浙江省湖州中学2016届高三上学期期中考试理数试题 含解析

一、选择
题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．已知}02|{2
≥--=x x x A ，}|{a x x B >=，若}2|{≥=⋂x x B A ，则所有实数a 组
成的
集合为( ）
A ．}2|{≥a a
B ．}
2|{≤a a C ．}21|{≤≤-a a
D ．}21|{<≤-a a 【答案】D
考
点：集合交集的运算．
2。

若函数x x f 2cos )(=，x x g 2sin )(=，则“4
8π
π<<x ”是“()()f x g x <"的（ )
A 。

充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D 。

既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析:由题意得，令()()()cos 2sin 22)
4
h x f x g x x x x π
=-=-=
+，因为
84
x π
π
<<
,所以322
4
4
x πππ<+<，所以()0h x <，所以()()f x g x <，反之，例如4
2
x ππ
<<时，也是成立的()()f x g x <，所以“8
4
x ππ<<”是“()()f x g x <"的充分不必要条件，故选A ．
考点：充要条件的判定．
3．设等差数列}{n
a 和等比数列}{n
b 首项都是1,公差和公比都是2，则
=++432b b b a a a （
）
A. 24 B 。

25
C ． 26 D.
27
【答案】B 【解析】
试题分析：等比数列}{n
b 首项都是1，公比都是2，所以2
342,4,8b
b b ===,
等差数列
}
{n a 首项都是
1
，公差都是
2
，所以
2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选
B ．
考点：等差数列与等比数列的应用．
4．已知某锥体的正视图和侧视图如右图，其体积为233
,则该锥体的
俯视图可以是（ ）
2
2
2
2
2
2
2
2
侧视图
正视图
2
2
2
222
A. B 。

C 。

D. 【答案】C
考
点：空间几何体的三视图． 5．设函数⎩
⎨⎧>≤+=,0,,
0,4)(2
x x x x x f ,若]1)([)]([+>a f f a f f ，则实数a 的取值范围为( ）
A ．]0,1(-
B ．]0,1[-
C ．]4,5(--
D ．]4,5[-- 【答案】C 【解析】
试题分析：当()()0,10f a f a ≤+≤，即5a ≤-时;[()](4)8,[()1]9f f a f a a f f a a =+=++=+，故
[()][()1]
f f a f f a <+，故
]
1)([)]([+>a f f a f f 不成立;当()()0,14f a f a ≤+≤，即
54a -<≤-时；2[()](4)8,[()1](5)(5)f f a f a a f f a f a a =+=++=+=+,又28(5)a a +>+在(5,4]
--上显然成立即故[()][()1]f f a f f a >+，故选C ． 考点:分段函数的应用． 6.已知双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线2
8y
x =有一个公共的焦点F ,且两
曲线的一个交
点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．5
B ．
3
C ．
3
32
D ．2
【答案】D
考
点：圆锥曲线的几何性质．
7．设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=>>上的动点,均有
2221x y y +++222122x y y +-+≤则2a b 的取值范围为（
）
A. [)2,+∞ B 。

[]1,2 C 。

[)1,+∞ D 。

(]0,2
【答案】A 【解析】
试题分析：由1(0,0)a x b y a b +=>>，分类讨论：当,0x y ≥时，化为1ax by +=；当0,0x y ≥≤时，化为1ax by -=；当0,0x y ≤≥时,化为1ax by -+=；当0,0x y ≤≤时,化为
1
ax by --=，画出图象：其轨迹为四边形
ABCD
，
2221x y y ++++
222122x y y +-+≤，可变形为2222(1)(1)22x y x y ++++-≤，上
式表示点(0,1),(0,1)M N -与图象上的点P 的距离之和小于等于22，所以
212122222a b
⎧+≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩化为2,12b a ≥≥，所以221222a b +≥+⨯=，所以取值范围是[)2,+∞．
考点：两点间的距离公式的应用；直线的方程．
【方法点晴】本题主要考查了直线的方程、两点间的距离公式应用、不等式的性质及其应用，着重考查了分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法及推理与计算能力，属于中档试题．本题的解答中，对方程1(0,0)a x b y a b +=>>，分类讨论：当,0x y ≥时，化为1ax by +=;当0,0x y ≥≤时，化为1ax by -=；当0,0x y ≤≥时，化为1ax by -+=；当0,0x y ≤≤时，化为
1ax by --=,把结论转化为两点间的距离公式，列出不等式组，求解2a b
的取值范围．
8．如图,矩形CDEF 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面垂直,2=
AD ，
3=DE ，4=AB ， 4EF EG =，点M
在线段GF 上(包括两端点)，点N 在线段AB 上，且
GM AN =，则二面角
C DN M --的平面角的取值范围为（
)
A. ]45,30[︒︒ B ．]60,45[︒︒ C ．)90,30[︒︒ D ．)90,60[︒︒
【答案】B
A
B
C
D
E
F
G
M
N
题8
考点：空间向量的运算；二面角的求解．
【方法点晴】本题主要考查了空间的向量的化简与运算及空间中二面角的求解，根据题设中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量,利用两个法向量所成的角，同时利用换元法，转化为一元二次函数的性质及三角函数的图象与性质，求解一元二次
函数的最大值与最小值,确定cos
,m n
的取值范围,得出,4
3
m n ππ
≤
≤
是解
答本题的关键,同时着重考查了学生的运算和推理能力，综合性较强，运算量加大，属于难度较大的试题．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共7小题,其中第9题每空2分，第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，满分36分．）
9.已知[,]2x ππ∈，且1sin(2)23
x π-=，则cos2x = ,sin x = ， tan x =
．
【答案】1
3
-
63
2
-
考
点：三角函数的化简求值．
10。

已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,2
452a
a +=,103a =-，则1a = ，
8S = ．
【答案】15,64 【解析】
试题分析：由题意得,设等差数列的首项为1
a ，公差为d ，则
1152(3)
a d a d ++=+且
193
a d +=-，解得
115,2
a d ==-，所以
818787
8815(2)6422
S a d ⨯⨯=+
=⨯+⨯-=． 考点:等差数列的通项公式及求和公式的应用． 11.已知直线)(0222
C B A C By Ax =+=++与圆422=+y x 交于N M ,两点，O 为坐标
原点,
则MN 等于 ，OM ON 等于 ．
【答案】23,2-
【解析】
试题分析：由题意得,圆心到直线的距离为2
2
1
C d A B
=
=+,所以
22224123MN R d =-=-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212OM ON x x y y ⋅=+，由直线方
程
)
(02
2
2
C B A C By Ax =+=++圆4
2
2
=+y x
联立，可得
22
122
2
4C B x x A B -=+,同理可得
222
1222
244C A B y y A B --=
+，又2
22C
A B =+，可得12122x x y y +=-，即2OM ON ⋅=-．
考点：直线与圆的位置关系的应用；向量的数量积的坐标运算． 12.已知向量,a b 的夹角为3
π，
5
a b a -==,向量c a -，c b -的夹角为
23
π
,23c a -=， 则a b -与c b -的夹角正弦值为 ，c = ．
【答案】53
，34+
或37163-
考点：平面向量的数量积的运算． 13。

若存在0
[1,3]x ∈，使得不等式2000|+4|3x ax x -≤成立，则实数a 的取值范
围是 ． 【答案】]8,1[ 【解析】
试题分析：命题“存在
2
0000
[1,3],43x x ax x ∈-+≤”的否定是:“任意
2[1,3],43x x ax x ∈-+>”，等价于243x ax x -+>或243x ax x -+<-，由243x ax x -+>得，
43a x x <+
-，且4
x x
+在[1,3]x ∈上的最小值为4,所以1a <，由243x ax x -+<-得,43a x x <+-，且4x x +在[1,3]x ∈上的最大值为5,所以所以8a >，综上所述，
1a <或8a >，它的否定是18a ≤≤,所以实数的取值范围是18a ≤≤．
考点：命题的真假应用；基本不等式求最值．
14.已知点)2
1
,21(-A 在抛物线)0(2:2
>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线
C 上，且位于x
轴的两侧,O 是坐标原点，若3OM ON =，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．
【答案】2
考点：抛物线的简单几何性质的应用．
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，属于中档试题，解答此类问题时，应考虑联立直线与圆锥曲线的方程，消去变量后，建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元，再由观察可得点到直线的距离的最大（或最小），这是处理此类问题的常见模式和手段，本题的解答中得到抛物线的方程后,设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及3
OM ON=，可
得定点的坐标，可判断当AD MN
⊥时,点A到MN的距离最大,再由两点间的距离公式计算即可．
15．已知{}
B x y x y x y
=≥≥+≤，若A B≠∅恒成立，
(,)|0,1,2
=+=，{}
A x y ax by
(,)|1
则
2223
+++的取值范围是．
a b a b
【答案】3[,)
+∞
4
考点：集合的运算;简单的线性规划求最值．
【方法点晴】本题主要考查了集合中交集的运算及简单的线性规划求最值，着重考查了数形结合的解题思想方法和转化的思想方法,难度较大，属于难题，本题的解答中，由题意画出集合B所表示的平面图形，再集合A Bφ≠得到实数,a b所满足的条件,确立不等式组，把目标函数转化为可行域内点到定点3
(1,)
--之间的距离，利用线性规划
2
求解目标函数的取值范围．
三、解答题（本大题共5小题,共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16．(本小题满分14分）设锐角三角形ABC 的三内角为C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，函数
x x x x f 2cos )6
π
sin(cos )(-+=．
(Ⅰ)求)(A f 的取值范围;
（Ⅱ)若4
1)(=A f ，△ABC 的面积为4
3
,求AC AB ⋅的值． 【答案】（I ）11,24⎛⎤
- ⎥
⎝⎦
；（II)12
． （Ⅱ)
因为1()4f A =，所以sin(2)16
A π-=，又因为52,6
66A πππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
, 所以262
A π
π
-=，即3A π=. -—--————-—--——--———-10分 又△ABC 的面积为4
3，所以1bc =.—-—-——--————--—-———
12分
所以2
1=⋅AC AB ——--————---—-—-——- 14
分
考点：三角函数的图象与性质及三角形的面积公式的应用、向量的数量积的计算．
17。

（本小题满分15分）已知数列{}n
a 是公差不为零的等差数列，
12482,,a a a a =，且成等比数列。

(Ⅰ）求数列{}n
a 的通项；
（Ⅱ）设()
{}1n
n
n
b a --是等比数列，
且2
5
7,71b b ==,求数列{}n b 的前n 项和n
T 。

【答案】（I)2n
a
n
=；（II)当n 为偶数时，
2
1
23-+=
n T n n ,当n 为奇数
时,2
3
23--=n T n n ．
（II ）
令n n n n
a b c
)1(--=,设{}n c 的公比为q
n a b b n 2,71,752=== 81,35222==-=∴c a b c
3,272
5
3===
∴q c c q ………………………………8分
1223--==∴n n n q c c
从而n b
n n n
2)1(31-+=-………………………………10分
n n b b b T +++= 21
n n n 2)1(642()333(110-++-+-++++=-
当n 为偶数时,2
1
23-+=n T n n (12)
分 当n 为奇数时，2
3
23--=n T n n (14)
分
考点：等差数列与等比数列的通项公式及数列的求和．
18.(本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯
形，AD AB ⊥，CD AB //,222===CD AD AB ，E 是PB 上的点. （Ⅰ)求证：平面⊥EAC 平面PBC ；
（Ⅱ）若E 是PB 的中点，且二面角E AC P --的余弦值为求直线PA 与
平面EAC 所成角的正弦值．
【答案】(I ）证明见解析；（II
P
A B C
D
E
考点:平面与平面垂直的判定；空间角的求解．
19．(本小题满分15分）如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和
P
A
B
C
D
E x
y
z
y轴上的椭圆1T,2T都过点
(0,
M，且椭圆1T与2T。

（Ⅰ）求椭圆
1
T与椭圆2T的标准方程；
（Ⅱ)过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交
1
T，2T于点P，Q，
当4
k k
'=时，问直线PQ是否过定
点？若过定点,求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(I)2222
1,1
422
x y y
x
+=+=；（II）．
考点：椭圆的几何性质;直线与圆锥曲线的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、直线的方程过定点问题及直线与椭圆的位置关系的应用,其中运算量大、综合性强，属于难度较大的试题，本题的第二问解答中，把直线MP 的方程与椭圆的方程联立，得一元二次方
程
22(21)0k x +-=，根据韦达定理得P
的横坐标2
21
P
x
k =
+,进而得到P 坐
标，同理得到Q 坐标，利用点斜式求解PQ
方程12y x k =-+即可判定直
线过定点．
20．（本小题满分15分)已知函数2
()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数．
（Ⅰ）若1a =，判断()f x 在11
[,]22
-上的单调性； （Ⅱ）若存在x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-成立，求a 的取值范围．
【答案】（I ）()f x 在1[,0]2
-上递减，在1[0,]2
上递增;(II
）1a ≥34
a ≤-
. 【解析】
试题分析：（I ）去掉绝对值,讨论函数()f x 的单调性,从而得出()f x 在
11
[,]22
-上的单调性;（II ）求出使得不等式()2||f x x a ≤-对任意x R ∈成立的实数a 的取值范围，在求使得不等式()2||f x x a ≤-成立有解的实数a 的取值范围．
试题解析：（I ）
2
21(0),2
()1(0),
2
x x x f x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩
考点:函数的单调性的判定与证明；函数的最值及其几何意义．
【方法点晴】本题主要考查了绝对值函数及绝对值不等式的应用问题，着重考查了转化数学思想方法和分类讨论的思想方法的应用及解不等式问题，试题难度较大,属于难题，本题的第二问的解答中，先求出使得不等式()2||
≤-对任意x R∈成立的实数a的取值范围，在
f x x a
求使得不等式()2||
f x x a
≤-成立有解,通过取补集求解实数a的取值范围．。