2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 含解析

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考试标准

课标要点学考要

求

高考要

求

平面向量数量积的概念及其

物理意义

b b

平面向量投影的概念 a a

平面向量数量积的性质及运

算律

b b

知识导图

学法指导

1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.

向量的数量积

定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0.

几何意义

|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b 的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

类型一向量数量积的计算及其几何意义

例1(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是

注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元

已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－

的夹角为________；

，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥

2.4.1

基础巩固](25分钟，60分)

解析：因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ＝a·b |a||b|＝32×3＝1

2

.

又θ∈[0，π]，所以θ＝π

3

.

答案：C

4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．12 解析：(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. ∴|a |2－2|a |－24＝0.

解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)． 答案：C 5．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π

2，π

C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π 解析：因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣

⎢⎡⎭⎪⎫

0，π2.

答案：A

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →

的值是________．

解析：方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →

|cos ∠B

＝－|AB →||BC →|·|AB →

||BC →|

＝－|AB →|2

＝－1.