无锡市辅仁高中数学综合卷
无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
【解析】
【分析】根据圆的方程求出圆心与半径 r ,利用两点间的距离公式求得 PC , 从而切线长为 PC 2 r2 ,计
算求解即可.
【详解】圆 C : x2 y2 2x 0,即 x 12 y2 1,圆心 C 1, 0, 半径 r 1,
PC 112 0 22 2 2,
切线长为 PC 2 r2 8 1 7.
=
22-
0= 1
2 ，故 D, A,C 三点共线，如图所示，
第 5 页/共 22 页
当 PC 与圆相切时， PCA为锐角且最大， tan PCA最大， PCA即 PCD ，
由 DC
2
1 2
2
2 12
35 2
，此时
PC
DC 2 DP 2
29 ， 2
DP 则 tan PCA PC
2 4 29 29 29 .
a b ， c 不共面，则能构成基底；
D 中， c
abc
ab
rrr ，所以 a b ， a b c ， c 共面，不能构成基底.
故选：ABD
第 6 页/共 22 页
10. (多选)已知双曲线 C1 :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的离心率为 2.若抛物线 C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线
故选：D.
7. 已知椭圆 x2 y2 1 （ a b 0 ）的面积为 πab ，求满足 x2 2 y2 2 2x2 y2 1 0的点 a2 b2
P x, y 所构成的平面图形的面积为（ ）
A. 3 2 π 2
【答案】C 【解析】
B. 2π
C. 2π 2
D. 2π
【分析】由题意点
江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,4a =-r ，(),2b x =r ，且a b ⊥r r ，则x =（ ）A ．8-B ．12-C ．12 D ．82．设,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，//n α，则//m αB ．若//αβ，//l α，则//l βC ．若//αβ，l ⊂α，则//l βD ．若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，则//αβ3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，π3B =，△ABC 的面积等于b 的大小为（ ）A ．BC ．4D ．21 4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知2,,AB BC CD AB BC AC CD ===⊥⊥，若DB AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．B ．2CD 5．如图，实心正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为,Q R ．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R 为顶点，以正方形1111D C B A 的内切圆为底面，另一个圆锥以Q 为顶点，以正方形ABCD 的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（ ）A ．5π848-B ．7π848-C ．25π824-D ．7π86-6．已知e r 是单位向量，且2e a -=r r 2a e +r r 在e r 上的投影向量为5e r ，则a r 与e r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π127．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A ，B ，C 处测得阁顶端点P 的仰角分别为30︒，60︒，45︒，且75AB BC ==米，则滕王阁的高度OP =（ ）米．A ．B ．CD 8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，12BC CC ==，点P 在矩形11BCC B 内运动（包括边界），M ，N 分别为1,BC CC 的中点，若1//A P 平面MAN ，当1A P 取得最小值时，1B BP ∠的余弦值为（ ）A B C D二、多选题9．已知{}12,e e u r u u r 是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（ ） A ．{}12122,42e e e e --+u u r u u r B ．{}1222,2e e e -u r u u r u u r C ．{}1212,22e e e e --u r u u r u r u u r D ．{}1212,e e e e -+u r u u r u r u u r 10．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（ ）A ．弧AD 长度为3π2B ．曲池的体积为10π3C ．曲池的表面积为2014π+D ．三棱锥1A CC D -的体积为511．在ABC V 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，则下列叙述正确的是（ ）A ．若cos cos b C cB b +=，则ABC V 是等腰三角形.B ．若A B >，则cos2cos2A B <.C ．若2,3,30a b A ︒==∠=，则解此三角形的结果有一解.D ．若角C 为钝角，则333a b c +<.三、填空题12．ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则sin C = . 13．下列四个正方体图形中，A ､B 为正方体的两个顶点，M ､N ､P 分别为其所在棱的中点，能得出AB 与MP 是异面直线的序号是 ；能得出//AB 面MNP 的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号①②③④).14．已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r L .四、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，4AB =，2CD =，点M 在棱PD 上.（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）若//PB 平面MAC ，求PM MD的值. 16．如图，在ABC V 中，25AD AB =u u u r u u u r ，点E 为AC 中点，点F 为BC 上的三等分点，且靠近点C ，设,CA a CB b ==u u u r u u u r r r .(1)用,a b r r 表示,EF CD u u u r u u u r ；(2)如果60,2︒∠==ACB AC ，且CD EF ⊥，求||CD u u u r .17．在①cos 0b A c -=，②cos cos a B b A =，③cos 0a C b +=这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知b =4c =，且满足______.(1)请写出你的选择，并求出边a 的值；(2)在（1）的结论下，已知点D 在线段BC 上，且3π4ADB ∠=，求CD 长. 18．如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，AB AC ⊥，AB =（1）若30ABC ∠=︒，CD =，求BD 的长；（2）若2AC =，30ADB ∠=︒，求sin CAD ∠的值．19．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是线段1AA 的中点，平面α过点1D C E 、、.(1)画出平面α截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；(2)求（1）中截面多边形的面积；(3)平面 截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.。
2025届江苏省无锡市辅仁高级中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
2025届江苏省无锡市辅仁高级中学高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+2．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32 C ．23-D ．233．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =4．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B ．21+C ．312+ D ．31+5．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=-- D ．4sin()84y x ππ=+6．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．08．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 9．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．2411．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省辅仁高级中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析
江苏省辅仁高级中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( ) A ．2± B ．2- C ．22 D ．22±2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B 5C ．102D ．1055．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．1086．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]7．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12B ．22C ．32D ．338．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．99．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A 2B ．98C ．1D ．7810．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦11．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省辅仁高级中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
江苏省辅仁高级中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果在一实验中，测得(,)x y 的四组数值分别是()()()()2,6,4,7.6,6,10.4,8,12A B C D ，则y 与x 之间的回归直线方程是（ ）A.2 1.8ˆ=+yx B. 1.04 3.ˆ8=+yx C. 1.04 2.ˆ8=+yx D.2 1.8ˆ=-yx 2．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A 、B 、C 、D 、E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（） A.45B.12C.47D.383．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“222+=勾股弦”.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =交双曲线左、右两支于,A B 两点，若12,AF AF 恰好是12R t F AF 的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（）1C.214．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球 C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球5．已知直线+(0)y x t t =>与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，当AOB 的面积最大时，t 的值是（）A.1C.2D.226．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '图象如图，则下列说法正确的是（）A.()f x 存在极大值点B.()f x 在()0,∞+单调递增C.()f x 一定有最小值D.不等式()0f x <一定有解7．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，点P 是C 上的一点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的渐近线与x 轴的夹角的取值范围是（ ） A.0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B.0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积222()sin2S a b c C =+-，则cos C =（）A.24±B.24C.14±D.149．若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<；②a b >；③a b <；④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ） A.0个 B.1个 C.2个D.3个10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是1DD ，BD 的中点，点G 是棱11B C 上的点且满足112B G GC =，则两异面直线EF ，CG 所成角的余弦值是（）A.3015B.3030C.1515D.153011．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（ ） A.1 B.2 C.22D.412．函数||()sin =-x f x e x 的图像大致是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
推荐-无锡市辅仁高中高三数学综合测试(2)20183[整理] 精品
![推荐-无锡市辅仁高中高三数学综合测试(2)20183[整理] 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/afd14b2e31126edb6f1a10f0.png)
无锡市辅仁高中高三数学综合测试（2）2018.3一．选择题：1．1．集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，映射f:A →B 使得B 中有且只有一个元素在A 中的原象为2个，这样的映射f 的个数为（ C ）A ．3B ．5C ．6D ．8 2．下列判断错误的是（B ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）3．已知一个简单多面体的各个顶点都有3条棱.设F,E,V 分别表示多面体的面数,棱数,顶点数,则2F-V 等于( B )A ．2B 。
4C 。
8D 。
124．若L 是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与L 垂直且被L 平分的弦（ D ）A.有且只有一条B. 有且只有2条C.有3条D. 不存在5．函数f(x)的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数g(x)的图象与曲线C 关于y=x 成轴对称，那么g(x)等于（ A ）A ．g(x)=f(x)-1B 。
g(x)=f(x+1)C ．g(x)=f(x)+1D 。
g(x)=f(x-1)6．平面向量a =(x,y)，b =(x 2,y 2)，c =(1,1)，d =(2,2)，若a •c =b •d =1，则这样的向量a 有（A ） A ．1个 B ．2个 C ．多于2个 D ．不存在7．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜π ）的图像的大致形状是（B ）8．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点 （－2，4）重合，若点（7，3）与点（m ,n ）重合，则m +n 的值为（C ） A.4 B.－4 C.10 D.－10 9．设方程|lg |2x x=-的两根为x 1、x 2，则（D ）A.x 1x 2＜0B.x 1x 2=1C.x 1x 2＞1D.0＜x 1x 2＜110．如图，正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并且λ==FDCFEB AE （0＜λ＜＋∞），设α 为异面直线EF 与AC 所成的角，β 为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β 的值是 （C ） A ．6π B ．4π C ．2πD ．与λ 有关的变量 11．如果函数f(x)在区间D 上满足，对区间D 上的任意x 1,x 2,…,x n ,有：),()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≤+++ 则称f(x)在区间D 为凸函数，已知：y =sinx 在区间（0，π）上是凸函数，那么在ΔABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为 （ C ） A ．21B ．23C ．233 D ．23 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1=1,点(n , S n )在曲线C 上,C 和直线x －y ＋1=0交于A,B 两点,|AB|= 6 ,那么这个数列的通项公式是( C )(A)21n a n =- (B) 32n a n =- (C) 43n a n =- (D) 54n a n =- 二．填空题：13．在条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥52,1,0y x x y 下，1+=x y z 的最大值为 23 。
无锡市辅仁高中高三数学测试
无锡市辅仁高中高三数学测试06.02.21姓名 班级一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 1．已知0>>b a ，全集U=R ，集合M=}2|{ba xb x +<<，N=}|{a x ab x <<，P=}|{ab x b x ≤<，则P 与M 、N 的关系为 （ ）A ．P= (C U M) NB ．P=M (C U N) C ．P=M ND ．P=M N2．等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为 ( ) A ．75 B ．70 C ．120 D ．1003．先将)(x f y =的图象沿x 轴向右平移3π个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与x y cos =的图象相同，则)(x f y =是 （ ） A ．)62cos(π+=x y B ． )32cos(π+=x yC ．)322cos(π+=x y D ．)322cos(π-=x y 4．已知直线m 、n 和平面α，则n m //的一个必要不充分条件是 （ ） A ． α//m ，α//n B ．α⊥m ，α⊥n C ． α//m ，α⊂n D ．m 、n 与α成等角5．函数23log )(x x f =在其定义域上单调递减，且值域为]4,2[，则它的反函数的值域是 （ ） A ．]9,3[-B ．]3,9[-C ．]3,9[--D ．]9,3[6．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ的值等于 （ ）A ．2()||a b a a b ⋅-- B ．2()||a ab a b ⋅-- C ．()||a b a a b ⋅--D ．()||a ab a b ⋅--7．将1－9这9个不同的数字分别填入右图中的方格中，要求每行自左至右数字从小到大排，每列自上到下数字也从小到大排，并且5排在正中的方格，则不同的填法共有 （ ）A ．24种B ．20种C ．18种D ．12种8．圆04822=-++y x y x 与圆2022=+y x 关于直线b kx y +=对称，则k 与b 的值分别等于 ( ) A ．2-=k ，5=b B ．2=k ，5=b C ．2=k ，5-=b D ．2-=k ，5-=b9． A 为三角形的一个内角，且22cos sin =+A A ，则A 2s i n 与A 2cos 的值依次为 ( )A ．23,21 B ．23,21- C ．23,21-- D ．23,21- 10．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c ．若c 是a 与m 的等比中项，2n 是2m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率等于 （ ）A ．31 B ．33 C ．21 D ．22 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分；把答案题中的横线上．11．设n x x )5(3121-的展开式的各项系数之和为M ，且二项式系数之和为N ，M —N=992，则展开式中x 2项的系数为 ．12．设12()1f x x=+，定义11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则100a =13．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 .（63） 14．有下列四个命题：①函数)0(41≠+=x xx y 的值域是),1[+∞；②平面内的动点P 到点F )3,2(-和到直线l :012=++y x 的距离相等，则P 的轨迹是抛物线；③直线AB 与平面α相交于点B ，且AB 与α内相交于C 的三条互不重合的直线CD 、CE 、CF 所成的角相等，则AB α⊥；④函数2)32sin(3-+=πx y 的最小正周期是π．其中正确的命题的编号是 ．15．如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 ． 16．已知函数xy 1=的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为 ．三、解答题：本大题6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（ 12分）在袋里装30个小球，其中彩球有：n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球. 求：(Ⅰ)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？（用数字作答）(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是40613，且n ≥2，计算红球有几个？ABCA 1B 1C 1G E18．（ 12分）已知向量).,0(),1,0(),2cos 1,2(sin ),sin ,(cos π∈=-==x c x x b x x a （Ⅰ）向量b a ⋅是否共线?请说明理由.（Ⅱ）求函数x f ⋅+-=)(||)(的最大值.19．（ 12分）如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成︒60角，AA 1=2，底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点，E 是线段BC 1上一点，且BE=31BC 1 （Ⅰ）求证：GE//侧面AA 1B 1B ；（Ⅱ）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小。
无锡市辅仁高中高三数学测试.doc
无锡市辅仁高中高三数学测试06.02.21姓名 班级一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 1．已知0>>b a ，全集U=R ，集合M=}2|{ba xb x +<<，N=}|{a x ab x <<，P=}|{ab x b x ≤<，则P 与M 、N 的关系为 （ ）A ．P= (C U M) NB ．P=M (C U N) C ．P=M ND ．P=M N2．等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为 ( ) A ．75 B ．70 C ．120 D ．1003．先将)(x f y =的图象沿x 轴向右平移3π个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与x y cos =的图象相同，则)(x f y =是 （ ）A ．)62cos(π+=xy B ． )32cos(π+=x yC ．)322cos(π+=x yD ．)322cos(π-=x y4．已知直线m 、n 和平面α，则n m //的一个必要不充分条件是 （ ） A ． α//m ，α//n B ．α⊥m ，α⊥n C ． α//m ，α⊂n D ．m 、n 与α成等角5．函数23log )(x x f =在其定义域上单调递减，且值域为]4,2[，则它的反函数的值域是（ ） A ．]9,3[-B ．]3,9[-C ．]3,9[--D ．]9,3[6．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ的值等于 （ ）A ．2()||a b a a b ⋅--B ．2()||a a b a b ⋅--C ．()||a b a a b ⋅--D ．()||a ab a b ⋅--7．将1－9这9个不同的数字分别填入右图中的方格中，要求每行自左至右数字从小到大排，每列自上到下数字也从小到大排，并且5排在正中的方格，则不同的填法共有 （ ）A ．24种B ．20种C ．18种D ．12种8．圆04822=-++y x y x 与圆2022=+y x 关于直线b kx y +=对称，则k 与b 的值分别等于 ( ) A ．2-=k ，5=b B ．2=k ，5=b C ．2=k ，5-=b D ．2-=k ，5-=b 9． A 为三角形的一个内角，且22cos sin =+A A ，则A 2s i n 与A 2cos 的值依次为 ( )A ．23,21 B ．23,21- C ．23,21-- D ．23,21- 10．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c ．若c 是a 与m 的等比中项，2n 是2m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率等于 （ ）A ．31B ．33 C ．21D ．22二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分；把答案题中的横线上．11．设nx x )5(3121-的展开式的各项系数之和为M ，且二项式系数之和为N ，M —N=992，则展开式中x 2项的系数为 ．12．设12()1f x x=+，定义11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则100a =13．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 .（63） 14．有下列四个命题：①函数)0(41≠+=x xx y 的值域是),1[+∞；②平面内的动点P 到点F )3,2(-和到直线l :012=++y x 的距离相等，则P 的轨迹是抛物线；③直线AB 与平面α相交于点B ，且AB 与α内相交于C 的三条互不重合的直线CD 、CE 、CF 所成的角相等，则AB α⊥；④函数2)32sin(3-+=πx y 的最小正周期是π． 其中正确．．的命题的编号是 ． 15．如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 ． 16．已知函数xy 1=的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为 ．三、解答题：本大题6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（ 12分）在袋里装30个小球，其中彩球有：n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球. 求：(Ⅰ)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？（用数字作答）(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是40613，且n ≥2，计算红球有几个？ABCA 1B 1C 1G E18．（ 12分）已知向量).,0(),1,0(),2cos 1,2(sin ),sin ,(cos π∈=-==x c x x b x x a （Ⅰ）向量b a ⋅是否共线?请说明理由.（Ⅱ）求函数x f ⋅+-=)(||)(的最大值.19．（ 12分）如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成︒60角，AA 1=2，底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点，E 是线段BC 1上一点，且BE=31BC 1 （Ⅰ）求证：GE//侧面AA 1B 1B ；（Ⅱ）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小。
江苏省无锡市辅仁高级中学2025届高三上学期10月联合调研数学试卷
江苏省无锡市辅仁高级中学2025届高三上学期10月联合调研数学试卷一、单选题1．已知{}()260,{lg 10}A xx x B x x =+-≤=-<∣∣，则A B =I （ ） A ．{}32xx -≤≤∣ B ．{32}xx -≤<∣ C ．{12}xx <≤∣ D ．{12}xx <<∣2．“lg lg x y >”是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点(3,4)P ，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45- B ．35-C ．35D ．454．函数22sin 1()e ex xx x f x --+=-的部分图象大致为（ ）． A ． B ．C ．D ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且225a b bc -=，2π3A =，则s i n s i n CB =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦7．()1212,[1,e]x x x x ∀∈≠，均有122121ln ln x x x x a x x -<-成立，则a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．[)1,+∞ C ．[]0,1 D ．[)0,+∞8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()1sin π4f x x =-，若对任意(],x m ∞∈-，都有()f x ≥m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．5,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．8,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦二、多选题9．已知0a >，0b >，21a b +=，则（ ） A ．21a b+的最小值为4B ．22a b +的最小值为15C ．1122log log a b +的最小值为3D ．24a b +的最小值为10．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线 11．已知函数()sin f x x x =，则下列说法中正确的有（ ）A ．函数()f x 的值域为[1,2]B ．直线是6x π=函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 在910109ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数三、填空题 12．已知1tan 4tan αα+=，则2πcos ()4α+=.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，4c =，且ABC V的面积)222S a c b =+-，若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，则BD =．14．函数,0ky k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处的切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =．四、解答题15．已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.先将()f x 图象上的每个点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象.(1)求()g x 的解析式；(2)已知α，β均为锐角，π835f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()12sin 13αβ-=-，求()sin 2αβ-的值.16．在ΔABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ΔABC 的面积.17．已知真命题：“函数y =f x 的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-的图象关于原点对称”.(1)将函数323y x x =-的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数y =g x 图象对称中心的坐标； (2)求函数22log 4xy x=-图象对称中心的坐标. 18．2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD 是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD 连接，经测量已知 2AB BC CD AD ====，(1)若 120C ∠=︒，求此花卉布展区域总面积；(2)求证：cos A C -为一个定值；(3)在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c .若 ()21,1a b b c +==，b-的取值范围19．函数()y f x =满足：对任意x I ∈，()f x kx b ≥+恒成立（或()f x kx b ≤+恒成立），则称直线y kx b =+是函数()y f x =在x I ∈上的支撑线．(1)下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明； ①1y x x=+②3y x = ③e x y = ④sin cos y x x =+ (2)动点P 在函数()e 2x f x =+图象上，直线:(1)l y a x =-是()ln g x x =在定义域上的支撑线，求点P 到直线l 的距离最小值；(3)直线1y x =+是函数2()e x f x ax =-在[0,)x ∈+∞上的支撑线，求实数a 的取值范围．。
江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集U ，集合M ，N 满足M N U ⊆⊆，则下列结论正确的是（ ） A ．M N U ⋃= B ．()()U U M N ⋂=∅痧 C ．()U M N ⋂=∅ð D ．()()U U M N =∅U 痧2．已知命题1:0x p x-≤，命题():10q x x -≤，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x ()1g x x =-；②()0f x x =与()()10g x x =≠③()221f x x x =--与()221g t t t =--；④()f x =()g x =A ．②③ B ．①④ C ．①② D ．②③④4．已知集合{}{}221,,0,1,5,9A a a B a a =-=--， 若{}9A B ⋂=， 则实数a 的值为（ ）A ．5或3-B ．3±C ．5D ．3-5．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，则29c a b++的取值范围为（ ） A ．[)6,-+∞B ．(,6)-∞C ．(6,)-+∞D ．(],6∞--6．已知方程2260x ax a +++=的两根分别是1x 和2x ，且满足22121210x x x x +≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]5,1--B ．[]1,5C ．[]5,2--D ．(]3,57．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 8．已知[]1,2x ∀∈，[]2,3y ∀∈，220y xy mx -≤-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)4,+∞B ．[)0,+∞C ．[)6,+∞D ．[)8,+∞二、多选题9．对于任意实数a b c d ,,,，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若a b >，则11a b< D ．若0a b >>，则11b b a a +<+ 10．已知a ，b 均为正数，且251a b +=，则下列结论一定正确的是（ ）A ．11a b> B ．914a b a b+++的最小值是16 C ．ab 的最大值是140D ．228501a b +≥11．设U 是一个非空集合，F 是U 的子集构成的集合，如果F 同时满足：①F ∅∈，②若,A B F ∈，则()UA B F ⋂∈ð且A B F ⋃∈，那么称F 是U 的一个环.则下列说法正确的是（ ） A ．若{1,2,3,4,5,6}U =，则 {,{1,3,5},{2,4,6},}F U =∅是U 的环 B ．若{,,}U a b c =，则存在U 的一个环F ，F 含有8个元素C ．若U =Z ，则存在U 的一个环F ，F 含有4个元素且{2},{3,5}F ∈D ．若U =R ，则存在U 的一个环F ，F 含有7个元素且[0,3],[3,5]F ∈三、填空题12．已知集合102x M x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{N 2}Q x x =∈≤‖∣，则M Q ⋂=. 13．命题p ：“0x ∀>，使得22230x ax a +++≥”的否定为；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围.14．已知实数a ，b 满足11a b -<<<，且2a b +=，则1311a ab ++-的最小值为．四、解答题15．已知集合101x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2560B x x x =--<∣，{231}C x a x a =-<<+∣． (1)求()U A B I ð；(2)若x B ∈是x C ∈的必要条件，求a 的取值范围．16．（1）已知0x >，0y >，21x y +=，证明：211125x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明：当01a <≤，01b <≤时，有1ab a b -≥-. 17．设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+-+-∈ (1)若2a =-，求()0f x <的解集．(2)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围； (3)解关于x 的不等式：()1f x a <-．18．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入a 万元（0a >），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x N ∈且90150x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加()2%x ，技术人员的年人均投入调整为25x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元.(1)要使这200x -名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.19．已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n =≥∈N L ，若1212n n a a a a a a +++=⨯⨯⨯L L ，则称A 为“完全集”.(1)判断集合{}1,2-是否为“完全集”，并说明理由； (2)若A 为“完全集”，且*A ⊆N ，用列举法表示集合A （不需要说明理由）； (3)若集合{},a b 为“完全集”，且,a b 均大于0，证明：,a b 中至少有一个大于2.。
江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高一上学期12月教学质量抽测数学试题(二)
kÎ Z ，
答案第31 页，共22 页
解得
8k
-
3
£
w
£
4k
+
1 2
，当
k
=
0
时，
-3
£
w
£
1 2
，又因为
0
<
w
£
4
，∴
0
<
w≤
1 2
.
故选：A 8．A
【分析】构造函数 g ( x) = f ( x) +1 ，判断 g ( x) 的单调性和奇偶性，由此求得不等式
f ( x) + f (2x -1) > -2 的解集.
函数模型 y = px2 + q （ p > 0 ）与 y = kax （ k > 0 ， a > 1 ）可供选择.
试卷第41 页，共33 页
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个时间单位，该变异毒株的数量不少于一亿个. （参考数据： 5 » 2.236 ， 6 » 2.449 ， lg 2 » 0.301， lg 6 » 0.778 ） 21．对函数 y = f (x) ，若 $x0 Î R ，使得 f (x0 ) = mx0 成立，则称 x0 为 f (x) 关于参数 m 的不
答案第21 页，共22 页
( )( ) = 2x ´ a2x -1 1- 2x = 0 ，
y 1 2x 不恒为 0 ，则 2x ´ a2x -1恒为 0 ，
( ) 由 2x ´ a2x -1 = 0 得
a2
x
=
æ çè
1 2
öx ÷ø
恒成立，所以 a2
【数学】无锡市辅仁高级中学2021-2022学年高一下学期教学质量抽测(一)数学试题
无锡辅仁高中2021-2022学年第二学期教学质量抽测（一）高一数学试卷一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知(2,),(,2)a k b k == ，若a b ∥，则k 等于（）A .4B.2± C.2- D.22.已知平面非零向量,,a b c r r r ，则“()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ”是“b c =r r”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在△ABC 中，若其面积为S ，且AB AC=S ，则角A 的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°4.一物体在力F 的作用下，由点(4,2)A -移动到点(5,4)B .已知()3,2F = ，则F对该物体所做的功为（）A .15- B.15C.28D.28-5.已知向量,a b满足||2,(1,1),2a b a b ==⋅=- ，则cos ,a a b -= （）A.10B.10-C.10D.10-6.在ABC 中，已知4AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，点E 在线段BC 上，且满足2BE EC =，则AE 的长度为（）A.52 B.73C.3D.7.图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则cos ABD ∠=（）A.914B.1114C.1314D.113148.已知△ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC -≥，则△ABC 一定为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定二､选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列各组向量中，不能作为基底的是（）A.12(0,0),(1,2)e e ==-B.12(1,2),(5,7)e e =-=C.12(3,5),(6,10)e e ==D.1213(2,3),(,24e e ==- 10.下列说法正确的是（）A.在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B.已知||6a = ，e 为单位向量，若3,4a e π<>=，则a 在e上的投影向量为32-C.在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则△ABC 定为等腰三角形D.若0a b ⋅<，则a与b的夹角是钝角11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A.sin :sin :sin 4:5:6A B C =B.ABC 是钝角三角形C.若6c =，则ABC 的面积为1574D.若6c =，则ABC 内切圆半径为7212.如图，已知圆O 内接四边形ABCD 中，2,6,4AB BC AD CD ====下列说法正确的是（）A.四边形ABCD 的面积为3B.该外接圆的直径为2213C.4BO CD ⋅=-D.过D 作DF BC ⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅=三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =- ，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______．14.已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，则AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB的值是________．15.如图，两根绳子把物体W 吊在水平杆子AB 上.已知物体W 的重力G 大小为10N ，150ACD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则A 处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）为___________N .16.已知A ，B ，C ，D 是平面内四点，且(2,1),(2,1)AC BD ==- ，则AB CD ⋅的最小值为___________.四､解答题（解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤本题共6小题，共70分）17.已知向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）若c ma nb =+ ，求m ，n 的值：（2）若向量d满足()(),||d c a b d c -⊥+-=，求d的坐标.18.已知在ABC 中，545,5B AC C ︒===.（1）求BC 边的长；（2）求AB 边上的中线CD 的长.19.已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<.（1）求向量a b + 与a b - 所成的夹角；（2）若ka b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.20.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．21.在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ︒∠=，4AB =，2AD CD ==，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM BD ⊥.(1)求AM BD ⋅的值;(2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN MN ⋅的最小值.22.如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A 处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B 处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C 和点D 处，再分别安装一套监测设备，且满足2km,4km,AD AB BD BC ===，90DBC ∠=︒，设DAB θ∠=．（1）当23πθ=，求四边形ABCD 的面积；（2）当θ为何值时，线段AC 最长．无锡辅仁高中2021-2022学年第二学期教学质量抽测（一）高一数学试卷一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知(2,),(,2)a k b k == ，若a b ∥，则k 等于（）A.4B.2± C.2- D.2【1题答案】【答案】B 【解析】【分析】由向量平行得到方程，求出k 的值.【详解】由题意得：2220k ⨯-=，解得：2k =±，经检验，均满足题意.故选：B2.已知平面非零向量,,a b c r r r ，则“()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ”是“b c =r r ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】显然b c =r r时，有()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立，反之不成立，举反例即可.【详解】当b c =r r时，()()a b c a c c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，()()a c b a c c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，显然有()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r成立当()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立时，b c =r r不一定成立.例如：()1,0a=，()()0,1,0,1b c ==-r r，()0a b c ⋅⋅= ，()0a c b ⋅⋅=r r r r ，满足条件，但此时b c≠r r 故“()()a b c a c b⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ”是“bc =r r”的必要不充分条件故选：B3.在△ABC 中，若其面积为S ，且AB AC=，则角A 的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【3题答案】【答案】A 【解析】【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.【详解】因为1sin2S AB AC A=⋅⋅，而cosAB AC AB AC A⋅=⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r，所以1cos sin2AB AC A AB AC A⋅⋅=⨯⋅⋅，所以tan3A=，故30A︒=.故选：A4.一物体在力F的作用下，由点(4,2)A-移动到点(5,4)B.已知()3,2F=，则F对该物体所做的功为（）A.15- B.15 C.28 D.28-【4题答案】【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标公式进行计算.【详解】由题意得：()1,6AB=，设F对该物体所做的功为：136215⨯+⨯=故选：B5.已知向量,a b满足||2,(1,1),2a b a b==⋅=-，则cos,a a b-=（）A.10B.10C.10D.10-【5题答案】【答案】C【解析】【分析】先根据向量数量积运算法则求出()6a a b⋅-=，进而求出a b-=，最后由向量夹角余弦公式求出答案.【详解】()2426a ab a a b⋅-=-⋅=+=，()222244210a b a a b b-=-⋅+=++=，所以a b-=，所以()cos,10a a ba a ba a b-⋅-⋅-==故选：C6.在ABC中，已知4AB=，3AC=，120BAC∠=︒，点E在线段BC上，且满足2BE EC=，则AE的长度为（）A.52 B.73 C.3 D.【6题答案】【答案】B【解析】【分析】在ABC 中，利用余弦定理先求得BC ，再在ABC 中利用余弦定理求得cos B ，再在ABE △中利用余弦定理求得AE 的长．【详解】在ABC 中，由余弦定理有2222cos 37BC AB AC AB AC BAC =+-⨯∠=，所以BC =，在ABC 中，由余弦定理有222cos 2AB BC AC B AB BC +-==⨯⨯又2BE EC =，所以3BE =，在ABE △中，由余弦定理有2222cos AE AB BE AB BE B=+-⨯⨯3749162493749=+-⨯⨯，所以73AE =．故选：B7.图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则cos ABD ∠=（）A.914B.1114C.1314D.14【7题答案】【答案】B 【解析】【分析】在ABD △中用余弦定理求出BD 长，再由余弦定理计算即可得解.【详解】在ABD △中，设BD t =，依题意，2AD BE BD DE t ==+=+，而120ADB ∠=o ，由余弦定理2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅∠得：22217(2)2(2)()2t t t t =++-+⋅-，而0t >，解得3t =，再由余弦定理得22222273511cos 223714AB BD AD ABD BD AB +-+-∠===⋅⋅⋅.故选：B8.已知△ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC-≥ ，则△ABC 一定为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】将向量模的关系，转化为数量积关系，再转化为三角形边和角的关系，结合正弦定理进行边角转化求得sin C 的范围，从而确定C 的范围，由此判断△ABC 的形状.【详解】设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∠ABC ＝B ，对任意t BA tBC AC∈-R ，，即()()2BA tBC BA tBC AC-⋅- 对t ∈R 恒成立，即22222cos 0a t act B c b -+- 对t ∈R 恒成立则()2222(2cos )40ac B a c b ∆=-- ，化简得222cos 1b B c - ，即222sin b B c ，即sin B b c，设ABC外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得sin2b bB R c=，得2c R ，得2sin 2R C R ，即sin 1C ，又sin 1C ，sin 1C ∴=，2C π∴=.故△ABC 为直角三角形.故选：C.二､选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列各组向量中，不能作为基底的是（）A.12(0,0),(1,2)e e ==-B.12(1,2),(5,7)e e =-=C.12(3,5),(6,10)e e ==D.1213(2,3),(,24e e ==- 【9题答案】【答案】AC【解析】【分析】判断向量是否共线，共线的不能作为平面的基底．【详解】A ．由于10e =，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．两向量不共线，可以作基底，C ．由于212e e =，不能作基底，D ．两向量不共线，可以作基底，故选：AC ．10.下列说法正确的是（）A.在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B>B.已知||6a = ，e为单位向量，若3,4a e π<>=，则a 在e上的投影向量为-C.在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则△ABC 定为等腰三角形D.若0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角是钝角【10题答案】【答案】AB 【解析】【分析】A 讨论02A B π≥>>、02A B ππ>>>>两种情况，结合三角形内角的性质及诱导公式判断；B 根据投影向量的定义写出a 在e上的投影向量即可；C 、D 应用特殊处理，令23A B π==判断C ，由a ，b 反向共线判断D.【详解】A ：若02A B π≥>>，显然sin sin A B >成立，若02A B ππ>>>>，则02A B ππ>->>，故sin()sin sin A A B π-=>，正确；B ：由题设，a 在e 上的投影向量为||cos 6(2,)a e e a e <>==-⨯- ，正确；C ：当23A B π==时sin 2sin 2A B =也成立，此时△ABC 为直角三角形，但不是等腰三角形，错误；D ：当a ，b 反向共线时0a b ⋅<也成立，但a 与b 的夹角为π，不是钝角，错误；故选：AB 11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A.sin :sin :sin 4:5:6A B C = B.ABC 是钝角三角形C.若6c=，则ABC 的面积为4D.若6c=，则ABC 内切圆半径为2【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦定理得到A 选项；由大边对大角确定C 最大，由余弦定理求出1cos 8C =得到答案；C 选项，由角C 的余弦求出角C 的正弦，再用面积公式求解；D 选项，设出内切圆半径，利用面积列出方程，求出内切圆半径.【详解】由正弦定理得：sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，A 正确；大边对大角，故C 最大，设()4,5,60a k b k c k k ===>，则2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⨯⨯，故ABC 是锐角三角形，B 错误；因为6c=，所以4,5a b ==，由1cos 8C =得：sin 8C =，故ABC 的面积为11sin 424258ab C =⨯⨯⨯=，C 正确；此时设ABC 内切圆半径为r ，则()115242a b c r r ++==，解得：2r =，D 正确.故选：ACD12.如图，已知圆O 内接四边形ABCD 中，2,6,4AB BC AD CD ====下列说法正确的是（）A.四边形ABCD 的面积为 B.该外接圆的直径为3C.4BO CD ⋅=-D.过D 作DF BC⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅= 【12题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos 7D=-，1cos 7B =，进而求出sin ,sin B D ，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】连接AC，在△ACD中，21616cos32ACD+-=，2436cos24ACB+-=，由于πB D+=，所以cos cos0B D+=，故22324003224AC AC--+=，解得：22567AC=，所以1cos7D=-，1cos7B=，所以43sin sin7B D===，故11sin262277ABCS AB BC B=⋅=⨯⨯⨯=，1143323sin442277ADCS AD DC D=⋅=⨯⨯⨯=，故四边形ABCD的面积为24332377+=，A正确；设外接圆半径为R ，则4212sin3437ACRB===，故该外接圆的直径为3，B错误；C选项，连接BD，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：CG=122CD=，由于πA C+=，所以cos cos0A C+=，即2416163601648BD BD+-+-+=，解得：BD=，所以1cos2C=，所以π3C=，且1cos632CE BC C=⋅=⨯=，所以321EF=-=，即BO在向量CD上的投影长为1，且EGuuu r与CD反向，故4EGBO CD CD⋅=-=-⋅，C正确；D选项，由C选项可知：π3C=，故sin6042DF CD=⋅︒=⨯=，且30CDF∠=︒，因为AD=CD，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故1302ODF ADC∠=∠-︒，由A选项可知：1cos7ADC∠=-，显然12ADC∠为锐角，故1cos27ADC∠==，1sin27ADC∠==，所以11157cos cos30cos cos30sin sin3022214 ODF ADC ADC ADC⎛⎫∠=∠-︒=⋅︒+∠⋅︒=⎪⎝⎭，所以cos34101DO DF DO ODF DF ∠=⨯=⋅=⋅ ，D 正确.故选：ACD【点睛】求解平面向量数量积的方法通常有：一是利用平面向量数量积公式进行求解；二是建立平面直角坐标系，用坐标求解；三是用向量的几何意义进行求解.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______．【13题答案】【答案】()3,4-【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可求得点B 的坐标.【详解】设点(),B x y ，因为2AB a =，则()()3,46,8x y -+=-，解得3x =-，4y =.故点()3,4B -.故答案为：()3,4-.14.已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，则AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB的值是________．【14题答案】【答案】－25【解析】【分析】根据已知向量的模长即线段的长度，解三角形求出角A ，B ，C ，然后利用平面向量的数量积定义即可求解【详解】因为222CA AB BC=+ 所以B ＝90°，所以AB BC ⋅= 因为cos C ＝45，cos A ＝35，所以()cos 180BC CA BC CA C ⋅=⋅⋅-＝4×5×4()5-＝－16.()cos 180CA AB CA AB A ⋅=⋅⋅-＝5×3×3()5-＝－9.所以25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-，故答案为：25-.15.如图，两根绳子把物体W 吊在水平杆子AB 上.已知物体W 的重力G 大小为10N ，150ACD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则A 处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）为___________N .【15题答案】【答案】【解析】【分析】对力进行受力分析，利用向量的模求解力的大小.【详解】因为150ACD ∠=︒，120BCD ∠=︒，所以36015012090ACB ∠=︒-︒-︒=︒，过点D 作DE ⊥AC 交AC 延长线于点E ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则将力CD 进行了分解，其中力CE即为点A 处所受力，且1209030ECD ∠=︒-︒=︒，故cos30102CE CD =︒=⨯= A 处所受力的大小.故答案为：16.已知A ，B ，C ，D 是平面内四点，且(2,1),(2,1)AC BD ==- ，则AB CD ⋅的最小值为___________.【16题答案】【答案】4-【解析】【分析】设(,)A x y ，(,)B m n 结合已知求出C、D坐标，再应用向量数量积的坐标表示可得22(2)()4AB CD m x n y ⋅=--+-- ，即可知AB CD ⋅的最小值.【详解】设(,)A x y ，(,)B m n ，则(2,1)C x y ++，(2,1)D m n -+，所以(,)AB m x n y =-- ，(4,)CD m x n y =---，则2222()4()()(2)()4AB CD m x m x n y m x n y ⋅=---+-=--+--，当2m x -=，ny =时AB CD ⋅的最小值为4-.故答案为：4-【点睛】关键点点睛：设点坐标，再用所设坐标参数表示,C AB D 坐标，应用数量积的坐标表示得到AB CD ⋅关于参数的表达式，利用实数平方的非负性求最小值.四､解答题（解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤本题共6小题，共70分）17.已知向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）若cma nb =+，求m ，n 的值：（2）若向量d满足()(),||d c a b d c -⊥+-= ，求d 的坐标.【17~18题答案】【答案】（1）9858m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）(8,1)-或(0,3).【解析】【分析】（134221m n m n -=⎧⎨+=⎩，即可求m 、n .（2）设(,)dx y =，由向量垂直的坐标表示及模长的坐标运算列方程组求出x 、y 即可.【小问1详解】由题设，34221m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得9858m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【小问2详解】若(,)d x y = ，则(4,1)d c x y -=-- ，而(2,4)a b += ，又()()d c a b -⊥+ ，所以2(4)4(1)0x y -+-=，且222||(4)(1)20d c x y -=-+-= ，可得4412x y -=⎧⎨-=-⎩或4412x y -=-⎧⎨-=⎩，故81x y =⎧⎨=-⎩或03x y ==⎧⎨⎩.所以d的坐标为(8,1)-或(0,3).18.已知在ABC中，545,5B AC C ︒===.（1）求BC 边的长；（2）求AB 边上的中线CD 的长.【18~19题答案】【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）先由正弦定理求出AB，再用余弦定理求出BC =（2）在第一问的基础上，用余弦定理进行求解.【小问1详解】由cos 5C =得：sin 5C ==，正弦定理得：sin sin AC AB B C =，即sin 455=︒4AB =，由余弦定理得：22221610cos 282AB BC AC BC B AB BC BC +-+-===⋅，解得：BC =，当BC =5cos 5C==-，不合题意，舍去；当BC =时，cos 5C ==，满足题意，综上：BC =【小问2详解】因为D 为BC 中点，所以BD =2，在△BCD中，由余弦定理得：22222cos 4541822102CD BD BC BD BC =+-⋅︒=+-⨯⨯=，所以CD =.19.已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<.（1）求向量ab +与a b -所成的夹角；（2）若ka b + 与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.【19题答案】【答案】（1）90 ；（2）4π-.【解析】【分析】（1）先求出1a b ==r r ，利用数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-= ，从而证得结论；（2）利用向量坐标运算求得ka b +和a kb-，利用模长相等可求得cos()0αβ-=，根据角的范围可确定最终取值.【详解】（1）由已知得：1a b ==r r，则：()()22·0a b a b a b +-=-= ，因此：()()ab a b +⊥-，因此，向量ab +与a b -所成的夹角为90 ；（2）由(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，ka b +=，a kb -=，∴==即：()4cos 0kβα-=，k ≠ ，()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-< ，因此：2παβ-=-，即：24αβπ-=-.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握向量的坐标运算，属于中档题.20.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）3B π=.（2）,2⎛ ⎝.【解析】【分析】（1）利用三角形内角的性质及正弦定理可得cossin 2BB =，再由二倍角正弦公式可得1sin 22B =，进而求B ；（2）由三角形面积公式有2ABCSa =，由正弦定理得1tan a C=+，再根据锐角三角形的性质及（1）的结论求tan C 的范围，即可求△ABC 面积的取值范围．【小问1详解】由题设，A CB π+=-，则sincos 22A C B+=，∴sin cossin sin 2BA B A =，sin 0A ≠，则cos sin 2sin cos 222B B B B ==，又022B π<<，故1sin22B =，即26B π=.∴3B π=.【小问2详解】1sin 22ABCS ac B a == ，而2π2sin 2sin 331sin sin tan C A a C C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+且23C A π=-，∴32tan 2ABCSC =+，△ABC 为锐角三角形，即π62C π<<，∴tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则,2ABC S ⎛∈ ⎝ .21.在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ︒∠=，4AB =，2AD CD ==，对角线AC 交BD 于点O ，点M在AB 上，且满足OM BD ⊥.(1)求AM BD ⋅ 的值;(2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN MN ⋅的最小值.【21题答案】【答案】(1)83-;(2)118-【解析】【分析】（1）以,AB AD为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；（2）先确定M 的位置，即1=6AM AB ，再令AN t = ，从而将AN MN ⋅表示成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.【详解】(1)在梯形ABCD 中，因为AB CD ∥，2AB CD =，所以2AO OC =，=()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅ 23AC BD=⋅222=()()=()33AD DC AD AB AD DC AB +⋅--⋅28(424)33=-⨯=-;(2)令=AM AB λ ，()AM BD AB BD AB AD AB λλ⋅=⋅=⋅- 28163AB λλ=-=-=-则16λ=，即1=6AM AB ，22()cos45AN MN AN AN AM AN AN AM AN AN AM ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯︒221cos456AN AN AB AN =-⨯︒⨯⨯=-令AN t = ，则0t ≤≤221(18AN MN t t ⋅==-，所以当26AN = 时，AN MN⋅ 有最小值118-.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.22.如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A 处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B 处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C 和点D 处，再分别安装一套监测设备，且满足2km,4km,AD AB BD BC ===，90DBC ∠=︒，设DAB θ∠=．（1）当23πθ=，求四边形ABCD 的面积；（2）当θ为何值时，线段AC 最长．【22题答案】【答案】（1）（2）34θπ=时，AC 最长为.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出BD BC ==，即得解；（2）先求出BD =ABD α∠=,sinα=，cos ABC∠=定理求出236)4AC πθ=+-即得解.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22416224cos28,3BD π=+-⨯⨯⨯=所以BD BC ==.所以四边形ABCD 的面积1312414222=⨯⨯⨯+⨯=+.（2）由题得2416224cos 2016cos ,BD θθ=+-⨯⨯⨯=-所以BD =设ABD α∠=,2,sinsin sin ααθ=∴=，所以cos cos()sin2ABC παα∠=+=-=，所以2162016cos 24(AC θ=+--⨯⨯所以23616cos +16sin 36)4AC πθθθ=-⨯=+-，因为0θπ<<，所以34θπ=时，AC .【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是设ABD α∠=,求出sinα=；其二是求出236)4AC πθ=+-.。
江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高一上学期教学质量抽测(一)数学试题
A．若 ab 0 且 a b ，则 1 1 ab
B．若 0 a 1 ，则 a2 a
C．若 a b 0 ， c d ，则 ac bd D．若 a b 0 ，则 a2 b2
5．已知
a
R
，则“
a
1
”是“
2a 1 a 1
1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．若 a 0 b ，且 a b 0 ，则（ ）
A． a 1 b
B． a b
10．下列命题中是真命题的是（ ）
C． 1 1 0 ab
D．a 1b 1 1
A． x2 1 是 x 2 的充分不必要条件
B． a 0 是 a2 a 0 的必要不充分条件
C． a 2 是关于 x 的方程 x2 ax a 0 的根都是正根的必要且不充分条件
试卷第 4页，共 4页
D．已知全集U 、集合 A 、集合 B 关系如上图中所示，则 A B A ðUB .
12．若 a b 1(a 0,b 0) ，则下列结论正确的是（ ）
A． ab 的最小值为 1 4
C． a b 的最大值为 2
B．
a
2
b2
的最小值为
1 2
D．
a
1 2b
1 2a
b
的最小值为
4 3
试卷第 2页，共 4页
答正确的是（ ）
A．已知 A {4,5,6,7,9} ， B {3,5,6,8,9}，则 B A {3,7,8} B．已知 A {x | x 1或 x 3}， B {x | 2 x 4} ，则 A B {x | x 2 或 x 4} C．如果 A B ，那么 A B
江苏省辅仁高级中学2023届高一上数学期末学业水平测试试题含解析
16、1
【解析】依题意可得， ，则 ，解得
当 时， ，则
所以 为奇函数，满足条件，故
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；
（2） .
【解析】（1）根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可；
（2）利用同角的三角函数关系式进行求解即可.
【小问1详解】
∵ ，
，
∴点P的坐标为(1，3)，由三角函数的定义可得：
【解析案．
或x＞5．∴ 的定义域为
考点：函数的定义域及其求法．
15、相交
【解析】求得 的圆心到直线 的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结论.
【详解】圆 的圆心为 、半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，小于半径，
所以直线和圆相交，故答案为相交.
A. B.
C. D.
8．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
无锡市辅仁高中数学综合卷
班级 姓名 得分
一．选择题：
1．“y x lg lg <”是“y x <”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
2．抛物线2
2
1x y -
=的焦点坐标是
（ ）
A ．)2
1
,0( B ．)1,0(- C ．)0,8
1(- D ．)2
1,0(- 3．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：2],20,10( ；3],30,20(；
4],40,30(；5],50,40(；4],60,50(；2],70,60(，则样本在区间]50,10(上的频率为
（ ） A ．0.5 B ．0.7 C ．0.25 D ．0.05 4．下列关于m l ,与平面βα,的命题中，真命题是
（ ）
A ．若β⊂l 且βα⊥，则α⊥l
B ．若β⊥l 且βα//，则α⊥l
C ．若β⊥l 且βα⊥，则α//l
D ．若m =⋂βα且m l //，则α//l 5．已知等差数列}{n a 的公差是2，若431,,a a a 成等比数列，则=2a （ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 6．若
011<<b a ，则下列不等式中（1）ab b a <+，（2）||||b a >，（3）b a <，（4）2≥+b
a
a b
中正确的不等式有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．设y x z -=，其中变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≥-+≤-+02030
124y x y x y x ，则z 的最小值为
（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
8．若函数)(x f y =的草图如图所示，则函数)1(x f y -=的图象大致为 （ ）
A B C D
y
9．函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=，则正确的说法是 （ ）
A ． )6
2sin(2π
+
=x y B ．)3
2sin(2π
+
=x y
C ．图象的一条对称轴为6
π
-
=x D ．图象的一条对称轴为12
π
=
x
10．已知平面上三点A ，B ，C 满足31,2=
==，则
AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于
（ ）
A ．3-
B ．3
C ．4-
D ．4
11．已知点)2,6(P 在双曲线122
2=-m
y x 上，则错误．．的说法是 （ ）
A ．离心率为
2
6
B ．虚轴长为2
C ．渐近线方程为y x 2+=
D ．准线方程为3
3
2+
=y 12．从由4,3,2,1,0这五个数字构成的没有重复数字的三位数中任取一个，则取到偶数的概
率为 （ ）
A ． 85
B ．8
3 C ． 73 D ．43
二．填空题：
13．函数1
1
222++=x x y 的值域为 ．
14．棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是CC 1上两动点，且PQ=1，则
V P -AQD = ． 15．已知向量)cos ,(sin ),4,3(αα==b a ，且b a //，则
α
ααcos )sin (cos 1
+= ．
16．过点P （—1，0）并与曲线032422=+-++y x y x 相切的直线方程为 ．
17．已知()()ββααsin ,cos ,sin ,cos ==b 5
5
2= ⑴ 求()βα-cos 的值；⑵ 若13
5
sin 02
,2
0-
=<<-
<<ββπ
π
α且，求αsin 的值．
18．已知在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ， E 为CC 1的中点．
⑴试在AB 上确定一点F ，使平面ECF ⊥平面EAB ⑵ 求二面角B －AE －C 的大小． (3)求AB 1与BE 所成角的大小．
19．已知等比数列{}n a 的首项11=a ，数列{}n b 的首项a b =1（a 为非零常数）且
()++∈=N n a a b n n n 1
⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 求数列{}n b 的通项公式及数列{}n nb 的前n 项和．
A 1 E
20．已知函数()x bx ax x g 323-+=在x ＝±1处取得极值．
⑴ 试作出函数()x g y =在[]2,2-∈x 上的草图；
⑵ 过点A （0，16）作曲线()x g y =的切线，求此切线方程．
21．已知函数()x f 的定义域为R ，对任意x 1，x 2都满足()()()2121x f x f x x f +=+，当x ＞0时，()x f ＞0
⑴ 求证：()x f y =为奇函数；
⑵ 判定并证明()x f y =在R 上的单调性；
⑶ 若()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 对所有⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πθ恒成立，求实数m 的取值
范围．
22．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2
2，相应焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x 轴相交于点A，FA
=，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点．
OF2
⑴求椭圆的方程及离心率；
⑵若0
⋅，求直线PQ的方程；
=
λ，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，
⑶设)1
(>
=λArray求证：FQ
FMλ
=．
-。