椭圆及其标准方程

例： ( 1 ) 已知 F ， F 是两定点， F F 6 ，动点 M 满足 1 2 1 2
线段 MF MF 6 ，则动点的轨迹为 ___ 1 2
(2 ) 已知 A （ -1 ,0 ）， B ( 1 ,0 ), M 是一个动点 M 到 AB 两点的距离之和为 6 ，
椭圆 则 M 的轨迹为 ______
3 2 2
+
2 5 +2 2
+
3 2 2
+
2 5 -2 =2 2
10.即
������2 ������2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 10 6
反思根据已知条件,判定焦点的位置,设出椭圆的方程是解决此
题的关键.
“神五”飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地 球半径为R公里，飞船的近地点距地球地面200公里，远 地点距地球地面350公里，则飞船的椭圆轨道的标准方程 为——
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
·
· F
1
·
F2
一、椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于定长 (2a)（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16
【典型例题 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的 距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - ,
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2 2 a =b +c2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
作业：
Ｐ49
习题１ 第2题
解:
如图所示,建立平面直角坐标系,使 x 轴经过点 B,C,原点 O 与 BC 的中 点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点 A 的轨迹 是椭圆,且 2c=6,2a=16-6=10. ∴ c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A,B,C 三点不能构成三角形, ∴ 点
♦再认识！
标准方程
2 2 x y + 2= 1 a>b>0 2 a b 2 2 x y + 2= 1 a>b>0 2 b a y
y P
不 同 点
图
形
F1
F2 x
O
P
O
F2
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
Fc -, 0 ， F c , 0 1 2
F 0 , c ， F 0 , c 1 2
3 5 2 2
.
思路分析:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,再设出椭圆的标准方程, 从而确定 a,b 的值. 解:(1)∵ 椭圆的焦点在 x 轴上,
������2 ∴ 设椭圆的标准方程为 2 ������
+
������2 ������
2 =1(a>b>0).
∵ c=4,2a=10, ∴ b2=a2-c2=9.
怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
坐标法
回忆求曲 线方程推 导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。
二、椭圆的标准方程 Y
Y
M M F1 (-c,0)
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2 2 a =b +c2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
口答：
x2 y2 1. 2 2 1 ， 则a＝ 5 ，b＝ 3 ； 5 3
x2 y 2 则a＝ 6 ，b＝ 4 2. 2 2 1， 4 6
2
F2(0 , c)
O
2
F2 (c,0)
X
2
O
F1(0,-c)
X
x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b
y x 2 1 ( a b0 ) 2 a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之 求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一 个轴上。并且哪个大哪个就是a2
椭圆方程中的 a、b 以及参数 c 有什么意义，它们满足什 么关系？
答案 椭圆方程中， a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图 形帮助记忆，a、b、c(都是正数) 恰构成 一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c 始终满足关系式 a2 ＝b2＋c2.
x2 y2 3. 1 9 6
； ；
则a＝ 3 ，b＝ 6
x2 y2 4. 1 7 4
则a＝
7 ，b＝ 2 ．
【典型例题 1】已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16, 求顶点 A 的轨迹方程. 思路分析:选取线段 BC 的中点为坐标原点,建立适当的直角坐标系,由 B,C 为两定点,A 为动点,研究|AB|+|AC|是否为定值,并比较与|BC|的大小关 系,从而判断点 A 的轨迹图形形状,进而得到轨迹方程.
������2 ������2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 25 9
(2)∵ 椭圆的焦点在 y 轴上,
������2 ∴ 设所求椭圆的标准方程为 2 ������
+
������2 ������
2 =1(a>b>0).
由椭圆的定义,知 2a= a= 10. 又 c=2,∴ b2=a2-c2=6.
标准方程
2 2 x y + 2= 1 a>b>0 2 a b
y P
2 2 x y + 2= 1 a>b>0 2 b a y
不 同 点
图
形
F1
F2 x
O
P
x
O
F2
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
Fc -, 0 ， F c , 0 1 2
F 0 , c ， F 0 , c 1 2
椭圆定义的符号表述：
M F M F 2 a 2 c 1 2
1. 改变两点之间的距离，使其与绳 长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2a= |F1F2 |时，与两个定点的距离之和等于常数 的点的轨迹是线段F1F2
2．绳长能小于两点之间的距离吗？
2a< |F1F2 |时，与两个定点的距离之和等于常数的 点的轨迹不存在