超几何分布于二项分布的区别与联系

§超几何分布与二项分布的区别与联系
1、二项分布：
一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为
()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=
此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)n p ，并称p 为成功概率。

2．超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
(),0,1,2,...,.k N K M N M n N
C C P X k k m C --⋅=== 此时称随机变量X 服从超几何分布。

注意：超几何分布中必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回去； 二是产品数是有限个为N （总数较少）.
当这两个条件中任意一个发生改变，则不再是超几何分布.
一、 当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布
【例1】从含有3件次品的10产品中有放回地逐次取，每次取一个，取3次，用X 表示次品数。

（1） 求X 的分布列；
（2） 求()E X 和()D X
二、 当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布
【例2】 从批量较大的产品中，随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量ξ表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量ξ的数学期望()E ξ
【例3】根据我国相关法规则定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：
（1）若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；
（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
()
【例5】一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类。

检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。

已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响。

（1）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（2）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望.。