八年级数学上册5.5三角形内角和定理拓展思考从三角形内角和到多边形内角和素材青岛版(new)

从三角形内角和到多边形内角和

三角形的内角和是180°．那么,凸多边形的内角和又是多少度呢？

显然，运用化归思想，可以把多边形分割成三角形解决．以凸五边形ABCDE为例（如图1所示）来进行分析．

设F为凸五边形内任意一点，连接AF，BF,CF，DF，EF，则所得五个三角形的内角和都是180°，即

∠ABF＋∠BFA＋∠FAB＝180°，

∠BCF＋∠CFB＋∠FBC＝180°，

∠CDF＋∠DFC＋∠FCD＝180°,

∠DEF＋∠EFD＋∠FDE＝180°，

∠EAF＋∠AFE＋∠FEA＝180°．

相加，得

∠ABF＋∠BFA＋∠FAB＋∠BCF＋∠CFB＋∠FBC＋∠CDF＋∠DFC＋∠FCD＋∠DEF＋∠EFD＋∠FDE＋∠EAF＋∠AFE＋∠FEA＝5×180°＝900°．

注意到以F为顶点的中间各角的和为360°，即∠BFA＋∠CFB＋∠DFC＋∠EFD＋∠AFE＝360°．

∴∠ABF＋∠FBC＋∠BCF＋∠FCD＋∠CDF＋∠FDE＋∠DEF＋∠FEA＋∠EAF＋∠FAB＝3×

180°．

而∠ABF＋∠FBC＝∠ABC，∠BCF＋∠FCD＝∠BCD，∠CDF＋∠FDE＝∠CDE，∠DEF＋∠FEA ＝∠DEA，∠EAF＋∠FAB＝∠EAB．

∴∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＋∠EAB＝3×180°．

即凸五边形的内角和为3×180°．

请思考：如果不是像图1那样分割,而是如图2所示分割,你又该如何推导?

一般地，任意凸多边形的内角和为（n－2）180°．

如果只要求结果而不要求证明过程，有时还可以用“压缩”的方法求得结果．如图2，把顶点“压向CD”，相应地整个图形也被“压扁”，当“A被压到CD上”时,A，B，C，D，E都在一条直线上了，∠A，∠C,∠D变成了180°，∠B和∠E都变成了0°，其和仍为3×180°．

尊敬的读者：

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