 π 的球面积为
ik ik e E 1 e 2 4π E ik n
=4π e
ik
E 4πEeik 4π ikeik n
0 时
4π e
ik
E 0; 4π ikeik 0 n
1.基尔霍夫积分定理 故有
1 E eikr E ( P) 4π n r eikr E d (10) n r
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。
1. 基尔霍夫积分定理 因而
2 2 ( G E E G )dV 0 V
根据 G 所满足的条件，可以选取 G 为球面波的波函 数：
eikr G r (7)
这个函数除了在 r = 0 点外，处处解析。
1. 基尔霍夫积分定理
(6)式中的Σ 应选取图所示的复合曲面Σ+Σ，其中Σ
是包围 P 点、半径为小量ε的球面。该积分为
E G E G d 0 n n
(8)
V n
n
E G Q G E d n n
P
(6)
1. 基尔霍夫积分定理 由(7)式，有
G G 1 eikr cos(n, r ) cos(n, r )( ik ) n r r r
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
2. 基尔霍夫衍射公式 如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有 一开孔Σ，用点光源 S 照明，并设Σ 的线度δ 满足
(n, r)
< <<Min(r , l )
(n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
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2. 基尔霍夫衍射公式 围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成 ：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P 点为中 心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)
光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是
相干光波叠加引起的光强的更新分布，所不同之处
在于:
(1)干涉现象是有限个相干光波的叠加; (2)衍射现象则是无限多个相干光波的叠加结果。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) 衍射现象约特殊性，在数学上遇到了很大的困难， 以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而， 实际的衍射理论都是一些近似解法。
Q r
1
R
2
n (n, R)
P
2. 基尔霍夫衍射公式 因此，在Σ2 上的积分为
2 1 eikr E 1 eikr E ikE d ikE R d 4π 2 R n 4π R n
Ω 是Σ2 对 P 点所张的立体角，dω 是立体角元。
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula )
这个理论将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁 场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分 量也可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场 矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理论。
更斯—菲涅耳公式。
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为
A ikR e R
E (Q )=
z
R Q S
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 由于 K() 的具体形式未知，不可能由(1)式确切地 确定 E ( P) 值。因此，从理论上来讲，这个原理是不 够完善的。
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
E eikr 1 E ( P) 4π 1 2 n r eikr E n r d (11)
1. 基尔霍夫积分定理 假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ 传播，在 t 时 刻、空间 P 点处的光电场为
E ( P, t ) E ( P ) e
it
(3)
V
n
n P
1. 基尔霍夫积分定理 若P 是无源点，该光场应满足如下的标量波动方 程：
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
eikR 1 eikR R1 eikR ik ik n R R R R
(9)
1. 基尔霍夫积分定理 因此
ik ik E G e E 1 e 2 E E ik G d 4π n n n
0
4πE ( P)
E G E G d 0 n n
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
2. 基尔霍夫衍射公式 现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某 些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的 形式。
1 E eikr eikr E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
惠更斯原理:
S
平面波
球面波
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
根据惠更斯—菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之 间任一波面Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的 结果。 z
R S Q
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
h
＋1构成封闭曲面； ＋1 围成空间区域 ；
D xy
o
y
x
4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ) 他将空间 P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各 点光场建立起了联系，得到了倾斜因子K() 的具体 表达式，建立起了光的衍射理论。
(4)
V
n
n P
1. 基尔霍夫积分定理 将(3)式代入，可得
2 E ( P) k 2 E ( P) 0 (5)
式中，k =ω/c，该式即为亥姆霍兹方程。
E ( P, t ) E ( P)eit
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
(3)
(4)
1. 基尔霍夫积分定理 现在假设有另一个任意复函数 G ，它也满足亥姆霍 兹方程
（Q） 则 d 面元上的次波源对 P 点光场的贡献为 E
eikr dE ( P)= CK ( ) E (Q) d r
C 是比例系数， r QP ， K() 称为倾斜因子，它是 与元波面法线和 QP 的夹角 (称为衍射角)有关的量
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 按照菲涅耳的假设：当＝0 时，K 有最大值；随着
E G (G E E G )dV G E d n n V
2 2
式中，V 是Σ 面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系， 左边的被积函数在 V 内处处为零。
2 E ( P) k 2 E ( P) 0 (5)
2G k 2G 0
下面介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量 波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)
惠更斯次波波源 菲涅耳相干叠加 基尔霍夫数学表达式
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
2) 在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)
圆孔衍射
S
H
P
*
G
单缝衍射
S
*
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) 变小模糊同心圆环圆环增大
K
S
当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带， 当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带。
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
A ikR E (Q )= e R
(1)
4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula ) 基尔霍夫从微分波动方程出发,利用格林定理,给出了 惠更斯—菲涅耳原理较完善的数学表达式。
z
光的衍射 (Diffraction)
在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最 基本的衍射现象和应用：
菲涅耳衍射(近场衍射)
夫琅和费衍射(远场衍射)
4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)
定义: 光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物 时，所发生的偏离直线传播的现象。 1) 光可统过障碍物;
2G k 2G 0
且在Σ 面内和Σ 面上有连续的一、二阶偏微商(个 别点除外)。
1. 基尔霍夫积分定理 如果作积分
E G Q G E d n n (6)
/n 表示在Σ 上每一点沿向外法线方向的偏微商。
V
n P
n
1. 基尔霍夫积分定理 则由格林定理，有
(n, r)
下面确定这三个面上的
(n, l) n S l
Q r
1
R
2
E 和 E/n 。
P
2. 基尔霍夫衍射公式 ①在上Σ， E 和 E/n 的值由入射波决定，与不存在 屏时的值完全相同。因此
A ikl e l E 1 A ikl cos(n, l ) ik e n l l E
V
(9)
eikr G r
(7)
n
n
P
1. 基尔霍夫积分定理
对于Σε 面上的点，cos(n, r)＝－1，r＝，所以，
G 1 eikr ( ik ) n r r
G G 1 eikr cos(n, r ) cos(n, r )( ik ) n r r r
的增大，K 迅速减小，当 ≥/2 时，K＝0。
z
R Q S
r P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 所以 P 点的光场复振幅为
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
这就是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式，称为惠
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式 ③对于Σ2 面，r＝R，cos(n, R)＝1，且有
eikR 1 eikR R1 eikR ik ik n R R R R
(n, l) n S l
(12)
A 是离点光源单位距离处的振幅，cos(n, l) 表示外向 法线 n 与从 S 到Σ 上某点Q 的矢量 l 之间夹角 的余弦。
2. 基尔霍夫衍射公式 ②在不透明屏的背照面Σl 上， E =0 ， E/n =0 。
通常称这两个假定 为基尔霍夫边界条 件。应当指出，这 两个假定都是近似 的，因为屏的存在 必然会干扰 Σ 处 的场，特别是开孔 边缘附近的场。
E G 0 E G d 4πE ( P) n n
1.基尔霍夫积分定理
它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ 上的光场 联系了起来：
1 E eikr eikr E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
(8)
G 1 eikr ( ik ) n r r
2 4 π 的球面积为
ik ik e E 1 e 2 4π E ik n
=4π e
ik
E 4πEeik 4π ikeik n
0 时
4π e
ik
E 0; 4π ikeik 0 n
1.基尔霍夫积分定理 故有
1 E eikr E ( P) 4π n r eikr E d (10) n r
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。
1. 基尔霍夫积分定理 因而
2 2 ( G E E G )dV 0 V
根据 G 所满足的条件，可以选取 G 为球面波的波函 数：
eikr G r (7)
这个函数除了在 r = 0 点外，处处解析。
1. 基尔霍夫积分定理
(6)式中的Σ 应选取图所示的复合曲面Σ+Σ，其中Σ
是包围 P 点、半径为小量ε的球面。该积分为
E G E G d 0 n n
(8)
V n
n
E G Q G E d n n
P
(6)
1. 基尔霍夫积分定理 由(7)式，有
G G 1 eikr cos(n, r ) cos(n, r )( ik ) n r r r
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
2. 基尔霍夫衍射公式 如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有 一开孔Σ，用点光源 S 照明，并设Σ 的线度δ 满足
(n, r)
< <<Min(r , l )
(n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
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2. 基尔霍夫衍射公式 围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成 ：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P 点为中 心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)
光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是
相干光波叠加引起的光强的更新分布，所不同之处
在于:
(1)干涉现象是有限个相干光波的叠加; (2)衍射现象则是无限多个相干光波的叠加结果。
4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) 衍射现象约特殊性，在数学上遇到了很大的困难， 以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而， 实际的衍射理论都是一些近似解法。
Q r
1
R
2
n (n, R)
P
2. 基尔霍夫衍射公式 因此，在Σ2 上的积分为
2 1 eikr E 1 eikr E ikE d ikE R d 4π 2 R n 4π R n
Ω 是Σ2 对 P 点所张的立体角，dω 是立体角元。
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
4.1.3 基尔霍夫衍射公式 (Kirchhoff diffraction formula )
这个理论将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁 场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分 量也可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场 矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理论。
更斯—菲涅耳公式。
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为
A ikR e R
E (Q )=
z
R Q S
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 由于 K() 的具体形式未知，不可能由(1)式确切地 确定 E ( P) 值。因此，从理论上来讲，这个原理是不 够完善的。
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
E eikr 1 E ( P) 4π 1 2 n r eikr E n r d (11)
1. 基尔霍夫积分定理 假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ 传播，在 t 时 刻、空间 P 点处的光电场为
E ( P, t ) E ( P ) e
it
(3)
V
n
n P
1. 基尔霍夫积分定理 若P 是无源点，该光场应满足如下的标量波动方 程：
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
eikR 1 eikR R1 eikR ik ik n R R R R
(9)
1. 基尔霍夫积分定理 因此
ik ik E G e E 1 e 2 E E ik G d 4π n n n
0
4πE ( P)
E G E G d 0 n n
eikr E ( P)= C E (Q) K ( )d r
(1)
2. 基尔霍夫衍射公式 现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某 些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的 形式。
1 E eikr eikr E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
惠更斯原理:
S
平面波
球面波
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
根据惠更斯—菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之 间任一波面Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的 结果。 z
R S Q
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)