柱下条形基础的“静力法、倒梁法”求解

柱下条形基础的“静力法、倒梁法”求解一 适用范围:
柱下条形基础通常在下列情况下采用:
1.多层与高层房屋无地下室或有地下室但无防水要求,当上部结构传下的荷载较大,地基的承载力较低,采用各种形式的单独基础不能满足设计要求时.
2.当采用单独基础所需底面积由于邻近建筑物或构筑物基础的限制而无法扩展时.
3.地基土质变化较大或局部有不均匀的软弱地基,需作地基处理时.
4.各柱荷载差异过大,采用单独基础会引起基础之间较大的相对沉降差异时.
5.需要增加基础的刚度以减少地基变形,防止过大的不均匀沉降量时.
其简化计算有静力平衡法和倒梁法两种,它们是一种不考虑地基与上部结构变形协调条件的实用简化法,也即当柱荷载比较均匀,柱距相差不大,基础与地基相对刚度较大,以致可忽略柱下不均匀沉降时,假定基底反力按线性分布,仅进行满足静力平衡条件下梁的计算.
二 计算图式
1.上部结构荷载和基础剖面图：
2.静力平衡法计算图式：
3.倒梁法计算图式：
三.设计前的准备工作
在采用上述两种方法计算基础梁之前,需要做好如下工作:
1.确定合理的基础长度
为使计算方便,并使各柱下弯矩和跨中弯矩趋于平衡,以利于节约配筋,一般将偏心地基净反
力(即梯形分布净反力)化成均布,需要求得一个合理的基础长度.当然也可直接根据梯形分布的净反力和任意定的基础长度计算基础.基础的纵向地基净反力为:
由于偏心荷载： W
M A G F p ±+=max
min e G F M )(+=
式中：p
max ____基础底面边缘最大压力值，kPa ； p min ____基础底面边缘最小压力值，kPa ；
M _______作用于基础底面的 力矩值，m ⋅kN ;
W _______基础底面的地抗拒，m 3；
e________偏心距，m 。

G________基础自重和基础上面土中。

F________上部机构传至基础顶面的竖向力值，kN;
A________基础底面积。

·由于基础的长、宽分别为b 、L,所以得到：
62BH W =
从而得到：
式中： P jmax,P jmin —基础纵向边缘处最大和最小净反力设计值.
∑F i —作用于基础上各竖向荷载合力设计值(不包括基础自重和其上覆土重,但包括 其它局部均布q i).
∑M —作用于基础上各竖向荷载 (F i ,q i) , 纵向弯矩 (M i) 对基础底板纵向中点
j j i p
F bL M bL min max =±∑∑62
产生的总弯矩设计值.
L —基础长度,如上述.
b —基础底板宽度.先假定,后按第2条文验算.
当P jmax 与P jmin 相差不大于10％,可近似地取其平均值作为均布地基反力,直接定出基础悬臂长度a 1=a 2(按构造要求为第一跨距的1/4~1/3),很方便就确定了合理的基础长度L ；如果P jmax 与P jmin 相差较大时，常通过调整一端悬臂长度a 1或a 2，使合力∑F i 的重心恰为基础的形心(工程中允许 两者误差不大于基础长度的3%),从而使∑M 为零,反力从梯形分布变为均布,求a 1和a 2的过程如下:
先求合力的作用点距左起第一柱的距离:
式中,∑M i —作用于基础上各纵向弯矩设计值之和.
x i —各竖向荷载F i 距F 1的距离.
当x ≥a/2时,基础长度L=2(X+a 1), a 2=L-a -a 1.
当x <a/2时,基础长度L=2(a-X+a 2), a 1=L-a -a 2.
按上述确定a 1和a 2后,使偏心地基净反力变为均布地基净反力,其值为:
式中, p j —均布地基净反力设计值.
由此也可得到一个合理的基础长度L.
2.确定基础底板宽度b.
由确定的基础长度L 和假定的底板宽度b,根据地基承载力设计值f,一般可按两个方向分别进行如下验算,从而确定基础底板宽度b.
基础底板纵向边缘地基反力:
应满足： x F x M
F i i
i
i =+∑∑∑j i
p F bL =∑2
max min 6bL M bL G F i p
∑∑±+=()f
p p f p
≤+≤22.1min max max min 及
基础底板横向边缘地基反力:
应满足：
式中, p max, p min —基础底板纵向边缘处最大和最小地基反力设计值
p'max, p'min —基础底板横向边缘处最大和最小地基反力设计值
G —基础自重设计值和其上覆土重标准值之和,可近似取G=20bLD,D 为基础 埋深,但在地下水位以下部分应扣去浮力.
. ∑M '—作用于基础上各竖向荷载、横向弯矩对基础底板横向中点产生的总 弯矩设计值.
其余符号同前述
当∑M '=0时,则只须验算基础底板纵向边缘地基反力
当∑M=0时,则只须验算基础底板横向边缘地基反力.
当∑M=0且∑M '=0时(即地基反力为均布时),则按下式验算,很快就可确定基础底板宽度b:
式中, p —均布地基反力设计值.
3.求基础梁处翼板高度并计算其配筋
先计算基础底板横向边缘最大地基净反力p max 和最小地基净反力p min ,求出基础梁边处翼板的地基净反力p j1,如图,再计算基础梁边处翼板的截面弯矩和剪力,确定其厚度h 1和抗弯钢筋面积.
右图中, p —翼板悬挑长度, b 1 =(b- b 0)/2
h 1—基础梁边翼板高度
b 0,h —基础梁宽和梁高
p F G bL f b F L f D i
i
=+≤⇒≥-∑∑()202
max min '6'bL M bL G F i p ∑∑±+
=()f
p p f p ≤+≤2''2.1min max max '及
基础底板横向边缘处地基净反力
式中, S —从基础纵向边缘最大地基反力处开始到任一截面的距离.
其余符号同前述
基础梁边处翼板地基净反力
基础梁边处翼板每米宽弯矩
基础梁边处翼板每米宽剪力
若∑M'=0时,则上述M,V 表达式为
若∑M=0时,则上述M,V 表达式为
但p'j1和p'j2公式中的p'jmax 和p'jmin 可简化为
若∑M=0和∑M'=0时,则上述M,V 表达式为
基础梁边处翼板有效高度
基础梁边处翼板截面配筋 ()2min max max max
min '6'bL M p p L S p j j j j j p ∑±⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=()min max 1max 1''''j j j j p p b
b p p --=1max 22112''2'3''j j j j j p p b p p M p -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112'2'b p p V j j ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=()()1min max max 21min max ,21b p p L S p V b p p L S p M j j j j j jnax ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1122112'2',2'3'b p P V b p p M j j j j ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2
max
min '
6'bL M bL F i j j p ∑∑±=b
p V b p M j j ==
,2121bL F i j p ∑=()mm f V c h ⨯⨯≥
100007.001()2
019.0mm f h M y s A =
式中, f c—混凝土轴心抗压强度设计值.
f y—钢筋抗拉强度设计值.
其余符号同前述
4.抗扭
当上述∑M'≠0时,对于带有翼板的基础梁,一般可以不考虑抗扭计算,仅从构造上将梁的箍筋做成闭合式;反之,则应进行抗扭承载力计算.
四.静力平衡法和倒梁法的应用
在采用净力平衡法和倒梁法分析基础梁内力时,应注意以下六个问题:
第一,由于基础自重和其上覆土重将与它产生的地基反力直接抵消,不会引起基础梁内力,故基础梁的内力分析用的是地基净反力.
第二,对a1和a2悬臂段的截面弯矩可按以下两种方法处理: 1.考虑悬臂段的弯矩对各连续跨的影响,然后两者叠加得最后弯矩; 2.倒梁法中可将悬臂段在地基净反力作用下的弯矩,全由悬臂段承受,不传给其它跨.
第三,两种简化方法与实际均有出入,有时出入很大,并且这两种方法同时计算的结果也不相同.建议对于介于中等刚度之间且对基础不均匀沉降的反应很灵敏的结构,应根据具体情况采用一种方法计算同时,采用另一种方法复核比较,并在配筋时作适当调整.
第四,由于建筑物实际多半发生盆形沉降,导至柱荷载和地基反力重新分布.研究表明:端柱和端部地基反力均会加大.为此,宜在边跨增加受力纵筋面积,并上下均匀配置.
第五,为增大底面积及调整其形心位置使基底反力分布合理,基础的端部应向外伸出,即
应有悬臂段.
第六,一般计算基础梁时可不考虑翼板作用.
(一)静力平衡法
静力平衡法是假定地基反力按直线分布不考虑上部结构刚度的影响根据基础上所有的作用力按静定梁计算基础梁内力的简化计算方法
1.静力平衡法具体步骤:
先确定基础梁纵向每米长度上地基净反力设计值,其最大值为p jmax*b,最小值为
p jmin *b,若地基净反力为均布则为p j *b,如图中虚线所示:
对基础梁从左至右取分离体,列出分离体上竖向力平衡方程和弯矩平衡方程,求解梁纵向任意截面处的弯矩M S 和剪力V S ,一般设计只求出梁各跨最大弯矩和各支座弯矩及剪力即可.
2.静力平衡法适用条件:
地基压缩性和基础荷载分布都比较均匀,基础高度大于柱距的1/6或平均柱距满足l,≤1.75/λ,且上部结构为柔性结构时的柱下条形基础和联合基础,用此法计算比较接近实际.
上式中 l m —基础梁上的平均柱距
其中 k s —基床系数,可按k s = p 0/S 0计算(p 0为基础底面平均附加压力标准 值,S 0为以p 0计算的基础平均沉降量),也可参照各地区性规范按
40
4I
E b k c s =
λ
土类名称及其状态已给出的经验值.
b0,I L—基础梁的宽度和截面惯性矩.
E c—混凝土的弹性模量.
3.对静力平衡法的一些看法(仅供参考评议):
❶由于静力平衡法不考虑基础与上部结构的相互作用,因而在荷载和直线分布的基底反力作用下可能产生整体弯曲.与其它方法比较,这样计算所得的基础梁不利截面的弯矩绝对值一般还是偏大.
❷上述适用条件中要求上部结构为柔性结构.如何判断上部结构为柔性结构,从绝大多数建筑的实际刚度来看均介于绝对刚性和完全柔性之间,目前还难以定量计算.在实践中往往只能定性地判断其比较接近哪一种极端情况,例如,剪力墙体系的高层建筑是接近绝对刚性的,而以屋架--柱--基础为承重体系的排架结构和木结构以及一般静定结构,是接近完全柔性的.具体应用上,对于中等刚度偏下的建筑物也可视为柔性结构,如中、低层轻钢结构;柱距偏大而柱断面不大且楼板开洞又较多的中、低层框架结构以及体型简单,长高比偏大(一般大于5以上)的结构等等.
(二)倒梁法
倒梁法是假定上部结构完全刚性,各柱间无沉降差异,将柱下条形基础视为以柱脚作为固定支座的倒置连续梁,以线性分布的基础净反力作为荷载,按多跨连续梁计算法求解内力的计算方法.
1.倒梁法具体步骤:
❶先用弯矩分配法或弯矩系数法计算出梁各跨的初始弯矩和剪力.弯矩系数法比弯矩分配法简便,但它只适用于梁各跨度相等且其上作用均布荷载的情况,它的计算内力表达式为:
M=弯矩系数* p j * b * l ; V=剪力系数* p j * b * l
如前述，p j*b即是基础梁纵向每米长度上地基净反力设计值。

其中弯矩系数和剪力系数按所计算的梁跨数和其上作用的均布荷载形式,直接从建筑结构静力计算手册中查得,l为梁跨长度,其余符号同前述。

❷调整不平衡力:由于倒梁法中的假设不能满足支座处静力平衡条件,因此应通过逐次调整消除不平衡力.
首先,由支座处柱荷载F i 和求得的支座反力R i 计算不平衡力△R i :
△R i = F i - R i ; R i = V 左i –V 右i
式中, △R i —支座i 处不平衡力,
V 左i ,V 右i —支座i 处梁截面左,右边剪力.
其次,将各支座不平衡力均匀分布在相邻两跨的各1/3跨度范围内,如图C(实际上是调整地基反力使其成阶梯形分布,更趋于实际情况,这样各支座上的不平衡力自然也就得到了消除),△q i 按下式计算:
对于边跨支座: △q i = △R 1 /(a 1 +l 1/3)
对于中间支座: △q i = △R i / (l i-1 /3 + l i /3)
式中, △q i —支座i 处不平衡均布力.
l i-1 ,l i —支座i 左右跨长度.
继续用弯矩分配法或弯矩系数法计算出此情况的弯矩和剪力,并求出其支座反力与原支座反力叠加,得到新的支座反力.
❸再次用弯矩分配法计算连续梁△q 作用下弯矩△M 、剪力△V 和支座反力△R i
将△R i 叠加在原支座反力R i 上，求得新的支座反力 R R R i
i i ∆+=' 。

若R i 接近于柱荷载F i ，其差值小于20%，则调整计算可以结束。

反之，则重复调整计算，直至满足精度要求。

❹将逐次计算结果叠加即可得到最终弯矩和剪力.
a)柱荷载F i和柱距图:
b)计算简图和支座反力R i:
c)调整不平衡力荷载△q i:
2.倒梁法适用条件:
❶地基压缩性和基础荷载分布都比较均匀,基础高度大于柱距的1/6或平均柱距满足l m ≤1.75/λ(符号同静力平衡法所述),且上部结构刚度较好时的柱下条形基础,可按倒梁法计算.
❷基础梁的线刚度大于柱子线刚度的3倍,即:
式中,E C —混凝土弹性模量..
I L —基础梁截面惯性矩.
H ,I Z —分别为上部结构首层柱子的计算高度和截面惯性矩.
同时,各柱的荷载及各柱柱距相差不多时,也可按倒梁法计算.
3.对倒梁法的一些看法(仅供参考评议):
❶满足上述适用条件之一的条形基础一般都能迫使地基产生比较均匀的下沉,与假定的地基反力按直线分布基本吻合.
❷由于假定中忽略了各支座的竖向位移差且反力按直线分布,因此在采用该法时,相邻柱荷载差值不应超过20%,柱距也不宜过大,尽量等间距.另外,当基础与地基相对刚度愈小,柱荷载作用点下反力会过于集中成“钟形”,与假定的线性反力不符;相反,如软弱地基上基础的刚度较大或上部结构刚度大,由于地基塑性变形,反力重分布成“马鞍形”,趋于均匀,此时用倒梁法计算内力比较接近实际.
❸实际工程中,有一些不需要算得很精很细,有时往往粗略地将第一步用弯矩分配法或弯矩系数法计算出的弯矩和剪力直接作为最终值,不再进行调整不平衡力,这对于中间支座及其中间跨中来说是偏于安全的,而对于边跨及其支座是偏于不安全,从几个等跨梁算例来看,一般情况下,多次调整不平衡力(此项较繁琐),结果使中间支座的内力(指弯矩,剪力)及其跨中弯矩有所减小,边跨支座剪力及其跨中弯矩有所增加,但增减幅度都不大.因此,若不进行H
I E L I E Z C L C 3>
调整平衡力,建议根据地区设计经验适当增大边跨纵向抗弯钢筋,其幅度5%左右,这在某些精度范围内一般可以满足设计要求,另外,由于各支座剪力值相差不大(除边支座外),也可取各支座最大剪力值设计抗剪横向钢筋,当然每跨的中间可以放宽.
附:
基础梁的高跨比选用参考表
注:1.选用时应注意梁高不致于过大,同时尚应综合考虑地基与上部结构对基础抗弯刚度的要求.
2.反力大时取上限.
柱下条形基础构造表
注:1.翼板根部厚度及其横向受力钢筋,梁高及其纵向受力钢筋,还须满足计算要求.
2.其它要求见图例.。